无穷小与无穷大.pdf

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1、.1/7 1.4 无穷小与无穷大 无穷小 1无穷小量的定义 定义：如果x x0或x 时,函数f 的极限为零,那么把f 叫做当x x0或x 时的无穷小量,简称无穷小.例如：因为0)1(lim1xx,所以函数x-1是x1时的无穷小.因为01limxx,所以函数x1是当 x1 时的无穷小.因为011limxx,所以函数x11是当 x时的无穷小.以零为极限的数列xn,称为当 n时的无穷小,n1,n32都是 n时的无穷小.注：不能笼统的说某函数是无穷小,说一个函数 f是无穷小,必须指明自变量的变化趋向.不要把绝对值很小的常数说成是无穷小,因为这个常数在 xx0或 x时,极限仍为常数本身,并不是零.常数中

2、只有零可以看作是无穷小,因为零在 xx0或 x时,极限是零.2.无穷小的性质 在自变量的同一变化过程中,无穷小有以下性质：有限个无穷小的代数和仍是无穷小无穷多个无穷小之和不一定是无穷小.有限个无穷小的乘积仍是无穷小.有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.常数与无穷小的乘积仍是无穷小.无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小.例 1求xxxsinlim 解：1sinx,是有界函数,而01limxx.2/7 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.xxxsinlim0 3函数极限与无穷小的关系 定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之,如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是该函

3、数的极限.4无穷小的比较 例：当 x0 时,x,3x,x2,sinx,xx1sin2都是无穷小.观察各极限：0320limxxx x2比 3x 要快得多 1sinlim0 xxxsinx 与 x 大致相同 xxxxxxxsin1sinlimlim020sinx 比 x2慢的多 xxxxxx1sin1sinlimlim0220 不存在 不可比 极限不同,反映了无穷小趋于 0 的速度是多样的.得到以下结论：设和都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小 如果lim0,则称是比高阶的无穷小 如果lim,则称是比低阶的无穷小 如果limkk0,则称与是同阶的无穷小 如果lim1,则称与是等价无穷小,记为.

4、例 2比较当 x0 时,无穷小xx111与 x2阶数的高低.3/7 解：因为111)1()1()1)(1(1111limlimlimlim02202020 xxxxxxxxxxxxxxx 所以xx111x2 例 3当 x1 时,无穷小 1x 与 1-x3是否同阶,是否等价？解：31)1)(1(1112131limlimxxxxxxxx 故同阶但不等价.常用的等价无穷小：当 x0 时,sinx x ；arcsinx x ；tanx x ；arctanx x ；1-cosx 221x,lnx ;ex-1x ；a1-ax 无穷大 1无穷大量的定义 如果当x x0或x 时,函数f 的绝对值无限增大,那

5、么函数f 叫做当x x0或x 时的无穷大量,简称无穷大.注：说一个函数是无穷大,必须指明自变量的变化趋向.如函数x1是当x0时的无穷大,当x时,它就不是无穷大,而是无穷小了.不要把绝对值很大的常数说成是无穷大,因为常数在xx0时极限为常数本身,并不是无穷大.2无穷小与无穷大的关系 定理：在自变量的同一变化过程中,若 f为无穷大,则)(1xf为无穷小；反之,若 f为无穷小,且 f0,则)(1xf为无穷大.4/7 例 4求453221limxxxx 解：当 x1 时,分母 x2-5x+40,因此不能直接使用商的极限法则,但 f的倒数的极限 由无穷大与无穷小的关系可得)(lim1xfx 15 函数的

6、连续性 函数连续性的概念 1函数的增量 定义：在函数 y=f 中,当 x 由 x0初值 变化到 x1终值 时,终值与初值之差 x1-x0叫做自变量的增量或改变量,记为x=x1-x0.相应的,函数终值 f 与初值 f 之差y,叫做函数的增量.注意：增量x 可正、可负；增量y 可正、可负或为零.2函数 y=f 在 x0的连续性 先观察两个函数的图像的特点 当x0 时,y0.当x0 时,y 不趋向于零.定义：设函数 y=f在点 x0与其近旁有定义,如果当自变量 x 在点 x0处的增量x趋近于零时,函数 y=f相应的增量)()(00 xfxxfy也趋近于零,那么就叫做函数 y=f在点 x0连续.用极限

7、表示,就是 或0)()(000limxfxxfx 定义 2：设函数 y=f在点 x0与其左右近旁有定义,如果函数 y=f当 x1x0时的极限存在,且等于它在 x0处的函数值 f,即 那么就称函数 f在点 x0处连续.函数 f在点 x0处连续必须满足三个条件：函数 f在点 x0与其左右近旁有定义；)(lim0 xfxx存在；)()(0lim0 xfxfxx.5/7 例 5 试证函数0,1sin0,0)(xxxxxf,在 x0 处连续.证明：函数)(xf在 x0 与其左右近旁有定义 01sinlim0 xxx f=0 )0()(lim0fxfx 函数)(xf在 x0 处连续.3函数 y=f在区间内

8、的连续 设函数)(xf在区间a,b内有定义,如果左极限)(limxfbx存在且等于)(bf,即)(limxfbx)(bf,就说函数)(xf在点 b 左连续.设函数)(xf在区间a,b内有定义,如果左极限)(limxfax存在且等于)(af,即)(limxfax)(af,就说函数)(xf在点 a 右连续.定 理：函 数)(xf在 点 x0处 连 续)(xf在 点 x0处 既 左 连 续 又 右 连 续)()()(000 xfxfxf 在区间内任一点都连续的函数叫做在该区间内的连续函数,区间叫做函数的连续区间.连续函数的图像是一条连续不断的曲线.4复合函数的连续性 设函数)(ufy 在点0u处连续

9、,函数)(xu在点0 x处连续,且)(00 xu,则复合函数 xfy在点0 x处连续,即 例 6 求xxax1loglim0 解：原式xaxx101loglimaaeealn1lnlnlog.6/7 可以推出：当0 x时,xa1logaxln 152 函数的间断点 函数)(xf在0 x点连续必须满足三个条件,如果这三个条件有一个不满足,则称)(xf在0 x点不连续或间断,并称0 x点为)(xf的不连续点或者间断点.间断点的分类：第一类间断点：00 xfxf,但 000 xfxfxf,或者 0 xf无意义.00 xfxf 不是第一类间断点的其他间断点都称为第二类间断点.闭区间上连续函数的性质 性

10、质 1 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.注意：若区间是开区间,定理不一定成立.若区间内有间断点,定理不一定成立.推论：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界.性质 2 如果函数)(xf在ba,上连续,且)(bfaf0,那么至少存在一点,使得 0f.对于方程)(xf0,若满足性质 2 中的条件,则方程在内至少存在一个实根,又称为函数)(xf的零点.例 7 证明方程01423 xx在区间0,1内至少有一个根.证明：设)(xf1423 xx,)(xf在 1,0上是连续的,又因为)0(f10 )1(f20 根据性质 2,至少存在一点0,1,使 0f.7/7 即 01423 从而证得方程01423 xx在区间0,1内至少有一个根.判断命题是否正确：如果函数)(xf在ba,上有定义,在内连续,且)(bfaf0,那么)(xf 在内必有零点.解答：不正确.例如函数)(xf在0,1内连续,)0(f)1(f2e0,但)(xf在0,1内无零点.,01()2,0exf xx