高级微观经济学第五讲(效用最大化UMP).pdf

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1、第五讲、效用最大化 UMP 主要内容：(pp132）1、Introduction:max.xnu xstxBX consumption set，feasible set,preference and utility，and behavioral assumption 2、contents：消费者的偏好与预算集,消费者均衡的特征，由效用函数推导需求函数，间接效用函数及其性质。第一节、budget constraint and feasible set 一、定义 definitions 1、商品 goods，economic goods 和 free goods 度量：离散还是连续，infinit

2、ely divisible，ix 同质还是差异产品，different goods,2、商品空间 goods space consumption bundle or plan12,.nnx xxxnonnegative orthant 3、消费集 consumption set or choice set set of all alternative consumption plans which is conceivable and feasible given the technological and institutional situation。（without considerat

3、ion of economic realities）消费集内的元素是 alternatives 技术和制度上的可能性 assumptions：X ,使问题有意义 出于分析上的方便和需要：Xis closed，Xis convex pay more attention to feasible set 4、竞争性预算集 预算约束刻画消费者所处的经济环境：稀缺性和可替代性 竞争性预算集（1）假设：市场完备性和竞争性（2),ny x xpx（3)预算约束线1 122p xp xy（4）预算约束线的斜率及其经济学含义 11220p dxp dx，tradeoff 2112dxpdxp：斜率取决于商品的相

4、对价格 12pp的含义是增加一个单位的第一种商品必须放弃掉12pp个单位的第二种商品，也往往被称为机会成本。二、练习 1、实物补贴 2、荒岛上的鲁滨逊 3、鲁滨逊和星期五，禀赋约束与市场交换的作用 第二节、偏好和效用函数 preferences and utility function 一、定义 定义于消费集上 排序 ranking order 偏好的形成和变化在经济学范畴之外：经济学对 marketing（心理学和哲学领域）的缓慢渗入 状态依赖偏好，例如商品组合（暖气，冷气）二、preference relation 1、偏好关系 a binary relation defined on t

5、he consumption set is called a preference relation if it satisfies completeness and transitivity,denoted as.Define completeness and transitivity 对于消费集中的任意的12,x x,或者12xx，或者21xx 对于任意三个消费计划，123,x x x，如果12xx，且23xx，那么13xx。Problem：define strict preference relation and indifference relation 严格偏好关系:无差异关系 2、

6、sets relative to a consumption bundle 给定偏好关系和一个消费束0 x,可以定义如下集合：indifference set 无差异集：0:xxx，at least as good as set 上优集:0:xxx，no better than set 下劣集：0:xxx.三、axioms and existence of utility function 1、rationality definition：completeness,and transitivity show:rational preference relation is reflexive w

7、hy is it not included in the rationality:redundant 排除了什么情况：违背完备性的情况：12xx和21xx同时成立 违背传递性意味着存在如下的情况:12xx,且23xx，但是31xx.传递性排除了关系中的 cycle 模型化了消费者可以进行比较和做出选择的思想：consumer can make consistent comparisons among alternatives 例子：OPI 折价 知道了排除了什么之后,我们来看它蕴涵着什么？proposition1。1 if is rational，then 1)is both irreflex

8、ive and transitive 2)is reflexive,transitive，and symmetric 3）if xyz,then xz 竞争性的理论：行为经济学:人的行为是适应性的 阿尔钦：社会达尔文主义 2、continuity axiom：for all nx,the“at least as good as set and the“no better than set are closed inn.problem：deduce that indifference set is closed rule out open area in the indifference set

9、 understanding:sequence nyx converges to y,then yx。Example not conformed to this axiom:1,0nyn，0,1x，,nn yx,but,0,1lim0,0nnxy，在极限上,偏好突然倒转.例子：奖牌榜 rule out dictionary preference（非连续的，字典式偏好，经济学为什么不关心这种情况，不允许替代）3、效用函数:u X，效用指数，效用函数的存在性：理性是必要条件；连续性是充分条件,效用函数也是连续函数。(math:any binary relation that is complete

10、,transitive,and continuous can be represented by a continuous realvalued utility function）rwu we 是效用函数吗？当且仅当10 xx时，10u xu x,那么我们说 u x是描述偏好关系的效用函数 ordinal utility 序数效用论与描述一个偏好的效用函数的非唯一性。Nonuniqueness of utility representing a preference relation，no significance of utility and marginal utility。证明:一个效用

11、函数的正单调变换描述相同的偏好。Problem：is it possible that two indifference curves cross？四、additional assertions 1、局部非饱和性 Local nonsatiation 在给定一个点的任何领域内，无论这个邻域多么小,将总会存在至少一个点,使得消费者更为偏好。For all 0nx，and for all 0,there exists some 0nxBxsuch that 0 xx。排除了厚的无差异集 zone of indifference 两种商品的情况:图示及无差异曲线 无差异曲线的函数表达式 proble

12、ms remained:does this axiom imply that more is better than less?2、单调性 monotonicity 对于所有的消费集中的12,x x，如果12xx，那么12xx。如果12xx，那么12xx，则称为严格单调性。Strong monotonicity 单调递增的效用函数 处理上的技巧:劳动闲暇模型 不满足单调性的例子：均值方差效用函数,宏观调控中政府的效用函数 单调性限制了无差异集内的商品组合之间的替代关系，而如果不满足单调性则是补偿关系。3、拟凹 quasi-concave 与严格拟凹 strictly quasi-concave

13、（注意用语，偏好是拟凹的,上优集是凸的）上优集是凸集 如果12xx，那么对于所有的 0,1t，都有1221ttxxx Rule out concavetotheorigin segment in the indifference sets 图示拟凹的三种情况：完全替代,完全互补,以及中间情况 严格拟凹：如果12xx，12xx，那么0,1t,就有1221ttxxx。无差异曲线凸向原点 4、严格拟凹与边际替代率递减(1)边际替代率 marginal rate of substitution 边际替代率:121,2tan12u constuxdxMRSdxux 解读边际替代率：消费者愿意为一种商品放

14、弃的另一种商品的比率 the rate at which the consumer is willing to give up 2xin exchange for 1x,such that he remains indifferent after the exchange。边际替代率也告诉了我们消费者愿意如何交换的信息-边际支付意愿 边际替代率反映了消费者对商品的主观评价（2)边际替代率递减 principle of diminishing marginal rate of subsitution 边际替代率递减的条件 问题：边际效用递减和边际替代率递减的关系 历史：马歇尔效用函数和埃奇沃斯效

15、用函数 边际替代率递减与严格拟凹的效用函数：图示：无差异曲线上任一点沿切线移动，效用水平下降 沿切线移动,0u x dx 102Tfxdxfxu x dxdxH x dx 0TdxH x dx 效 用 函 数 严 格 拟 凹边 际 替 代 率 递 减 0TdxH x dx,for all dx such that 0u x dx。参见教科书 18 页（3）行为含义 从严格拟凹的定义推出来，令12xx，balanced bundles of goods are preferred to extreme bundles 问题：下面有三个商品组合（100，200）；（120，160)；（110,18

16、0）,而且，已知消费者对前两个商品组合是无差异的，那么推断消费者的选择.5、拟凹偏好与替代弹性(1)替代弹性 1,22121211,21,2lnlnMRSd xxdxxxxd MRSdMRS（2）三种拟凹偏好（3）问题：如何通过消费者行为数据估计替代弹性；如何找到边际替代率的数据；需要控制什么？第三节、消费者均衡的特征 一、效用最大化 1、如何刻画消费者:消费者i的特征可以记为,iy 2、公理化假设:消费者选择*,xB使得对于所有的*,xB xx。3、效用最大化问题：max,.ustyxpx，0,1,ixin.4、拉格朗日函数：Luyxpx，这是因为,约束方程的形式为0ypx，这保证库恩塔克乘

17、子非负。5、库恩塔克条件 assumption：utility function is differentiable 6、解的概念：proposition:if utility function is strictly increasing，then*0,then the budget constraint is binding,which is called the balance of budget constraint。Problem：how to incorporate the saving Simplify the FOC Interior solution*0 x Simplify

18、 the FOC Theorem:if the utility function is continuous and quasiconcave,then FOC is sufficient(textbook theorem1.4）example:second order sufficient condition（1）以两种商品的模型为例，一阶条件为 12121122,0,0,0 x xx xxx xx 加边海塞矩阵为 22221212222111122111222122222222210LLLxxppLLLpuuxxx xpuuLLLxxx x 从 一 阶 条 件 中，我 们 有,1,2iiu

19、pi，再 根 据 二 阶 条 件,我 们 有12111122212200uuuuuuuu，即要求 2211222112122120uuuuu u u，因此，22112221121220uuuuu u u，这正是严格拟凹的条件。corner solution 二、消费者均衡的特征：内点解 2、story1：等边际原则 无套利均衡：在均衡时，不存在不增加支出的前提下仅仅通过改变收入的配置增大效用的机会.方法:设购买商品 1 的支出增加dy，那么，购买第二种商品的支出减少dy。利用全微分的方法，我们有1122dumupmupdy，只有当1122mupmup时无套利机会.问题：公司报酬方案；医院的预算

20、支出。3、story2：在预算约束下选择最偏好的商品组合 理解：边际替代率=价格比.解读：切点之外的其他商品组合的信息。问题：我总是赢家 三、消费者均衡的特征：角点解 给出一个可能的角点解：1,0y p 利用套利的方法理解：为什么不减少第一种商品上的支出呢：00dydu 利用选择更偏好的商品组合理解:非负约束 利用库恩-塔克条件解读：如果*0iiiupxxx,那么*0ix。*iiuxpx的含义是什么,*iiuxpx的含义是什么。第四节、偏好与需求 一、需求函数的存在性 二阶充分条件还保证了最优解的唯一性，那么我们根据效用最大化的一阶条件就可以得到*1,nyxyxyxppp，也就是说效用最大化使

21、我们得到一组需求函数，这种需求函数被称为瓦尔拉斯需求，如果我们设定名义收入给定和其他商品价格给定，考察一种商品的需求量和该商品自身价格之间的关系，我们就得到了马歇尔需求。二、偏好与需求：位似偏好 1、定义：如果有12xx，那么就有12ttxx 2、用处：从一个无差异集可以非常容易的得到所有的无差异集 3、位似函数：位似函数是一个一次齐次函数的单调变换,即如果函数 f x是位似的，当且仅当它可以表示成 fg hxx，其中，h x是一次齐次的，g 是单调函数。4、CobbDouglas 效用函数 1212,abu x xx x,其中 a、b 都大于零 21,21axMRSbx,这意味着边际替代率仅

22、仅取决于两种商品的比例,与绝对值无关，从而应该有 1,21,2MRSMRStxx.需求函数与预算份额 对此函数的验证方法 三、偏好与需求：完全替代（习题课）四、偏好与需求：完全互补(习题课)五、偏好与需求：不变替代弹性 1、函数 2、替代弹性 3、需求（textbook example 1。1)4、为什么 theorists 青睐此函数 generality：1 0 证明：习题课 六、偏好与需求:拟线性偏好 1、定义：效用函数 12,nuxv xxx意味着效用对于第一种商品是拟线性的 2、如何用于局部均衡分析，组合商品与计价物，货币的边际效用为 1.3、图示其特点 4、需求曲线和边际效用的关系

23、 第五节、间接效用函数及其性质 一、定义 1、间接效用函数定义为:nv，,max,.xv p yu xst pxy。如果*,yxx p是 消 费 者 在 收 入 和 价 格 约 束 下 的 最 优 选 择，那 么,vyuypx p。2、价格和收入定义了预算集，在给定偏好关系的前提下，从一个预算集得到的最高效用被称为间接效用，通过比较间接效用可以比较预算集的优劣，有时人们把这种偏好关系称为间接偏好关系,它定义在预算集空间上，而直接偏好关系定义在商品集上。3、在价格变化的规范分析中，我们考察价格变化对消费者福利的影响,我们有一个基本的判断，消费者是自身福利的最好的判断者。例如，毒品价格上涨，按照我

24、们的理论分析，消费者福利应该下降，但是有人说,吸毒者少吸毒,对身体好，从而其福利可能上升.二、性质 第一、关于价格和收入是零次齐次的，homogeneous of degree zero in,p y 第二、对于收入严格递增，strictly increasing in y 第三、对于价格严格递减，decreasing in p 第四、quasiconvex in,p y show that any txB，1xB，or 2xB(textbook pp30-31)show that 1222,max,ttv pyv ppv py 第五、满足罗伊（法国经济学家,1931）恒等式（Roys ide

25、ntity）。第六节、扩展简介 1、addiction01,t ttttuux xx 2、altruism：,iijuuuxor,iijuux x，利他偏好与自利行为 3、attributes:12,u q a qaq 4、household production function：购买的商品是投入，得到相应的服务,并由此获得效用。5、参考文献:Lancaster,Kelvin J,1966，A new approach to consumer theory，Journal of Political Economy,74:132157。Becker,Gary S。，1965，A Theory of the Allocation of Time，Economic Journal，LXXV，493-517。