.6.1直线与直线垂直-.6.2直线与平面垂直-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典536

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1、 8.6.1 直线与直线垂直-8.6.2 直线与平面垂直 姓名：_ 班级：_ 得分：_ 注意事项：本试卷满分 100 分，考试时间 45 分钟，试题共 16 题答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2021浙江丽水市高三期末）已知平面，直线 m，n 满足m，n ，则“mn”是“m”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由直线 m，n 满足m，na，则mn时，m 与可垂

2、直，可不垂直，当m，且na，根据线面垂直的性质定理，可以得到mn，所以“mn”是“m”的必要不充分条件.故选：B 2（2017安徽高二学业考试）如图，在四面体ABCD中，AB 平面BCD，BCCD，若1ABBCCD，则AD（）A1 B2 C3 D2【答案】C【详解】因为BCCD，1ABBCCD，所以222BDBCCD，又AB 平面BCD，BD 平面BCD，所以ABBD；因此223ADABBD.故选：C.3（2021盐城市伍佑中学高三期末）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）AAB 与 CF 成 60角 BBD 与 EF 成 60角 CAB 与 CD 成 60 DAB 与

3、EF 成 60角【答案】C【详解】解：由正方体的平面展开图，还原成如图所示的正方体，由CF 平面ABC,AB平面ABC,所以CFAB 所以AB与CF成90角，故 A 错误；由BD 平面1A EDF，EF 平面1A EDF，所以BD与EF成 90角，故 B 错误；又/AECD，所以BAE是AB与CD所成角，又ABE是等边三角形，则60BAE，所以AB与CD成 60角，故 C 正确；因为1/ABA D，又1A DEF，所以AB与EF成 90角，故 D 错误 故选：C 4（2021河南高三一模（理）如图，在棱长为 1 正方体1111ABCDABC D中，M为棱AB的中点，动点P在侧面11BCC B及

4、其边界上运动，总有1APD M，则动点P的轨迹的长度为（）A22 B52 C16 D32【答案】A【详解】如图：分别取BC、1BB的中点E、F，连,AE AF EF，1,AM DM，1AF，因为M为AB的中点，E为BC的中点，ABCD为正方形，所以DMAE，又1D D 平面ABCD，所以1D DAE，而1DMD DD，所以AE平面1D DM，所以1D MAE，同理可得1D MAF，又AEAFA，所以1D M 平面AEF，因为AP 平面AEF，所以1APD M，因为动点P在侧面11BCC B及其边界上运动，所以动点P的轨迹是线段EF，而22EF，所以动点P的轨迹的长度为22.故选：A 5（202

5、1江苏高一课时练习）如图所示，PA平面 ABC，ACB90，EFPA，且 CE 与 AB 不垂直，则图中直角三角形的个数是（）A3 B4 C5 D6【答案】D【详解】90,ACBACB是直角三角形.由PA 平面ABC，得PAAB，PAAC，PABC，,PABPAC是直角三角形.又,BCAC ACPAA，BC平面,PACBCPCPCB是直角三角形./,EFPA PA 平面ABC，EF平面,ABCEFBE EFEC，,BEFFEC是直角三角形，,PABPACACBPCB，,FECBEF均为直角三角形，共 6 个.故选：D 6（2021全国高三月考（理）在棱长为4 2的正四面体ABCD中，点E，F分

6、别为直线AB，CD上的动点，点P为EF中点，Q为正四面体中心（满足QAQBQCQD），若2PQ，则EF长度为（）A2 6 B6 C3 D2【答案】A【详解】解：将正四面体放在棱长为 4 的正方体中，则ABCD，Q为正方体的中心，设,M N分别是,AB CD的中点，则Q是MN的中点，,MNAB MNCD，连接EN，设EN的中点为S，连接,QS SP PQ，因为QS是NME的中位线，所以1/,2QS ME QSME，同理1/,2SP NF SPNF，因为ABCD，所以MENF，所以QSSP，即90QSP，则22222124QSSPMENFPQ，所以228MENF，因为MNME，所以222216NE

7、MNMEME，因为NFME，NFMN,MNMEM，所以NF 平面MNE，所以NFNE，在RTNEF中，2222162 6EFNFNENFME 故选：A.7（2021北京人大附中高二期末）如图，在正方体1111ABCDABC D中，6AB，点 P 在平面11AB D内，13 2AP，则点 P 到1BC距离的最小值为（）A3 2 B2 3 C6 D3【答案】B【详解】先简要说明：1AC 面11AB D如下 因为四边形1111DCBA为正方形，故1111ACB D 又1C C 面1111DCBA，有111CCB D 故11B D 面11AC C，故111B DAC 同理有11B AAC，故1AC 面

8、11AB D 再简要说明：面11/AB D面1BDC如下 11/BDB D，故/BD面11AB D 11/BCAD，故1/BC面11AB D 故面11/AB D面1BDC 设1AC面11AB DO 1AC面11BDCO 11116 2ABB DAD 111116A AABAD，三棱锥111AAB D为正三棱锥，O为11AB D的内心 由等体积法可知1111111136 6 66 26 232322AAB DVAO 故12 3AO 22211A PAOOP 6OP 11AB D的内切圆的半径136 2632r P的轨迹是面11AB D上以O为圆心，6为半径的圆，记为1M 恰好为11AB D的内切

9、圆.又面11/AB D面1BDC，11AB D全等于1BDC，1OO 面1BDC 故1O也为正11AB D的内心 将圆1M投影到平面1BDC上，且圆心为1O，记为圆2M，故2M是1BDC的内切三角形 1BC上的切点与1M上对应的点即为到1BC距离最短的点.故则点 P 到1BC距离的最小值等于11126 34 32 3OOACAO 8（多选）（2021全国高三专题练习）如图所示，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，M，N 分别为棱11AD，1DD的中点，则以下四个结论正确的是（）A1/BC MN B1BC 平面1MNC CA 到直线 MN 的距离为3 24 D过 MN 作该正方体

10、外接球的截面，所得截面的面积的最小值为38【答案】ACD【详解】正方体中，11/ADBC，而 M，N 分别为棱11AD，1DD的中点，则1/MNAD，所以1/BCMN，A 正确，B 错误；设1AD与1,AD MN分别交于点,E F，则11ADAD，1ADMN，由 M，N 分别为棱11AD，1DD的中点，知F是1ED中点，133 244AFAD，C 正确；正方体外接球球心是正方体对角线交点O，由对称性知过 MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积最小的圆是以MN所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为F，132OD，124D F，11126cos33ADOD FBD，222111112cosO

11、FD FDOD F DOFD O23236321644238，截面圆半径为r，则2221333488rODOF，面积为238Sr，D 正确 故选：ACD 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9（2021全国高一课时练习）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，其中1,2ADAB，侧棱PA 底面ABCD，且直线PB与CD所成角的余弦值为2 55，则四棱锥PABCD的外接球表面积为_.【答案】6【详解】如图，因为/AB CD，故PBA或其补角为异面直线PB与CD所成的角，因为PA 平面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB，故P

12、BA为锐角，故2 5cos5PBA，故252 55PB，故1PA.将该四棱锥补成如图所示的长方体：则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，其直径为1 146，故表面积为22426RR.故答案为：6.10（2021浙江高二期末）如图，在三棱锥PABC中，点 B 在以AC为直径的圆上运动，PA 平面,ABCADPB，垂足为,DDEPC，垂足为 E，若2 3,2PAAC，则三棱锥PADE体积的最大值是 _ 【答案】34【详解】由PA 平面ABC，得PABC，又BCAB，PAABA，BC平面PAB，得BCAD，又ADPB，PBBCB，AD平面PBC，得ADPC，而DEPC，ADDED，PC平面ADE，可

13、得AEPC 在RtPAC中，由2 3,2PAAC，得4PC 由Rt PEARt PAC，得PEPAPAPC，则21234PAPEPC，由3PE，2 3PA，得23AE，又ADDE，2223ADDEAE，得2232ADDEAD DE，即32AD DE（当且仅当ADDE时等号成立），三棱锥PADE体积的最大值是1111333323224ADDEPE 故答案为：34 11（2021贵州遵义市高二期末）如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，线段11B D上有两个动点E，F，且24EF，现有如下四个结论：延长线段BF和AE必相交于一点；ACBE；平面/EFC平面1ABD；三棱锥ABEF的体

14、积为定值.其中正确结论的序号是_.【答案】【详解】延长线段BF和AE，假设相交于一点，则BF与AE共面于平面 ABFE，则EF与AB共面，则EF与AB平行或相交，但是正方体上底面与下底面平行，故EF与AB无公共点，又11/ABAB，AB与EF不平行，故假设矛盾，线段BF和AE异面，不会相交于于一点，错误；易见，正方体中，ACBD，1DDAC，BD与1DD相交，且在平面11BDD B内，故AC 平面11BDD B，而BE 平面11BDD B，故ACBE，正确；平面EFC，即平面11D BC，正方体中，1BB与1DD平行且相等，故四边形1BB1DD是平行四边形，故11/D BDB，故11/D B平

15、面1ABD，同理，11AD与BC平行且相等，则11/DCAB，故1/DC平面1ABD，11D B与1DC相交，且在平面11D BC内，故平面11/D BC平面1ABD，即平面/EFC平面1ABD，正确；三棱锥ABEF的体积13A BEFBEFVSh，由AC 平面11BDD B，知1222hAC，AEF中，B 到 EF 的距离为棱长11BB，故1112212248BEFSEF BB，11221338224A BEFBEFVSh，故体积是定值，正确.故答案为：.12（2021南京市宁海中学高二期末）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 E，F 分别是棱 BCCC1的中点，

16、P 是侧面 BCC1B1内一点(含边界)，若 A1P/平面 AEF，点 P 的轨迹长度为_.直线 A1P 与平面 BCC1B1所成角的正切值的取值范围是_.【答案】3 2542，2,2 2 【详解】（1）如下图所示，分别取棱111,BB BC的中点,M N，连接MN，连接1BC，因为,M N E F为所在棱的中点，所以11/,/MNBC EFBC，所以/MNEF，又MN 平面,AEF EF 平面AEF，所以/MN平面AEF；因为11/,AANE AANE，所以四边形1AENA为平行四边形，所以1/A NAE，又1A N 平面AEF，AE 平面AEF，所以1/A N平面AEF，又1A NMNN，

17、所以1/AMN平面AEF，因为P是侧面11BCC B内一点，且1/AP平面AEF，则P必在线段MN上，在直角11AB M中，2221111151()22AMABB M，同理，在直角11AB N中，求得152A N，所以AMN为等腰三角形，当P在MN中点O时，1A PMN，此时1AP最短，P位于,M N处时1AP最长，222211523 2()()244AOAMOM，1152AMA N，所以线段1AP长度的取值范围是3 2542，.（2）11AB 平面11BCC B，设直线 A1P 与平面 BCC1B1所成角为，111tanABB P,111AB，由（1）可知点P在线段MN上，1B P的最小值是

18、124BO,1B P的最大值是112B M,tan的最小值是1212，tan的最大值是12 224,直线 A1P 与平面 BCC1B1所成角的正切值的取值范围是2,2 2.故答案为：3 2542，；2,2 2 三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13（2020绥化市第一中学高二月考（文）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E 为侧棱 PA 的中点 （1）求证：PC/平面 BDE；（2）若 PCPA，PDAD，求证：PA平面 BDE【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】证明:（1）连

19、结AC，交BD于O，连结OE.因为ABCD是平行四边形，所以OAOC.因为E为侧棱PA的中点 所以OEPC.因为PC 平面BDE，OE 平面BDE 所以PC平面BDE.（2）因为E为AP中点，PDAD 所以PADE 因为PCPA，OEPC 所以PAOE.因为OE 平面BDE，DE 平面BDE，OEDEE 所以PA 平面BDE.14（2021山东烟台市高三一模）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，,APPD将三角形PAD沿AD折起使平面PAD 平面ABCD.（1）若M为PC上一点，且满足BMPD，求证：PDAM；【答案】证明见解析；【详解】证明：因为面PAD 面,ABCD面PAD面,ABCD

20、AD AB面,ABCD,ABAD所以AB 面,PAD 又PD 面,PAD 所以,PDAB 又,PDBM ABBMB，所以PD 面,ABM 又AM 面,ABM 所以PDAM；15（2021山西高三一模（文）在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，三角形APB为等腰直角三角形，PAPB，已知2AD，2AB，PDAB，5PC （1）求证：BDAD；（2）求四棱锥PABCD的体积【答案】（1）见解析（2）33【详解】（1）取 AB 中点 O,连接 PO,DO，APB为等腰直角三角形，PAPB，则,POAB 又,PDAB PDPOP AB平面 POD,又DO 平面 POD,故 ABOD；且 O

21、 为线段 AB 中点，则 AD B 为等腰三角形故2ADBD，222ADBDAB BDAD（2）因为 PDAB，且 AB 平行 CD,则PDCD，5PC 则541PD ，则POD为等边，又由（1）AB平面 POD,AB平面 ABCD，则平面POD 平面 ABCD，过 P 作 PEOD,则 PE平面 ABCD，且32PE，又221222ADBABCDADBSSS PABCD的体积1332323V 16（2020华中科技大学附属中学高二月考）设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且PA 平面ABCD，若1PAAB，2BC.（1）求PC与平面PAD所成角的正切值；（2）在BC边上是否存在

22、一点G，使得点D到平面PAG的距离为2，若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由；（3）若点E是PD的中点，在PAB内确定一点H，使CHEH的值最小，并求此时HB的值.【答案】（1）55；（2）存在，1BG；（3）,C H E三点共线，53HB.【详解】（1）因为PA 平面ABCD，CD 平面ABCD，所以CDPA，又因为底面ABCD是矩形，所以CDAD，由线面垂直的判定定理可得CD平面APD，所以PC与平面APD所成角为CPD，在直角PAD中，1,2PAAD，可得225PDPAAD,又由1CD,在直角CPD中，可得5tan5CDCPDPD，即直线PC与平面PAD所成角的正切值为55.（2）

23、假设BC边上存在一点G满足题设条件，作DQAG，又因为,DQPA PAAGA，可得DQ 平面PAG，所以2DQ，此时点G为BC的中点，所以1BG 故存在点 G，当1BG 时，使点 D 到平面PAG的距离为2.（3）延长CB到C，使得BCBC，因为PA 平面ABCD，CB 平面ABCD，所以CBPA，又因为底面ABCD是矩形，所以CBAB，由线面垂直的判定定理,可得CB 平面APB，则C是点 C 关于面APB的对称点，连接CE，交面APB于 H，则点 H 是使CHEH的值最小时，在面APB上的一点.作EMDA于 M，则点 M 是 AD 的中点，连接C M交 AB 于 N，连接 HN，则12AMANBCNB，所以23HNEM，又12EM，所以13HN，而2233BNAB，所以22125()()333HB.