高数竞赛试题集.941.pdf

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1、高数比赛试题集.高等数学比赛 一、填空题 若，则 ，则的中断点为 设 曲线上与直线垂直的切线方程为 已知，且则 设函数由参数方程 确定则曲线向上凸的取值 范围为 设，则 若 时，与是等价无量小，则 设，则 由定积分的定义知，和式极限 二、单项选择题 把 ，使排在后边的 时的无量小量 是前一个的高阶无量小，则正确的排列序次是【】设函数连续，且 则存在 ，使得【】在（，内单调增加（）在内单调减少（）对任意的 有 对任意的有设 则【】（）（）（）（）是的极值点 但不是曲线的拐点不是的极值点 但是曲线的拐点是的极值点 且是曲线的拐点不是的极值点也不是曲线 的拐点等于【】（）（）（）（）函数 间内有界【

2、】在以下哪个区 高数比赛试题集.设在内有定义，且，则【】必是的第一类中断点 必是的第二类间断点 必是的连续点 在点处的连续性与的取值相关 设 在上连续，且，则以下结论中错误的选项是【】最少存在一点，使得 最少存在一点，使得 最少存在一点，使得 最少存在一点，使得 设，则【】在点不连续 在内连续，但在点不可以导 在内可导，且知足 在内可导，但不用然知足 三、解答题 求极限 设函数 在（）上有定义 在区间上若对任意的都知足 其中为常数 写出在上的表达式 问为何值时在处可导 设（），（）均在上连续，证明柯西不等式 设证明 曲线 及围成一曲边梯形 该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体 与直线其 体积为侧面

3、积为在处的底面积为 求的值 设在上连续，且知足 ，证明：某种飞机在机场降落时，为 了减少滑行距离，在触地的 刹时，飞机 尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机快速减 速 并停下 现有一质量为的飞机，着陆时的水平速度为 经测试，减速伞翻开后，飞机所受的总阻力与 飞 机的速度成正比（比率系数为问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注表示千克，表 示千米 小时 高等数学比赛试卷 一、单项选择题 、若，则 （）（）（）（）高数比赛试题集.、设 处可导且，则是的 ，其中在 （）连续点（）第一类中断点（）第二类间断点 （）以上都不是 、设常数 ，函数 在内零点的个数为 （）（）（）（）、若在 ，上有 ，则

4、 ，且 ，的大小关系为 （）（）（）（）、由平面图形 轴旋转所成的旋转体的体积为 绕 （）（）（）（）、对于平面 的对称点是（）（）（）（）、设为 ，是位于第一象限的部分，连续，则 （）（）（）（）、为常数，则级数 （）绝对收敛（）发散 ）条件收敛（）收敛性与的取值相关 二、填空题 、。、拥有个不相等实根的次多项式，其一阶导数的不相等实根最少有 个。、对数螺线 在点 处的切线的直角坐标方程为 。、设 是 的二次多项式，且，则 。，、设，则 。、若级数 。收敛，则常数 、三重积分 。、已知曲线 与 轴相切，则能够经过表示为 。、设 为上半椭球面 ，已知 的面积为，则曲面积分 。、级数 的收敛区间

5、为 。、三元函数 在点 处沿该点的向径方向的方导游数为 。、设 ，且可微，则 。高数比赛试题集.、设，则曲线的长度为 。、若，则 。、设都是单位向量，且知足，则 。、函数的拐点为 。三、按要求做以下各题。、求极限、已知函数 对一切 知足 。且在点 处获取极值，问 是极大值仍是极小值，并证明你的结论。四、计算下面积分。、五、为上的连续函数，求 六、周长为的等腰三角形绕 其底边旋转，问此等腰三角 七、连续 可导，八、设函数由方程组 形的腰和底边之长各为多少 时，才可使旋转体的体积为 最大？。证明：在内存在，使得。所确定，求，。九、已知，为大于零的常 数。设积分。其中 是依次连接 。的有向折线。求极

6、限 、计算曲面积分，其中 为曲面 的上侧。提示：先补充两个曲面，取下侧；，取下侧，其中常数充分小，使上半球面 与积分曲面 互不订交。九、已知是的一个原函数，而是微分方程 条件 的解，试将知足初始 张开成的幂级数，并求 的和。、以以下列图，曲线的方程为 ，点是它的一个拐点，直线与分别是曲线在点与处的 切线，其交点为。设函数拥有三阶连续导数，计算定积分。高数比赛试题集.高等数学比赛 一、填空题 。设函数由方程 确定，则 。广义积分 。绕 旋转所成的旋转体的体积为。由确定则 。与 平行的切平面的方程是 设 ，则 。互换二次积分序次的积分序次 设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分 的值为 二、单

7、项选择题 设函数，其中 在处连续，则 是在处可导的【】充分必要条件 设在，上连续，且（）（）必要但非充分条件充分但非必要条件既非充分也非必要条件】【则 （）（）（）以低等式中正确的选项是【】（）（）（）（）等于 （）（）（）（）设为连续函数，则 等于【】（）（）（）（）设与 均为可微函数，且 已知是在约束条件 点，以下选项正确的选项是【】（）若，则（）若 下的一个极值 ，则（）若，则（）若，则设 为椭圆，其周长记为 则【】（）（）（）级数 收敛，级数【】（）收敛（）收敛（）收敛（）三、解答题 极限 设函数 在（）上有定义 在区间上若对任意的都知足 其中为常数 写出在上的表达式 问为何值时在处可

8、导 （）收敛 高数比赛试题集.求经过点 求曲面 计算 为最小的直线方程。的直线 中，使得 夹在二曲面 之间的部分的面积。，其中 是沿着椭圆的正向从到的一段弧。设为可微函数，且 。，试求 设在上连续，在内可导，证明存在 使。已知曲线的方程为（）讨论的凹凸性；（）过点引的切线，求切点，轴所围成的平面图形的面积。并写出切线的方程；（）求此切线与（对应于的部分）及 高等数学比赛 一、填空题 ，、设函数 ，在 处连续，则常数，用数组 ，表示为（）、极限的值是（）、设有连续的二阶导数且点，是曲线上的 拐点则 、的三阶麦克劳林张开式的余项 式中 、设 ，则 、设曲线 在点处的法平面为，则点到的距离是 、设

9、，则 二、选择题 、极限的值为（）、设适合则方程，则必有 无实根 有唯一实根 有三个不同样的实根 有个不同样的实根 高数比赛试题集.高数比赛试题集.、半径为的半球形水池正装满水。将水所有吸完 需作功 、若 ，则 、曲线 处的切线方程为 在点 、设，则 ，则地区能够表示为 、若 为在上方部分，、若 是某二元函数的全微分，则的关系是 、设曲线是由极坐标方 程 给出，则 、为任意正的实数，若级数 ），都收敛，有（、以下级数中发散的级数是（）（）；（）；（）；（）。、，为何值时，在处连续。一、解答题求极限 、，、求 设 。、设在 ，试求。上连续，且 ，求 。计算二次积分 高数比赛试题集.计算二重积分

10、其中：。计算极限 其中：。二、证明题 试证：为偶函数。证明恒等式在 时建立。设 对所有，知足 ，且 在处连续，求证：在任意 处连续。设（），（）均在上连续，证明柯西不等式 三、应用题 与直线及 围成一曲边梯形 该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体曲线 其体积为侧面积为在处的底面积为 求的值 计算极限 高等数学比赛 一、填空 设 ，且 则的定义域为 求 设 ，则 求 曲线 的拐点为 函数 在上的最大值为 求 求 求 设 连续，则 求 由曲线 及所围图形的面积 以向量 和 为边的三角形的面积为 ，其中 设 拥有二阶连续导数，则 函数 在点 处函数值增加最快的方向为 求 求 高数比赛试题集.幂级数表达式

11、为 求三重积分 设为椭圆，其周长为，则 设 是有界闭地区：则 上的连续函数，在极坐标系中进行转变：把 二、解答题 求极限 、求极限 、求曲线 到原点的距离 上任一点的法线 、设拥有二阶连续偏导数，且知足 ，又 求 、设函数连续，且 ，。求 、计算二重积分 ，其中 二、证明题 、设 、设 在 上连续，证明：在 上连续，在 内可导，且知足，并计算 证明最少存在一点 ，使得 证明级数 收敛，并求极限 三、综合题，为从点 在曲线上某点处作一切线，使之与曲线以及 切点的坐标；过切点 的切线方程；由上述所围平面图形绕 计算其中 为圆柱面 到点的半圆 轴所围成图形的面积为，试求：轴旋转一周所成旋转体的体积截的部分外侧被 在球面与椭球面交线上对应于点处的切线方程和法线方程 求常数项级数 的和求常数项级数的和