(全国通用)2020版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题二三角函数、解三角形与平面向量第3讲平面.pdf

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1、第 3 讲 平面向量 考情研析1.考查平面向量的基本定理及基本运算,多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档 2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合,以解答题形式出现。核心知识回顾 1。平面向量的数量积(1）若a,b为非零向量,夹角为，则ab错误!ab|cos。(2)设a(x1，y1),b(x2，y2),则ab错误!x1x2y1y2.2两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a(x1，y1)，b(x2，y2）,则（1）ab错误!ab(b0)错误!x1y2x2y10.（2）ab错误!ab0错误

2、!x1x2y1y20。3利用数量积求长度（1)若a（x,y），则a错误!错误!错误!错误!.(2)若A（x1，y1)，B(x2，y2)，则错误!错误!错误!。4利用数量积求夹角 若a(x1，y1），b（x2，y2)，为a与b的夹角，则 cos错误!错误!错误!错误!。5三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对的边分别为a,b，c，则（1)O为ABC的外心错误!错误!错误!|错误!错误!。（2）O为ABC的重心，02错误!错误!错误!0.(3）O为ABC的垂心错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!。(4）O为ABC的内心，04a错误!b错误!c错误!0.

3、热点考向探究 考向 1 平面向量的概念及运算 例 1（1)已知向量a（1，2)，b(2，3），若manb与 2ab共线(其中m,nR且n0），则错误!（)A2 B2 C错误!D。错误!答案 A 解析 因为manb(m2n，2m3n)，2ab(0,7）,manb与 2ab共线，所以m2n0，即错误!2.故选 A.（2)（2019云南第二次统考)已知点O(0，0),A(1,3),B(2，4)，错误!错误!m错误!.若点P在y轴上，则实数m的值为(）A。13 B.错误!C。错误!D.错误!答案 A 解析 由题意，可得错误!（1，3)，错误!(3，7），所以错误!错误!m错误!（3m1,37m),点P

4、在y轴上,即 3m10,m错误!.故选 A.（3)（2019贵州南白中学（遵义县一中）高一联考)已知D是ABC的边AB上的中点，则向量错误!等于(）A。错误!错误!错误!B错误!错误!错误!C.错误!错误!错误!D错误!错误!错误!答案 D 解析 D是ABC的边AB的中点,错误!错误!（错误!错误!），错误!错误!错误!，错误!错误!（错误!错误!错误!）错误!错误!错误!.故选 D.平面向量的线性运算有几何运算和坐标运算两种形式,几何运算主要是利用三角形法则和平面向量的基本定理，坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 1(2019

5、四川巴中高三诊断）向量错误!（2,3)，错误!（4，7)，则错误!（）A（2，4)B（2，4）C(6，10）D（6,10)答案 B 解析 错误!错误!错误!（2，4)故选 B.2(2019四川宜宾高三二诊)在平行四边形ABCD中，M是DC的中点，向量错误!2错误!,设错误!a，错误!b，则错误!(）A.错误!a错误!b B错误!a错误!b C。16a错误!b D.错误!a错误!b 答案 A 解析 根据题意画图，如图所示，则错误!错误!错误!错误!错误!错误!a，错误!错误!错误!错误!(错误!错误!）错误!错误!错误!错误!错误!a错误!b，错误!错误!错误!错误!a错误!b错误!a错误!a错

6、误!b，故选 A.3（2019陕西高三一模）如图,在OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点,且BC3BF，若错误!m错误!n错误!，其中m，nR,则mn的值为(）A1 B.32 C。错误!D。错误!答案 C 解析 在平行四边形中错误!错误!，错误!错误!,错误!错误!错误!，因为E是AC的中点，所以错误!错误!错误!错误!错误!,所以错误!错误!错误!错误!错误!错误!，因为BC3BF，所以错误!错误!错误!错误!错误!,所以错误!错误!错误!错误!错误!错误!，因为错误!m错误!n错误!，所以错误!错误!错误!错误!错误!,在OACB中,错误!错误!错误!，所以 错误!解得错误!所以m

7、n错误!.故选 C.考向 2 平面向量的数量积 例 2（1)（2019辽宁鞍山一中三模）设a，b是夹角为 60的单位向量,则 2ab和3a2b的夹角为()A30 B60 C120 D150 答案 B 解析 由题意，因为a，b是夹角为 60的单位向量，ab|abcos60错误!，则(2ab）(3a2b)6a22b2ab62错误!错误!，2ab错误!错误!错误!错误!，|3a2b|错误!错误!错误!错误!错误!，设 2ab和 3a2b的夹角为，则 cos错误!错误!错误!，即60.故选 B。(2)如图，在ABC中，ABBC4，ABC30，AD是BC边上的高，则错误!错误!()A0 B4 C8 D4

8、 答案 B 解析 因为ABBC4，ABC30，AD是BC边上的高，所以AD4sin302，所以错误!错误!错误!(错误!错误!)错误!错误!错误!错误!错误!错误!24错误!4。故选 B.(3）（2019安徽黄山高三二模）已知向量a，b满足|a|2,|b|2，且a（a2b)，则b在a方向上的投影为（)A1 B 2 C。错误!D1 答案 D 解析 因为a(a2b），所以a(a2b）0,42ab0，ab2，因此b在a方向上的投影为错误!1。选 D.(1）向量数量积有两种不同形式的计算公式：一是夹角公式abab|cos;二是坐标公式abx1x2y1y2。(2)用数量积求长度的方法：|a错误!；|ab

9、|错误!;若a(x，y），则a|错误!.（3）用数量积公式求夹角:cos错误!.1已知向量a与b的夹角为 30,且a|2，|2ab|2,则|b|（）A2错误!B。错误!C。2 D3错误!答案 A 解析 abab|cos30错误!b，|2ab24a24abb2164错误!b|b24，b|2错误!.故选 A.2(2019贵州省南白中学（遵义县一中)高二联考）已知|错误!1,|错误!|2,若错误!错误!0，错误!错误!0,则|错误!|的最大值为（)A.错误!B2 C.5 D2错误!答案 C 解析 由题意可知，ABBC，CDAD，故四边形ABCD为圆内接四边形，且圆的直径为AC，由勾股定理可得AC错误

10、!错误!，因为BD为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故错误!|的最大值为错误!.故选 C。3如图，在ABC中，O为BC的中点，若AB1，AC4，错误!，错误!60，则|错误!_.答案 错误!解析 因为0)，错误!错误!(0)，则错误!错误!的最小值是_ 答案 错误!解析 由题意得，错误!错误!2错误!错误!错误!，所以错误!错误!错误!错误!错误!，又D，E，F在同一条直线上，可得错误!错误!1.所以错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!2错误!，当且仅当 2时取等号 配套作业 一、选择题 1.(2019安徽毛坦厂中学高三校区 4 月联考)如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，错

11、误!2错误!，点E是AD的中点，若错误!a，错误!b，则错误!(）A3ab B2ab C3a2b D2a2b 答案 A 解析 错误!2错误!,错误!2错误!，点E是AD的中点，错误!错误!.错误!AE，错误!错误!错误!错误!错误!错误!2aba3ab.故选 A.2(2019陕西榆林三模）已知向量a与向量b的模均为 2，若|a3b2错误!，则向量a与向量b的夹角是（）A60 B30 C120 D150 答案 A 解析 a3b|2|a26ab9b|24024cos a,b28,cosa，b错误!,60，故选A。3如图，在OAB中,P为线段AB上的一点，错误!x错误!y错误!，且错误!2错误!，则

12、(）Ax23，y错误!Bx错误!，y错误!Cx错误!，y错误!Dx错误!,y错误!答案 A 解析 由题意知错误!错误!错误!,又错误!2错误!,所以错误!错误!错误!错误!错误!错误!(错误!错误!）错误!错误!错误!错误!，易知x错误!,y错误!.4(2019新疆维吾尔族自治区二模)O是ABC的外接圆圆心，且错误!错误!错误!0，|错误!|错误!|1,则错误!在错误!方向上的投影为（)A错误!B错误!C。错误!D。错误!答案 B 解析 由错误!错误!错误!0，得错误!错误!，所以四边形ABOC是平行四边形又O是ABC的外接圆圆心，所以OAOBOC，所以四边形ABOC是菱形,且ACO60，CB

13、平分ACO，所以ACB30，即错误!与错误!的夹角为 150,因为|错误!错误!1，所以错误!在错误!方向上的投影为|错误!|cos150错误!。故选 B。5已知错误!（2，1),点C（1，0），D(4，5),则向量错误!在错误!方向上的投影为()A3错误!B错误!C.错误!D3错误!答案 C 解析 点C（1，0),D(4,5），错误!（5,5）又错误!（2,1），向量错误!在错误!方向上的投影为|错误!|cos错误!，错误!错误!错误!错误!.6在ABC中,(错误!错误!)错误!|错误!|2，则ABC的形状一定是(）A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 答案 C 解析

14、由(错误!错误!）错误!错误!|2,得错误!(错误!错误!错误!)0，即错误!(错误!错误!错误!)0，错误!2错误!0,错误!错误!。A90,选 C.7（2019山东师范大学附属中学五模)已知O是ABC所在平面上的一定点，若动点P满足错误!错误!错误!，（0，），则点P的轨迹一定通过ABC的（）A内心 B外心 C重心 D垂心 答案 C 解析|ABsinB|AC|sinC，设它们等于t，错误!错误!错误!(错误!AC），如图，设BC的中点为D，则错误!错误!2错误!，错误!(错误!错误!)表示与错误!共线的向量错误!，而点D是BC的中点，即AD是ABC的中线，所以点P的轨迹一定通过三角形的重心

15、故选 C.8平面向量a，b满足|a4,|b|2,ab在a上的投影为 5，则a2b为（)A2 B4 C8 D16 答案 B 解析 根据条件,|ab|cos（ab），a|ab|错误!错误!错误!5，所以ab4，所以（a2b)2a24ab4b216161616，所以a2b4.故选 B.二、填空题 9（2019辽宁沈阳郊联体高三一模）若平面向量e1，e2满足|e1|3e1e22，则e1在e2方向上的投影的最大值为_ 答案 4 23 解析 因为e1|3e1e22，所以e124,9e12e226e1e24，e1在e2方向上的投影为错误!2cos，其中为e1,e2的夹角 又 36e2212e2cos4，故|

16、e2|212|e2cos320.设te2|，则t212tcos320 有非负解，故错误!故 cos错误!，故错误!错误!,即e1在e2方向上的投影的最大值为错误!。10向量a,b满足|a|2，b|1，且|a2b|（2,2错误!,则a,b的夹角的取值范围是_ 答案 错误!解析|a2b|(2，2 3，(a2b)2(4,12,即a24b24ab448cos（4，12，cos错误!,故错误!。11(2019四川成都外国语学校高三一模）如图所示，在ABC中，ADDB,点F在线段CD上，设错误!a,错误!b，错误!xayb，则错误!错误!的最小值为_,此时x_.答案 32错误!错误!1 解析 错误!xay

17、b2x错误!y错误!.C,F,D三点共线，2xy1。即y12x。由图可知x0.错误!错误!错误!错误!错误!.令f（x)错误!，得f(x)错误!,令f（x)0，得x错误!1 或x错误!1（舍去)当 0 x错误!1 时，f（x)错误!1 时，f(x)0。当x错误!1 时，f（x）取得最小值 f（错误!1）错误!32错误!.三、解答题 12已知向量a（sinx,cosx）,b错误!，函数f(x)ab。（1)求f(x)的单调递增区间；（2）若错误!，且 cos错误!错误!，求f()解(1)f(x）sinxcos错误!1错误!sinxcosx错误!sin2x1错误!sin2x错误!cos2x错误!错误

18、!sin错误!错误!。令 2k错误!2x错误!2k错误!,kZ，解得k错误!xk错误!，kZ.故f(x)的单调递增区间为错误!，kZ.（2）f(）错误!sin错误!错误!sin错误!cos错误!错误!，又 cos错误!错误!，且错误!，sin错误!错误!，f()错误!错误!。13已知ABC的面积为S，且错误!错误!S.(1)求 tan2B的值；(2）若 cosA错误!，且错误!错误!2，求BC边上的中线AD的长 解(1）由已知错误!错误!S有accosB错误!acsinB，可得 tanB2，所以 tan2B错误!错误!.（2）由|错误!错误!|2 可得|错误!|2，由(1）知 tanB2，解得

19、 sinB错误!,cosB错误!，又 cosA错误!，所以 sinA错误!，sinCsin(AB）sinAcosBcosAsinB错误!。因为 sinBsinC，所以BC，所以ABAC2，所以中线AD也为BC边上的高，所以ADABsinB2错误!错误!.14(2019湘赣十四校高三第二次联考)在ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a3错误!，b3，cosAcos2B。（1)求边c的长;（2）若D为直线BC上的一点，且错误!2|错误!，求错误!|。解(1)解法一：a3错误!，b3，sinA错误!sinB.又 cosAcos2B，所以与平方相加得 2sin2Bcos22B1，即

20、cos22Bcos2B0,cos2B0 或 cos2B1。又ab，B为锐角，0b，B为锐角，02B180，cosAcos2B，A2B。sinAsin2B2sinBcosB，由正弦定理与余弦定理得，a2b错误!,又a3错误!,b3，c26c90，即c3.（2)解法一：当错误!2错误!时，错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!,|错误!|错误!错误!；当错误!2错误!时，错误!错误!错误!错误!2错误!错误!2错误!2错误!2错误!错误!,错误!错误!3错误!.解法二：当错误!2错误!时，在ACD中,AC3，CD2错误!，ACD45，AD2AC2

21、CD22ACCDcos455，|错误!|错误!；当错误!2错误!时，在ACD中，AC3,CD6错误!,ACD45，AD2AC2CD22ACCDcos4545，错误!3错误!。15已知向量a错误!,b错误!，0，设函数f(x)ab3 的部分图象如图所示，A为图象的最低点,B，C为图象与x轴的交点，且ABC为等边三角形,其高为 2错误!。(1）求的值及函数f(x)的值域；(2)若f（x0)错误!,且x0错误!，求f（x01）的值 解（1）由已知可得f（x）ab36cos2错误!错误!sinx32错误!sin错误!，由正ABC的高为 2 3，可得BC4，所以函数f(x)的最小正周期T428，即错误!

22、8,得错误!，故f(x）2错误!sin错误!，所以函数f(x)的值域为2错误!，2错误!（2）由(1）有f（x0)2错误!sin错误!,又f(x0)错误!，故 sin错误!错误!，由x0错误!，得错误!错误!错误!，所以 cos错误!错误!错误!,故f(x01）2错误!sin错误!2错误!sin错误!2错误!错误!错误!错误!错误!错误!.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长

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