参数估计习题课.pdf

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1、 参数估计习题课 2 第 21 讲 参数估计习题课 教学目的：1.通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法；2.通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性；3.通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。教学时数：2 学时。教学过程：一、知识要点回顾 1.矩估计 用各阶样本原点矩nkii 11xnkV 作为各阶总体原点矩kEX的估计,1,2,k。若有参数2g(,(),)kE XE XE X（）（），则参数的矩估计为 nnn

2、2i=1i=1i=1111(,)kiiiXXXnnn。2.最大似然估计 似然函数1()(;)niiLf x，取对数ln()L，从ln()dd=0 中解得的最大似然估计。3.无偏性,有效性 当E时，称为的无偏估计。当21DD时，称估计量1比2有效。二、典型例题解析 1设,0()0,0 xexf xx，求的矩估计。解,0dxxeEXx设dudxuxxu1,1,则0000111()0()uuuEXueduuee due=1 3 4 5 查表得25.3)9(005.0t，故总体均值置信水平为%99的置信区间为(120014.388,120014.388)(1185.612,1214.388)(2)14

3、1010)1()10()10(ntPnsnsxPxP 21)9()9()2588.2)9(025.0ttPtP1-0.05=0.95 8.设nXXX,.,21为正态总体),(2N的一个样本，确定常数c的值，使2111)(niiixxcQ为2的无偏估计。解 )()()(2)()()(2)()()()(21112121112121112111iniiiiiniiiiniiiniiixExExExEcxxxxEcxxEcxxcEQ 由于0)(iiExxE，所以有 2112111)1(2)2(0nccDxDxcEQniniii 由2EQ（无偏性），故有1)1(2nc，所以)1(21nc。6 二、计算题

4、 1.某工厂生产滚珠.从某日生产的产品中随机抽取 9 个,测得直径(单位:mm)如下:14.6 14.7 15.1 14.9 15.0 14.8 15.1 15.2 14.8 用矩估计法估计该日生产的滚珠的平均直径和均方差.解.设滚珠的直径为 X,平均直径为,均方差为.由矩估计法可知 ,而 ,.,而 =0.03654,.2.设总体 X 的密度函数为 解.设(X1,X2,Xn)是来自 X 的一样本.由极大似然估计原理,参数 的似然函数为:7,其中(0),求 的极大似然估计量.,上式两边取对数 ,似然方程为 ,解似然方程得 的极大似然估计量是 .3.设总体 X 的密度函数为 ,求 的极大似然估计量

5、和矩估计量.解.设(X1,X2,Xn)是来自 X 的样本.(1)由矩估计法,.即参数 的矩估计量是 .(2)由极大似然估计原理,参数 的似然函数为 8,上式两边取对数 ,似然方程为 ,解似然方程得到参数 的极大似然估计量是 .9 1设,0()0,0 xexf xx，求的矩估计。解,0dxxeEXx设dudxuxxu1,1,则0000111()0()uuuEXueduuee due=1 故1EX，所以x1。3.一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取 100 个样品，每个样品有 10 块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这 100 次观察相互独立，并由过去经验知，它们都

6、服从参数为 n=10，P 的二项分布。P 是该地区一块石子是石灰石的概率。求 p 的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下 样品中属石灰石的石子数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 观察到石灰石的样品个数 0 1 6 7 23 26 21 12 3 1 0 解：的极大似然估计值为=X=0.499 4.设 X1，X1，Xn为总体的样本，求各未知参数的极大似然估计值和估计量 10（1）其它,0,)()1(cxxcxf 其中 c0 为已知，1，为未知参数。（2）.,010,)(1其它xxxf 其中 0，为未知参数。解（1）似然函数 1211)()()(nnnniixxxcxfL 0ln

7、ln)(ln,ln)1(ln)ln()(ln11niiniixcnndLdxcnnL niicnxn1lnln（解唯一故为极大似然估计量）（2）niinnniixnLxxxxfL112121ln)1()ln(2)(ln,)()()(niiniixnxndLd121)ln(,0ln2112)(ln。(解唯一)故为极大似然估计量。6.设 样 本12,nXXX来自总体(,0.25)XN u，如果要以99.7%的概率保证0.1Xu，试问样本容量 n 应取多大？解：(0,1)0.5/XuNn。现要求n,使 0.10.22(0.2)10.9970.5/XuP XuPnnn 即(0.2)0.9985n，查表得，(0.2)2.96n，所以 n=219，11 即样本容量为 219。8.设总体 X 具有分布律 X 1 2 3 Pk 2 2(1)(1)2 其中(01)为未知参数。已知取得了样本值 x1=1，x2=2，x3=1，试求 的矩估计值和最大似然估计值。解：（1）求 的矩估计值 XE23)1()1(3)1(3)1(221)(22 XXE23)(令 则得到 的矩估计值为6523121323X（2）求 的最大似然估计值 似然函数121)(32131XPXPXPxXPLiii )1(2)1(2522 ln L()=ln2+5ln+ln(1)求导 0115)(lndLd 得到唯一解为65