等腰三角形性质定理.pdf

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1、.教师 日期 学生 课程编号 课型 专题 课题 等腰三角形的性质定理 教学目标 通过观察发现等腰三角形的性质；掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；掌握等边三角形的特征和识别方法；掌握一般文字命题的解题方法 教学重点 重点：等腰三角形的性质与判定。难点：比较复杂图形、题目的推理证明 教学安排 版块 时长 1 等腰三角形的性质 30分钟 2 等腰三角形的判定 30分钟 3 例题讲解 40分钟 4 随堂练习 20分钟.知识点一：等腰三角形、腰、底边 在小学里我们就已经学过，有两边相等的三

2、角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角 如图所示，在ABC 中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中 AB、AC 为腰，BC 为底边，A 是顶角，B、C 是底角 知识点二：三角形按边分类 不等边三角形 三角形 底边与腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形（正三角形）知识点三：等腰三角形的性质 1、性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）等腰三角形 等腰三角形的性质定理.2、这两个性质证明如下：在ABC 中，AB=AC，如图所示 作底

3、边 BC 的高 AD，则有 RtABDRtACD B=C，1=2BD=CD 于是性质 1、性质 2 均得证 3、说明：（1）等腰三角形的性质 1 用符号表示为：AB=AC，B=C；性质 1 是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据 （2）性质 2 实质包含三条性质，符号表示为：AB=AC，ADBC，1=2，BD=CD；或 AB=AC，BD=CD，l=2，ADBC 性质 2 的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等 （3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴 一、规律方法指导 1 等

4、腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。2 常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。二、难点分析 1、对于“等腰三角形的三线合一”一定要注意是底边上的高线、中线和顶角平分线，其他的高、中线、角平分线不满足三线合一。2、分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角，要对已知的边和

5、角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。.类型一：与度数有关的计算 1如图，在ABC 中，D 在 BC 上，且 AB=AC=BD，1=30，求2 的度数。思路点拨:解该题的关键是要找到2 和1 之间的关系，显然2=1+C，只要再找出C 与2 的关系问题就好解决了，而C=B，所以把问题转化为欲找出2 与B 之间有什么关系，变成ABD 的角之间的关系，问题就容易的多了。解析：AB=AC B=C AB=BD 2=3 2=1+C 2=1+B 2+3+B=180 B=18022 2=1+18022 32=1+180 1=30 2=70 总结升华：关于角度问题可以通过建立方程进行解决。举一反三

6、：【变式 1】如图，D、E 在ABC 的边 BC 上，且 BE=BA，CD=CA，若BAC=122，求DAE 的度数。【变式 2】在ABC 中，AB=AC，D 在 BC 上，E 在 AC 上，且 AD=AE，BAD=30，求EDC 的度数。.类型二：等腰三角形中的分类讨论 2当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 （1）已知等腰三角形的两边长分别为 8cm 和 10cm，求周长。（2）等腰三角形的两边长分别为 3cm 和 7cm，求周长。思路点拨:由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的

7、前提，因此必须进行分类讨论。解析：（1）因为 8+810，10+108，则在这两种情况下都能构成三角形；当腰长为 8 时，周长为 8+8+10=26；当腰长为 10 时，周长为 10+10+8=28；故这个三角形的周长为 26cm 或 28cm。（2）当腰长为 3 时，因为 3+37，所以此时不能构成三角形；当腰长为 7 时，因为 7+73，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：7+7+3=17；故这个三角形的周长为 17cm。总结升华：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形 举一反三：【变式 1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 等腰三角形的

8、一个角是另一个角的 4 倍，求它的各个内角的度数 【变式 2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论 等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 25，求这个三角形的各个内角的度数。.【变式 3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论 在三角形 ABC 中，AB=AC，AB 边上的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得的锐角为 45，求B 的度数。【变式 4】由腰上的中线引起的分类讨论 等腰三角形底边长为 5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3cm，求腰长。类型三：等腰三角形的性质定理与全等三角形的应用 3.如图，五边形 ABCDE 中 AB=AE，BC=DE，ABC=AED，点 F 是 CD 的

9、中点求证：AFCD 思路点拨:要证明 AFCD，而点 F 是 CD 的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，于是连接 AC、AD，证明 AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论 解析：连接 AC、AD 在ABC 和AED 中，AB=AE（已知）ABC=AED（已知）BC=ED（已知）ABCAED（SAS）AC=AD（全等三角形的对应边相等）又ACD 中 AF 是 CD 边的中线（已知）AFCD（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）.【变式 1】如图，ABC 中 BA=BC，点 D 是 AB 延长线上一点，DFAC 于 F 交 BC 于 E，求证：DBE 是等腰三角形 EDC

10、ABF 课后作业 一、填空：1、等腰三角形的的两边长为 4cm 和 9cm，则该等腰三角形的周长为_cm。2、等腰三角形的周长为 20 cm，一边长为 6 cm，则底边长为_。3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30，则顶角为_。4、已知 BD 是等腰 ABC 的角平分线，如果A=80，那么ADB 等于_。5、如图，在等腰 RtOAA1中，OAA1=90，OA=1，以 OA1为直角边作等腰 RtOA1A2，以 OA2为直角边作等腰 RtOA2A3，则 OA4的长度为_。6、如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，D 是 BC 的中点，DEAC.则AB:AE_。7、如图，C 为线段 A

11、E 上一动点（不与点 A，E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形 ABC和正三角形 CDE，AD 与 BE 交于一点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结PQ以下五个结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60.恒成立的有_（把你认为正确的序号都填上）。第 6 题图 第 7 题图.二、选择题 1.若一个三角形的三个外角度数比为 2：3：3，则这个三角形是（）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 2.将两个全等的有一个角为 30的直角三角形拼成如图 1 所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（

12、）图 1 A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 3.如图 2，C、E 和 B、D、F 分别在GAH 的两边上，且 AB=BC=CD=DE=EF，若A=18，则GEF 的度数是（）A80 B90 C100 D108 EDCABHFG 图 2 图 3 4.如图 3，已知AOB=60，点 P 在边 OA 上，OP=12，点 M，N 在边 OB 上，PM=PN，若 MN=2，则 OM=（）A 3 B 4 C 5 D 6 5.在ABC 中，AB=AC，下列推理中错误的是（）A、如果 AD 是中线，那么 ADBC，BAD=DAC B、如果 BD 是高，那么 BD 是角平分线 C、如果 AD 是高

13、，那么BAD=DAC、BD=DC D、如果 AD 是角平分线，那么 AD 也是 BC 边的垂直平分线 .三、解答题 1、等腰三角形的周长为 12，且其各边长均为整数，求各边长。2、（1）等腰三角形的一个角为 50，求另外两个角的度数。（2）等腰三角形的一个外角为 100，求该等腰三角形的顶角。3、等腰三角形一腰上的中线将等腰三角形的周长分成 8cm 和 10cm 的两部分，求该等腰三角形的各边长。4、如图 2 所示，ABC 和BDE 都是等边三角形。求证：AECD。5、如图，等腰ABC 中，AB=AC，DBC=15，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，求A 的度数 6、“有两边相等的两个直角三角形全等”这个命题对与否，甲、乙、丙三位同学给出了如下论断：甲：正确。因为若两边都是直角边，则用（SAS）全等识别法就可以证它们全等。乙：正确。因为若其中一边是直角边，另一边是斜边，则可用（HL）定理证全等。丙：不正确。若一个三角形较长的直角边与另一三角形斜边相等，较短的直角边与另一三角形较长的直角边相等，则显而易见两个三角形不全等。请你就这三个同学的见解发表自己的意见。