线性代数习题解答-第三版-郑宝东-哈工大习题.pdf

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1、 1 习 题 一 1按自然数从小到大的自然次序，求解各题.(1)求1至6的全排列241356的逆序数.解：(241356)002 1003t.(2)求1至2n的全排列135(21)246(2)nn的逆序数.解：(1)(13(21)242)000(1)(2)2 1 02n ntnnnn .(3)选择i与j，使由1至9的排列，91274 56ij成偶排列.解：由91274 56ij是从 1 至 9 的排列，所以,i j只能取3或8.当8,3ij时，(912748563)01112133618t，是偶排列.当3,8ij时(912743568)01112322113t，是奇排列，不合题意舍去.(4)选

2、择i与j，使由1至9的排列71 25 489ij成奇排列.解：由71 25 489ij是从1至9的排列，所以,i j只能取3或6.当3,6ij时，(713256489)0112113009t，是奇排列.当6,3ij时，(716253489)01122330012t，是偶排列，不合题意舍去.2计算下列行列式 (1)9182613abba；(2)32153320537528475184；(3)108215123203212；(4)abacaebdcddebfcfef.解：(1)2291829 13117(4)26132abababbaba.(2)32153320533205310032053320

3、53320531003205375284751847518410075184751847518410075184 0751840032053004313100.(3)1082222151235 4 33302032124812.2 (4)111111111002111020abacaebdcddeabcdefabcdefbfcfef 1110204002abcdefabcdef.3已知3021111xyz，利用行列式性质求下列行列式.(1)33332222xyzxyzxyz；(2)111302413xyz.解：(1)333323022 3022222222111xyzxyzxyzxyzxyz.

4、(2)111111302302302413413413xyzxyz 111302302101111111xyz.4用行列式定义计算：(1)12345；(2)010000200001000nn.解：(1)1234512345()1234512(1)345t p p p p ppppppaaaaa (54321)1524334251(1)ta a a a a 10(1)1 2 3 4 5120 .3 (2)1212()120102(1)010nnt p ppppnpaaann (2 31)1223(1)1(1)tnnnna aaa 11(1)1 2 3(1)!nnnn 5用行列式的定义证明：(1)

5、111213141521222324253435444554550000000000aaaaaaaaaaaaaaaa；(2)11122122333411123132333443442122414244450000aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa.证：(1)123451234511121314152122232425()12345343544455455(1)000000000t p p p p ppppppaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaa 假设有12345123450PPPPPa aaaa，由已知345,ppp必等于4或5，从而345,ppp中至少有两个相等，这与12345

6、,p pppp是1,2,3,4,5的一个全排列矛盾，故所有项12345123450PPPPPa aa aa，因此0D.(2)1234123411122122()123431323334414243440000(1)t p p p pppppaaaaaaaaaaaaaaaa，由已知，只有当12,p p取1或2时，123412340ppppaaaa，而1234,p ppp是1,2,3,4的一个全排列，故34,pp取3或4，于是 4(1234)(1243)(2134)112233441122344312213344(2143)12213443(1)(1)(1)(1)ttttDa a a aa a a

7、 aa a a aa a a a 11223344112234431221334412213443a a a aa a a aa a a aa a a a 从而 33341112112212213344344343442122()()aaaaa aa aa aa aaaaa 11223344112234431221334412213443a a a aa a a aa a a aa a a a D 6计算 (1)305002123000abcd；(2)121102111214421110；(3)nxaaaxaDaax；(4)123110010101001nnD；(5)001000000100n

8、aaDaa；(6)1111111111111111nD.解：(1)4 43 3305304 3 0023(1)00(1)123012000aabadbdcabcdcbcd按第按第行展开列展开.(2)12111211121102111021110211121440366036621110033120036 5 12111211121101220122012233390211100370037003600360001 .(3)12131 (1)(1)(1)nnrrxaanaxnaxnaxrraxaaxaDaaxaaxrr 111(1)axanax aaaaa 1111000(1)000000 xa

9、naxxaxa 1(1)()nnax xa.(4)1213112312323 1100010010100010 10010001nnnnnccccDcc (1)1232n nn .(5)001000000100naaDaa 6 1 11000000001 00(1)(1)0000100naaaaaaa 按第 行展开 11 12(1)(1)nnnnaa 2nnaa.(6)11111111111102001111002011110002nD 111(2)(1)2nnn .7证明 (1)22222()111aabbaabbab 证：222221223 (1)22222(1)111001aabbaab

10、abbbccaabbaababbbcc 3 3()()(1)a abb ababab 23()()11ababab (2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)aaaabbbbccccdddd 证：等式左端2222222222222222214469214469214469214469aaaaaaabbbbbbbcccccccddddddd 7 2221223222314322412144692126(1)(2)21446921260(1)2144692126(3)(1)21 446921 26aaaaaaccccbbbbbb

11、ccccccccccccdddddd (3)232231111 1211 12 1311123223212122212223222232233131 3231 32333332322341414241424344411111111xaxb xbxc xc xcxxxxaxb xbxc xc xcxxxxaxb xbxc xc xcxxxxaxb xbxc xc xcxxx 证：等式左端232111 111 12 1211232221221222232321331 331 3232324314414414241()1()1()1xxb xxc xc xca cxxb xxc xc xcb cxx

12、b xxc xc xcc cxxb xxc xc x 232231111 11112322331241322212222232233331 3333422232234441444411()()1111()11xxxc xxxxcb ccc cxxxc xxxxxxxc xxxxcc cxxxc xxxx 等式右端.8解关于未知数x的方程 (1)123260001xxx 解：121326(1)32001xxxxxx 2(1)(2)3(1)23(1)(3)(1)0 xx xxxxxxx 所以1231,3,1.xxx (2)0(0)aaxmmmmbxb 8 解：00111111aaxaaxxammm

13、mmbxbbxbbxb 11()()()0m xam xa xbbx 因0m，所以12,xaxb.9设111212122212nnnnnnaaaaaaaaaa，求下列行列式：(1)122122211121nnnnnnaaaaaaaaa；(2)112112222121nnnnnnaaaaaaaaa；(3)12121212111222nnnnppppppp ppnpnpnpaaaaaaaaa，其中“”是对1,2,n的所有全排列12np pp取和，2n.解：（1）经行的交换得 原式111211213132321222(1)nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa 1112121222(1)(2)2

14、112(1)nnnnnnnnaaaaaaaaa (1)2(1)n na.(2)与(1)类似，经列的交换得 9 原式(1)2(1)n na.(3)经列的交换，得 12121212121111112122221222()()12(1)(1)nnnnnpppnpppnp ppp ppnpnpnpnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 故原式1212()1 111 11(1)01 11nnp ppp ppaa.10计算行列式 (1)1122334400000000ababbaba；(2)100011000110001100011aaaaaaaaa；(3)61111161111161111161

15、11116；(4)1000010000100001000k.解：(1)111111224444333333442222000000000000000000000000ababababbabababaabbaabba 1133141 4232 34422()()ab aba abba ab bbaba.(2)将前 4 行依次加到第 5 行，再按第 5 行展开得 原式10001100011000110001aaaaaaaaa51001100110011aaaaaaaa 10 5100110011001aaaaaaaa 541011011aaaaaaa 54101101aaaaaaa 543111a

16、aaaaa 23451 aaaaa (3)6111110101010101611116111116111161111161111611111611116 111111111116111050001010116110050011161000501111600005 410 56250.(4)按最后一行展开得 10001000100010010001000100100010001001000000kk 5k 11计算行列式 (1)1111111111111111111111111xxxxx；(2)1111222233334444xmxxxxxmxxxxxmxxxxxm 解：(1)依次将第2,3,4

17、,5列加到第 1 列得 11 原式1111111111111111111111111xxxxxxxxx 1111111111(1)111111111111111xxxxx 10001000(1)1000100010000 xxxxx 4(4 1)442(1)(1)(1)xxxx (2)依次将第2,3,4行加到第 1 行得 原式44441111222233334444iiiiiiiixmxmxmxmxxmxxxxxmxxxxxm 422221333344441111()iixxmxxxmxxxmxxxxxm 411111000()000000iimxmmm 431()iimx m 12计算行列式

18、 12 (1)11121314212223243132333441424344abababababababababababababababab；(2)1 11 21 31 42 1222 3243 13 23 33 44 1424 3441111111111111111ababababa ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba b (3)1234100110011001aaaa；(4)2311111231491827xxx 解：（1）依次将第3,2,1行乘1加到第4,3,2行得 原式111213142121212132323232434343430ababababaa

19、aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa (2)依次将第3,2,1行乘1加到第4,3,2行得 原式1 11 21 31 41212213214211322323324321432433434431111()()()()()()()()()()()()ababababb aab aab aab aab aab aab aab aab aab aab aab aa 1 11 21 31 41234213243123412341111()()()0ababababbbbbaaaaaabbbbbbbb (3)按最后一列展开得 原式4321100100100110110110011011011001

20、001001aaaa 1234aaaa (4)由 Vandermonde 行列式的计算公式得 13 原式(3)(2)(1)(32)(3 1)(21)xxx 2(1)(2)(3)xxx 13证明 (1)1231212111000100000001000nnnnnnnaaxaxDa xa xaxaaxax 证：等式左端123121211000010000000()001000010000nnnnnnaaxaxrx raxaxaaxx 1222333121100001000()0000()0010()0001()00000nnnnnnnnnaaxrxraxrx raxrxraxf x 1(1)11(

21、1)()()11nnxf xf xx 阶 其中111()nnnf xa xaxa.14 (2)21000121000120010002100012Dn 证：1 1n 时，121 1D 2 假 设 当nk时 结 论 成 立，当1nk时，若12k ，22112D 4 132 1 结论成立.若13k ，将1kD按第一行展开得 112112122(1)(1 1)(1)1112kkkDDDkkk 由数学归纳法，对一切自然数n结论成立.(3)1211111111111(1),0,1,2,1111nniiiiinaaDaainaa.证：(用加边法)等式左端1211111011110111101111naaa

22、121111100100100naaa 12121111111000000000nnaaaaaa 15 1211121111(1)(1)nnniiinia aaaaaaa等式右端.(4)1100010001000000001nnnxyxyxyxyxyxyDxyxyxyxy，其中xy.证：当1n 时，221xyDxyxy，等式成立.假 设nk时 等 式 成 立，当1nk时，若12k ，则332212kxyDDxxyyxy，等式成立.若13k ，将1kD按一列展开，得 1 11000100()(1)01000001kkxyxyxyxyDxyxyxy阶 2 10000100(1)01000001kx

23、yxyxyxyxy 阶 11(1)1(1)11()()kkkkkkkkxyxyxyxy DxyDxyxyxyxyxy 由归纳法原理，等式对一切自然数n都成立.14 设()f x是一个次数不大于1n的一元多项式，证明如果存在n个互不相同的数12,na aa使()0,1,2,if ain.则()0f x.证：设121210()nnnnf xkxkxk xk，依题意有 101 111101100nnnnnnka kakka kak （1）因12,na aa互不相同，故(1)的系数行列式 16 211112122212111()01nnjiij nnnnnaaaaaaDaaaaa ，所以关于011,n

24、k kk的线性方程组(1)只有零解，所以0110,()0nkkkf x.15用 Cramer 法则解方程组 (1)121254116520 xxxx 解：5425241065D ，方程组有唯一解.1114558025205D ，25111006634620D，由克莱姆法则，1125DxD，2234DxD (2)121232356 1560 50 xxxxxxx 解：56056305301561519119015010D 5(19)(30)1650 ，方程组有唯一解.1160560562561915015D，251016106505005D ，356115150101010D.所以由克莱姆法则得，111965DxD，22113DxD，3165x.