北京海淀区高三一模数学试题.pdf

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1、海淀区高三年级第二学期期中练习 数学理科 2021.4 一、选择题：本大题共 8 小题,每题 5 分,共 40 分.1.集合，那么 A.B.C.D.2.在极坐标系中,曲线围成的图形面积为 .B.3.某程序的框图如下图，执行该程序，假设输入的值为 5，那么输出的值为.B.C.D.4.不等式组表示面积为 1 的直角三角形区域，那么的值为.B.C.D.5.假设向量满足，那么 的值为 A.B.C.D.6.一个盒子里有 3 个分别标有号码为 1，2，3 的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取 3 次，那么取得小球标号最大值是 3 的取法有 A.12 种 B.15 种 C.17 种 D.1

2、9 种 7.抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，那么的最 小值是 A.B.C.D.8.设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为 4，5，6 的直线.给出以下三个结论：，使得是直角三角形；26,30AxxBxxxN|R|AB 3,4,54,5,6|36xx|36xx4cos4416xy211221,40,0 xxykxyk2101,a b|1ababa b12121124yxF(,)P x y(1,0)A|PFPA1222322 23123,l l liiAl(1,2,3)i 123A A A 开始 输出 y 结束 输入 x 2 xx 0 x xy2 是 否，使得是等边三角形；三条直线

3、上存在四点，使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是 A.B.C.D.二、填空题:本大题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分.9.在复平面上，假设复数对应的点恰好在实轴上，那么=_.10.等差数列中,那么 11.如图，与切于点，交弦的延长线于点，过 点作 圆的 切 线 交于 点.假 设，那么弦的长为_.12.在中，假设，那么 13.函数有三个不同的零点，那么实数的取值范围是_.14.函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.那么 1函数的最大值是_；2函数的单调递增区间为_.三、解答题:本大题共 6 小题,共 80

4、分.15.13 分函数.求的值和的最小正周期；求函数在区间上的最大值和最小值.iiAl(1,2,3)i 123A A A(1,2,3,4)iA i 1234A A A A+ia b,a bRbna34259,18aaa a16_.a a APOADBPBOAPC90ACB3,4BCCPDBABC4,2,ab1cos4A _,sin_.cC22,0,()3,0 xaxf xxaxaxa()sin2f xxtR|tAy()yf x(,()P t f t(,()Q x f x|2PQ,ttMmtA()tth tMm()h t()h t2()2(3sincos)f xxx()4f()f x()f x,

5、6 3 D C B P A O 16.13 分在某大学自主招生考试中，所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑和“阅读与表达两个科目的考试，成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如以下图所示，其中“数学与逻辑科目的成绩为 B 的考生有 10 人.I求该考场考生中“阅读与表达科目中成绩为 A 的人数；II假设等级 A，B，C，D，E 分别对应 5 分，4 分，3 分，2 分，1 分.i求该考场考生“数学与逻辑科目的平均分；(ii)假设该考场共有 10 人得分大于 7 分，其中有 2 人 10 分，2 人 9 分，6 人 8 分.从这10 人中随机抽取

6、两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.17.14 分在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，点在线段上，且 0.375等级0.250频率0.2000.075科目：数学与逻辑0.025频率等级0.1500.375科目：阅读与表达PABCDPA ABCDABCACBDMAC4PAAB120CDANPB2PN MDCBAPN求证：；求证：平面;求二面角的余弦值 18.13 分函数(其中为常数且)在处取得极值.(I)当时，求的单调区间；(II)假设在上的最大值为，求的值.19.14 分圆：.假设椭圆：的右顶点为圆的圆心，离心率为.I求椭圆的方程；BDPC/MNPDCAPCB2()lnf

7、 xxaxbx,a b0a 1x 1a()f x()f x0,e1aM222(2)xyr0r C22221xyab0abM22CII假设存在直线：，使得直线 与椭圆分别交于，两点，与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求圆半径的取值范围.20.13 分设为平面直角坐标系上的两点，其中.令，假设,且，那么称点为点的“相关点，记作：.为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为，其中.请问：点的“相关点有几个？判断这些“相关点是否在同一个圆上，假设在同一个圆上，写出圆的方程；假设不在同一个圆上，说明理由；求证：假设与重合，一定为偶数；假设，且，记，求的最大值.lykxlCABMGHGABAGBH

8、Mr(,),(,)AABBA xyB xy,AABBxyxy ZBAxxx BAyyy x+=3y|0 xy BA()BA0P0000(,)(,)xyxy Z iP1()iiPPiP(,)iix y1,2,3,.,in0P0PnPn0(1,0)P100ny 0niiTxT 海淀区高三年级第二学期期中练习 数学 理 参考答案及评分标准 20214 一、选择题本大题共 8 小题,每题 5 分,共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C D A D B B 二、填空题本大题共 6 小题,每题 5 分,有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分，共 30 分 三、解答题(本

9、大题共 6 小题,共 80 分)15 13 分解：I因为 2()2(3sincos)f xxx90 1014 11.12 13 14 24533,1516491a2,(21,2),Zkk k 2 分 4 分 6 分 所以 7 分 所以 的周期为 9 分 II当时，所以当时，函数取得最小值 11 分 当时，函数取得最大值 13 分 16.解：因为“数学与逻辑科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人，所以该考场有人 1 分 所以该考场考生中“阅读与表达科目中成绩等级为 A 的人数为 3 分(II)求该考场考生“数学与逻辑科目的平均分为 7 分 设两人成绩之和为，那么的值可以为 16，17，18，1

10、9，20 8 分，22=2(3sincos2 3sin cos)xxxx22(12sin3sin2)xx2=12sin3sin2xxcos23sin2xx=2sin(2)6x 2()2sin(2)2sin34463f()f x22=|2T,6 3x 22,33x 5(2),666x 6x ()16f 6x()26f100.254040(1 0.3750.3750.150.025)40 0.07531(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940 2621015(16)45CPC116221012(17)45C CPC1126222210101

11、3(18)45C CCPCC11222104(19)45C CPC 所以的分布列为 16 17 18 19 20 11 分 所以 所以的数学期望为 13 分 17.证明：(I)因为是正三角形，是中点，所以,即1 分 又因为，平面，2 分 又，所以平面3 分 又平面，所以4 分在正三角形中，5 分 在中，因为为中点，所以，所以，所以 6 分 在等腰直角三角形中，所以，所以 8 分 又平面，平面，所以平面 9 分 因为，所以，分别以为轴,轴,轴建立如图的空间直角坐标系，所以 222101(20)45CPCXP154512451345445145151213418616171819204545454

12、5455E 865ABCMACBMACBDACPAABCD 平面BD ABCDPABDPAACABD PACPC PACBDPCABC2 3BM ACDMACDMACADCD120CDA2 33DM:3:1BMMD PAB4PAAB4 2PB:3:1BNNP:BN NPBM MD/MNPDMN PDCPD PDC/MNPDC90BADBACCAD ABAD,AB ADAP,xyz4 3(4,0,0),(2,2 3,0),(0,0),(0,0,4)3BCDPzyxMADBCPN由可知，为平面的法向量 10 分，设平面的一个法向量为,那么，即，令那么平面的一个法向量为 12 分 设二面角的大小为，

13、那么 所以二面角余弦值为 14 分 18.解：I因为所以 2 分 因为函数在处取得极值，3 分 当时，随的变化情况如下表：0 0 极大值 极小值 5 分 所以的单调递增区间为,；单调递减区间为 6 分 (II)因为 令,7 分 4 3(4,0)3DB PAC(2,2 3,4)PC(4,0,4)PB PBC(,)nx y z00n PCn PB22 340440 xyzxz3,z PBC(3,3,3)n APCB7cos7n DBnDBAPCB772()ln,f xxaxbx1()2fxaxbx2()lnf xxaxbx1x(1)120fab 1a 3b 2231()xxfxx(),()fxf

14、xxx1(0,)2121(,1)211+（，）()fx()f x()f x1(0,)21+（，）1(,1)2222(1)1(21)(1)()axaxaxxfxxx()0fx1211,2xxa因为在 处取得极值，所以 当时，在上单调递增，在上单调递减 所以在区间上的最大值为，令，解得 9 分 当，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值 1 可能在或处取得 而 所以，解得 11 分 当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值 1 可能在或处取得 而所以，解得，与矛盾 12 分 当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值 1 可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或.

15、13 分 1.14 分解：I设椭圆的焦距为，因为，所以，()f x1x 21112xxa102a()f x(0,1)(1,e()f x0,e(1)f(1)1f2a 0a 2102xa112a()f x1(0,)2a1(,1)2a(1,e)12xaex 2111111()ln()(21)ln10222224faaaaaaaa 2(e)lne+e(21)e1faa1e2a 11e2a()f x(0,1)1(1,)2a1(,e)2a1x ex(1)ln1(21)0faa2(e)lne+e(21)e1faa1e2a 211e2xa21 e2xa()f x(0,1)(1,e)1x(1)ln1(21)0f

16、aa12ae2a 2c2a 22ca1c A B G H 所以.所以椭圆：4 分 II设，(，)由直线与椭圆交于两点，那么 所以，那么，6 分 所以 7 分 点，0到直线的距离，那么 9 分 显然，假设点也在线段上，那么由对称性可知，直线就是轴，矛盾，所以要使，只要 所以 11 分 当时，12 分 当时，又显然,所以 综上，14 分 20.解：因为为非零整数 故或，所以点的相关点有 8 个 2 分 又因为，即 所以这些可能值对应的点在以为圆心，为半径的圆上 4 分 1b C2212xyA1x1yB2x2ylCAB22220ykxxy22(12)20kx120 xx122212x xk 2222

17、88(1)(1)1212kABkkkM2l221kdk222221kGHrkHABykxyAGBHABGH222228(1)24()121kkrkk22424222424222(1)2(331)2(1)112231231kkkkkrkkkkkk0k 2r 0k 242112(1)2(1)31322rkk24212(1)2132rkk23r 23rx+=3(,yxy1,2xy2,1xx0P22()()5xy 221010()()5xxyy0P5依题意与重合 那么，即，两式相加得*因为 故为奇数，于是*的左边就是个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以一定为偶数 8 分 令，依题意，因为 10

18、 分 因为有，且为非零整数，所以当的个数越多，那么的值越大，而且在这个序列中，数字的位置越靠前，那么相应的的值越大 而当取值为 1 或的次数最多时，取 2 的次数才能最多，的值才能最大.当时，令 所 有 的都 为1，都 取2，那 么.当时，(,)nnnP x y000(,)P x y1-12211000()().()()nnnnnxxxxxxxxxxx1-12211000()().()()nnnnnyyyyyyyyyyy1-122110()+()+.+()+()=0nnnnxxxxxxxx1-122110()+()+.+()+()=0nnnnyyyyyyyy1112-121010()+()+(

19、)+()+.+()+()=0nnnnnnnnxxyyxxyyxxyy11,3(1,2,3,.,)Ziiiiiix yxxyyin，11()+()(=1,2,3,.,)iiiixxyyinnn11,iiiiiixxxyyy(1,2,3,.,)in11210()().()100nnnnyyyyyy0niiTx012nxxxx112121(1)(1)(1)nxxxxxx 121(1)nnn xnxx 3iixy+iixy，2ixT123,.,nxxxx2Tiy1ixT100n iyix1012(12100)10201T 100n 假设，此时，可取个 1，个，此时可都取 2，到达最大 此时=.假设,令,其余的中有个，个 1.相应的，对于，有,其余的都为2，那么 当时，令 那么相应的取 那么=+综上，13 分 *2(50,)nk kkNiy50k50k1ix()S nT212(1)1)21nnnnn*21(50,)nkkkN2nyiy49k 149k ix1nx212(1)1)12Tnnnnn 50100n1,2100,2,2100,iiyinynin2,2100,1,2100,iixinyninT1n2(1)(101)nnn(100)(99)1)nn2205100982nn22220510098,50100,2(1),100+2,100nnnTnnnnn且为偶数，且为奇数.