求数列通项公式方法大全.pdf

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1、.1/8 求数列通项公式的常用方法 类型 1、()nnSf a 解 法：利 用 )2()1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消 去nS)2(n或 与)(1nnnSSfS)2(n消去na进行求解.例 1 已知无穷数列 na的前n项和为nS,并且*1()nnaSnN,求 na的通项公式？1nnSa,111nnnnnaSSaa,112nnaa,又112a,12nna.变式 1.已知数列 na中,311a,前n项和nS与na的关系是 nnannS)12(,求na 变式 2.已知数列na的前n项和为nS,且满足322naSnn)(*Nn 求数列na的通项公式 变式 3.已知数

2、列an的前 n 项和Snbnn()1,其中 bn是首项为 1,公差为 2 的等差数列.求数列an的通项公式；变式 4.数列 na的前n项和为nS,11a,*12()nnaS nN求数列 na的通项na 变式 5.已知数列na的前n项和为nS,且满足322naSnn)(*Nn 求数列na的通项公式；变式 6.已知在正整数数列na中,前n项和nS满足2)2(81nnaS 1求证：na是等差数列 2若nb3021na,求nb的前 n 项和的最小值 类型 2、bkaann1型其中bk、为常数,0kb,1k 解：设)(1makmannmkmkaann1 比较系数：bmkm1kbm 1kban是等比数列,

3、公比为k,首项为11kba.2/8 11)1(1nnkkbakba 1)1(11kbkkbaann 例 1 已知数列 na中,11a,121(2)nnaan,求 na的通项公式.解析:利用1()2()nnaxax,xaann12,求得1x,112(1)nnaa,1na 是首项为112a ,公比为 2 的等比数列,即1221nna,12nna ,21nna 变式 1.已知数na的递推关系为4321nnaa,且11a求通项na 类型 3、)(1nfaann型,()f n可求前n项和,利用1211()()nnnaaaaaa求通项公式的方法称为累加法.例 1.已知na的首项11a,naann21*Nn

4、求通项公式.解：)3(232naann 12nnan 变式 1.已知数列na满足11211nnaana，,求数列na的通项公式.变式 2.已知数列na满足112 313nnnaaa，,求数列na的通项公式.变式 3.已知数列na中,11a,1n-13nnaa(2)n 求数列 na的通项公式.变式 4.已知数列 na满足11a,)1(11nnaann,求 na的通项公式.类型 4 bankaann1型 解：可设)()1(1BAnakBnAann ABkAnkkaann)1()1(1.3/8 bABkaAk)1()1(解得：1kaA,2)1(1kakbB BAnan是以BAa1为首项,k为公比的等

5、比数列 11)(nnkBAaBAna BAnkBAaann11)(将 A、B 代入即可 例 1.已知：11a,2n时,12211naann,求na的通项公式.解：设)1(211BnAaBAnann 12121221BAA 解得：64BA 3641a 64 nan是以 3 为首项,21为公比的等比数列 1)21(364nnna 64231nann 类型 5 nnnqkaa1型 0q 等式两边同时除以1nq得qqaqkqannnn111 令nnnqaC 则qCqkCnn11nC可归为bkaann1型 例 1.已知na中,11a,nnnaa2212n求na.4/8 由nnnaa221得12211nn

6、nnaa 2nna成等差数列,)1(212nann122nnnna 类型 6nnnBqAaa1qBA、为常数,下同型,可化为)(11nnnnqaAqa的形式.例 1.在数列 na中,111342,1nnnaaa,求通项公式na 解：原递推式可化为：)13(231nnanna 比较系数得4,式即是：)(aannnn1134234.则数列341nna是一个等比数列,其首项534111a,公比是 2.112534nnna 即112534nnna.变式 1.已知数列na满足123 2nnnaa,12a,求数列na的通项公式.变式 2.已知数列na满足1123 56nnnaaa，,求数列 na的通项公式

7、.变式 3.已知数列na满足1135 241nnnaaa，,求数列na的通项公式.类型 7、nnanfa)(1型.1若)(nf是常数时,可归为等比数列.2若)(nf可求积,利用恒等式321121(0,2)nnnnaaaaaana aa求通项公式的方法称为累乘法.5/8 例 1：已知：311a,11212nnanna2n求数列na的通项.解：1235375325212321212122332211nnnnnnnaaaaaaaaaannnnnn 1211231nnaan 变式 1.已知11a,1()nnnan aa*()nN,求数列 na通项公式.变式 2.20#全国 I 第 15 题,原题是填空

8、题已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，,求na的通项公式.变式 3.已知数列 na满足321a,nnanna11,求na.变式 4.已知na中,nnanna21且21a求数列通项公式.类型 8、1nnncaaad(0,0)cd 取倒数变成1111nndac ac 的形式的方法叫倒数变换.例 1 已知数列 na*()nN中,11a,121nnnaaa,求数列 na的通项公式.解析:将121nnnaaa取倒数得:1112nnaa,1112nnaa,1na是以111a为首项,公差为 2 的等差数列.112(1)nna,121nan.例 2 已知na中,41a,144nn

9、aa2n求na.解：nnnnaaaa)2(24221 2121)2(2211nnnnaaaa1n.6/8 2121211nnaa1n设21nnab 即)1(211nbbnn nb是等差数列 221)1(21211nnaan22nan 例 3.已知数列an满足：a132,且 ann1n13nan2nN2an1（，）求数列an的通项公式；解：1将条件变为：1nnan11n113a（）,因此1nna为一个等比数列,其首项为 111a13,公比13,从而 1nnan13,据此得nannn 331n1 变式 1.已知数列na中11a且11nnnaaaNn,求数列的通项公式.变式 2.数列 na中,11a

10、,12,()2nnnaanNa 变式3.在数列na中,1a=1,nnnaan1)1(,求na的表达式.变式 4.数列na中,nnnnnaaa11122,21a,求na的通项.变式 5.已知na中,11a,其前n项和nS与na满足1222nnnSSa2n（1）求证：1nS为等差数列 2求na的通项公式 类型 9、nnnqapaa12其中 p,q 均为常数.：对于由递推公式nnnqapaa12,21,aa给出的数列 na,方程02qpxx,叫做数列 na的特征方程.若21,xx是特征方程的两个根,.7/8 1当21xx 时,数列 na的通项为1211nnnBxAxa,其中 A,B 由21,aa决定

11、即把2121,xxaa和2,1n,代入1211nnnBxAxa,得到关于 A、B 的方程组；2当21xx 时,数列 na的通项为11)(nnxBnAa,其中 A,B 由21,aa决定即把2121,xxaa和2,1n,代入11)(nnxBnAa,得到关于 A、B 的方程组.3、nnnaBaAa12型,可化为 )()(112nnnnaaAaa的形式.例 11 在数列na中,2,121aa,当Nn,nnnaaa6512 求通项公式na.解：式可化为：比较系数得=-3 或=-2,不妨取=-2.式可化为：则21nnaa是一个等比数列,首项122aa=2-2-1=4,公比为 3.11342nnnaa.利用

12、上题结果有：112534nnna.例 1 数列 na：),0(025312Nnnaaannn,baaa21,求na 解特征根法：的特征方程是：02532 xx.32,121xx,1211nnnBxAxa1)32(nBA.又由baaa21,于是)(32332baBabABAbBAa 故1)32)(323nnbaaba 变式 1.已知数列 na中,11a,22a,nnnaaa313212,求na.1731:()443nnkey a.变式 2.已知数列 na满足*12211,3,32().nnnaaaaa nN求数列 na的通项公式；.8/8 类型 10rnnpaa1)0,0(nap 解法：这种类型

13、一般是等式两边取对数后转化为qpaann1,再利用待定系数法求解.例 1 已知数列na中,2111,1nnaaaa)0(a,求数列.的通项公式na 解：由211nnaaa两边取对数得aaann1lglg2lg1,令nnablg,则abbnn1lg21,再利用待定系数法解得：12)1(nnaaa 变式 1.20#高考题若数列na中,1a=3 且21nnaan 是正整数,则它的通项公式是na=类型 11 周期型 解法：由递推式计算出前几项,寻找周期.例 1 若数列 na满足)121(,12)210(,21nnnnnaaaaa,若761a,则20a的值为_.变式2005#文 5已知数列na满足)(133,0*11Nnaaaannn,则20a=A0 B3 C3 D23 类型 12 平方开方法 例 1 若数列na中,1a=2 且213nnaan2,求它的通项公式是na.解 将213nnaa两边平方整理得3212nnaa.数列2na是以21a=4 为首项,3 为公差的等差数列.133)1(212nnaan.因为na0,所以13 nan.