数列通项公式的求法较全.pdf

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1、 不同的信念，决定不同的命运 常见数列通项公式的求法 公式：1、定义法 若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a与d或1a与q,再代入公式dnaan11或11nnqaa中即可.例 1、成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2，5，13 后成为等比数列 nb的345,b b b,求数列 nb的的通项公式.练 习：数 列 na是 等 差 数 列,数 列 nb是 等 比 数 列,数 列 nc中 对 于 任 何*nN都 有1234127,0,6954nnncab cccc分别求出此三个数列的通项公式.不同的信念，决定不同的命运 2、累加法 形如 nfaann11a已知

2、型的的递推公式均可用累加法求通项公式.（1）当 f nd为常数时，na为等差数列，则11naand；（2）当 f n为n的函数时，用累加法.方法如下：由 nfaann1得 当2n 时，11nnaaf n，122nnaaf n，322aaf，211aaf，以上1n个等式累加得 11+221naaf nf nff 1naa 1+221f nf nff（3）已知1a，nfaann1，其中 f n可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若 f n可以是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；若 f n可以是关于n的二次函数，累加后可分组求和；若 f n可以是关于n的指数函数

3、，累加后可转化为等比数列求和；若 f n可以是关于n的分式函数，累加后可裂项求和求和.例 2、数列 na中已知111,23nnaaan,求 na的通项公式.不同的信念，决定不同的命运 练习 1：已知数列 na满足11322,.nnnaanaa且求 练习 2：已知数列 na中，111,32nnnaaan,求 na的通项公式.练习 3：已知数列 na满足11211,2nnaaann求求 na的通项公式.3、累乘法 形如 1nnaf na1a已知型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.给递推公式 1,nnaf nnNa中的n依次取 1,2,3，1n,可得到下面1n个式子：23412311,2,3,1.

4、nnaaaaffff naaaa 利用公式23411231,0,nnnnaaaaaaanNaaaa可得：11231.naaffff n 不同的信念，决定不同的命运 例 3、已知数列 na满足11,2,31nnnnaaaan求.练习 1：数列 na中已知1121,nnanaan,求 na的通项公式.练习 2:设 na是首项为1的正项数列，且2211(1)0nnnnnanaaa，求 na的通项公式.4、奇偶分析法(1)对于形如 1nnaaf n型的递推公式求通项公式 当1nnaad d为常数时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为 2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.当 f n为n的 函

5、数 时，由 1nnaaf n，11nnaaf n两 式 相 减，得 到+111nnaaf nf n，分奇偶项来求通项.例 4、数列 na满足111,4nnaaa，求 na的通项公式.不同的信念，决定不同的命运 练习：数列 na满足116,6nnaaa，求 na的通项公式.例 5、数列 na满足110,2nnaaan，求 na的通项公式.练习 1:数列 na满足111,1nnaaan，求 na的通项公式.练习 2：数列 na满足112,31nnaaan，求 na的通项公式.不同的信念，决定不同的命运 (2)对于形如 1nnaaf n型的递推公式求通项公式 当1nnaad d为常数时，则数列为“等

6、积数列”，它是一个周期数列，周期为 2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.当 f n为n的函数时，由 1nnaaf n，11nnaaf n两式相除，得到+111nnf naaf n，分奇偶项来求通项.例 6、已知数列 na满足112,4nnaaa，求 na的通项公式.练习：已知数列 na满足112,23nnaaa，求 na的通项公式.例 7、已知数列 na满足1113,2nnnaaa，求 na的通项公式.不同的信念，决定不同的命运 练习 1:数列 na满足112,3nnnaaa，求 na的通项公式.练习 2：数列 na满足111,2nnnaaa，求 na的通项公式.5、待定系数法（构造法）若给出条

7、件直接求na较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有:(1)1,nnapaq p q为常数1,nnnatp atat 构造为等比数列.(2)11111,npnnnnnnnaaapatpt ptpp 两边同时除以为常数(3)11111,1npnnnnnnnaapapatqt p qtqq q 两边同时除以为常数再参考类型(4)1,nnapaqnr p q r是常数 11nnanp an(5)21+nnnapaqa2111t,tnnnnnnatap aaaa构造等比数列 不同的信念，决定不同的命运 例 8、已知数列 na中，11a，321

8、nnaa，求na.练习：已数列 na中，11a 且111,_.2nnnaaa则 例 9、已知数列 na中，1113,33nnnaaa,求 na的通项公式.练习 1：已知数列 na中，113,22nnnaaa，则na_ 练习 2：已知数列 na中，112,34 33nnnaaa,求 na的通项公式.例 10、已知数列 na满足11162,1,nnnaaa求.na 不同的信念，决定不同的命运 练习 1：设数列na满足nnnaaa23,111，则na_ 练习 2：已知数列 na中，111511,632nnnaaa，求na.练习 3：已知数列 nanN的满足：11111 3,432,7nnnak aa

9、nkkR （1）判断数列47nna是否成等比数列；（2）求数列 na的通项公式.不同的信念，决定不同的命运 例 11、数列 na中已知111,23nnaaan,求 na的通项公式.练习 1：数列 na中已知112,32nnaaan,求 na的通项公式.练习 2：数列 na中已知2112,322nnaaann,求 na的通项公式.不同的信念，决定不同的命运 例 12、已知数列 na中，12125,2,2+33nnnaaaaan，求求 na的通项公式.练习 1：已知数列 na中，12+2+1211,2,+33nnnaaaaa，求求 na的通项公式.练习 2：在数列na中，11a，235a，2na1

10、35na23na，令1nnnbaa。(1)求证:数列 nb是等比数列，并求nb。(2)求数列na的通项公式。不同的信念，决定不同的命运 6、利用na与nS的关系 如果给出条件是na与nS的关系式,可利用111,2nnnanaSSn求解.例 13、已知数列 na的前 n 项和为322nnSn，求 na的通项公式.练习 1：已知数列 na的前 n 项和为2134nSnn，求 na的通项公式.练习 2：若数列 na的前n项和为33,2nnSa求 na的通项公式.练习 3：已知数列 na前n项和2142nnnSa,求 na的通项公式.不同的信念，决定不同的命运 7、倒数法（1）11111=,nnnnn

11、nnnpaqapqaqapapaapa构造是等差数列(2)1111=nnnnnnnpaqattqaqatapap ap 例 14、已知数列 na满足1=1a，1232nnnaaa，求 na的通项公式.练习：已知数列 na中，113,12nnnaaaa则na_.例 15、已知数列 na满足1=1a，11234nnnaaa，求 na的通项公式.练习：已知数列 na中，1122,31nnnaaaa则na_.不同的信念，决定不同的命运 8、1110,0lglglg,rnnnnnnnapapaapraapaq两边取对数转化为型 例 16、已知数列 na中，211100,10,nnaaa求na 练习：已知

12、数列 na中，3112,2,nnaaa求na 9、其他 例 17、已数列 na中，11a ，11nnnnaaaa，则数列通项na _.例 18、在数列 na中，1a1，n2 时，na、nS、nS12成等比数列.（1）求234,a a a；（2）求数列 na的通项公式.不同的信念，决定不同的命运 例 19、已知在等比数列an中，11a，且2a是1a和31a 的等差中项.（1）求数列an的通项公式；（2）若数列 nb满足12323nnbbbnbanN，求数列 nb的通项公式 例 20、已知等差数列an的首项 a11，公差 d0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列bn的第二项，第三项，第四项（1）求数列an与bn的通项公式；（2）设数列cn对任意正整数 n，均有3121123nnnccccabbbb，求 cn.