2016年福州市普通高中毕业班综合测试理科数学.pdf

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1、2016 年福州市普通高中毕业班综合质量检测 理科数学能力测试（完卷时间：120 分钟；满分：150 分）本试卷分第卷和第卷两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页，满分 150 分 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号第卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答案无效 3.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回 第

2、卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知全集为 R，集合 1,1,2,4M ,2|23Nx xx，则()MN R（2）（A）1,1,2（B）1,2（C）4（D）12xx 剟（3）复数 z 满足(1i)|1i|z，则复数 z 的共轭复数在复平面内的对应点位于（4）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（5）函数()sin()f xAx（0A）在3x 处取得最小值，则（6）（A）()3f x 是奇函数（B）()3f x 是偶函数（7）（C）()3f x 是奇函数（D）()3f x 是偶函数（8）

3、在ABC中，5AB AC,4BA BC，则AB （9）（A）9（B）3（C）2（D）1（10）已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量 X（单位：mm）对工期延误天数 Y 的影响及相应的概率P如下表所示：（11）（12）在降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（13）（A）0.1（B）0.3（C）0.42（D）0.5（14）若,x y满足约束条件10,20,220,xxyxy且目标函数zaxy取得最大值的点有无数个，则z的最小值等于（15）（A）2（B）32（16）（C）12（D）12 降水量 X 工期延误天数 Y 0 5 15 30 概率 P （17

4、）执行右面的程序框图，若输入n值为 4，则输出的结果为（18）（A）8（B）21（19）（C）34（D）55（20）512xx的展开式中，2x的系数为（21）（A）45（B）60（C）90（D）120（22）正项等比数列na满足11a,2635a aa a128，则下列结论正确的是（23）（A）n*N，12nnna aa（B）n*N，212nnnaaa（24）（C）n*N，1nnSa（D）n*N，312nnnnaaaa（25）双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左、右焦点分别为1F,2F，P是E左支上一点，112PFFF，直线2PF与圆222xya相切，则E的离心率为（26）（A）54

5、（B）3（C）53（D）2 33（27）一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于（28）（A）2（B）4 23 （29）（C）4 33（D）3（30）设mR，函数222()()(e2)xf xxmm若存在0 x使得01()5f x成立，则m （31）（A）15（B）25（C）35（D）45 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答第（22）题第（24）题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡相应位置（32）已知函数1,02,()1,20.xxf xx 剟若 ,2,2g xf

6、 xax x 为偶函数，则实数a （33）所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于 （34）抛物线2:4C yx的准线与x轴交于点M，过焦点F作倾斜角为60的直线与C交于,A B两点，则tanAMB=（35）数列na的前n项和为nS已知12a,1(1)2nnnSSn，则100S_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（36）（本小题满分 12 分）（37）ABC的内角A,B,C所对的边分别为,a b c，已知tan21tanAcBb（38）（）求A；（39）（）若BC边上的中线2 2AM，高线3AH，求ABC的面积 正视图 侧视图俯视图2122（40）（本小题满分 12 分）

7、（41）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了 30 名男生和20 名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定 80分以上为优分(含 80 分)（42）（43）（）（i）请根据图示，将 22 列联表补充完整；（44）（45）（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过 10%的前提下认为“该学（46）科成绩与性别有关”？（47）（）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取 3 名学生的成绩，求至少 2 名学生的成绩为优分的概率（48）附：（49）（50）)()()()(22dbcadcbabcadnK（51）（本

8、小题满分 12 分）（52）如图所示，四棱锥PABCD的底面是梯形，且/ABCD,AB 平面PAD，E是PB中点，12CDPDADAB（53）（）求证：CE 平面PAB；（54）（）若3CE，4AB，求直线CE与平面PDC所成角的大小（55）（本小题满分 12 分）（56）在平面直角坐标系xOy中，已知点,A B的坐标分别为 2,0,2,0直线,AP BP相交于点P，且它们的斜率之积是14记点P的轨迹为（57）（）求的方程；（58）（）已知直线,AP BP分别交直线:4l x 于点,M N，轨迹在点P处的切线与线段MN交于点Q，求MQNQ的值（59）（本小题满分 12 分）（60）已知aR，函

9、数1()exf xax的图象与x轴相切（61）（）求()f x的单调区间；（62）（）当1x 时，()(1)lnf xm xx，求实数m的取值范围 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号（63）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲（64）如图所示，ABC内接于圆 O，D是BAC的中点，BAC的平 分 线分别交BC和圆O于点E,F（65）（）求证：BF是ABE外接圆的切线；0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 优分 非优分 总计 男生 女生 总计 50 O

10、FEDCBAEDCBAP（66）（）若3AB,2AC，求22DBDA的值（67）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程（68）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为22cos,2sinxy（为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系（69）（）写出1C的极坐标方程；（70）（）设曲线222:14xCy经伸缩变换1,2xxyy 后得到曲线3C，射线3（0）分别与1C和3C交于A,B两点，求|AB（71）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲（72）已知不等式|3|21xx的解集为|x xm（73）（）求m的值；（74）（）设关于x的方程1|

11、xtxmt（0t）有解，求实数t的值 2016 年福州市普通高中毕业班综合质量检测 理科数学试题答案及评分参考 评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分

12、，满分 60 分 （1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分 （13）12 （14）8 （15）4 3 （16）198 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等满分 12 分 解：（）因为tan21tanAcBb，所以sincos2sin1sincossinABCBA

13、B，2 分 即sin()2sinsincossinABCBAB，因为sin()sin0ABC，sin0B，所以1cos2A，4 分 又因为(0,)A，所以3A 5 分（）由M是BC中点，得1()2AMABAC，即2221(2)4AMABACAB AC，所以2232cbbc，7 分 由11sin22SAH BCAB ACA，得332bca，即2bca，9 分 又根据余弦定理，有222abcbc，10 分 联立，得2()3222bcbc，解得8bc 所以ABC的面积1sin2 32SbcA 12 分（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解

14、能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想满分 12 分 解：（）根据图示，将 22 列联表补充完整如下：2 分 假设0H：该学科成绩与性别无关，2K的观测值22()50(991121)3.125()()()()20302030n adbckab cdac bd，因为3.1252.706，所以能在犯错误概率不超过 10%的前提下认为该学科成绩与性别有关 6 分（）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f 视作概率 7 分 设从高三年级中任意抽取 3 名学生的该学科成绩中，优分人数为X，则X服从二项分布(3,0.4)B，9 分

15、 所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352PP XP XCC 12 分（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等满分 12 分（）证明：取AP的中点F，连结,DF EF，如图所示 因为PDAD，所以DFAP 1 分 因为AB 平面PAD，DF 平面PAD，所以ABDF 又因为APABA，所以DF 平面PAB 3 分 因为点E是PB中点，所以/EFAB，且2ABEF 4 分 又因为/ABCD，且2ABCD，所以/EFCD，且EFCD，所以四边形EFDC为平行四边形

16、，所以/CEDF，所以CE 平面PAB 6 分（）解：设点 O，G 分别为 AD，BC 的中点，连结OG，则/OGAB，因为AB 平面PAD，AD 平面PAD，所以ABAD，所以OGAD 7 分 因为3EC，由（）知，3,DF 又因为4AB，所以2AD，所以222222 232,APAFADDF 所以APD为正三角形，所以POAD，优分 非优分 总计 男生 9 21 30 女生 11 9 20 总计 20 30 50 因为AB 平面PAD，PO 平面PAD，所以ABPO 又因为ADABA，所以PO 平面ABCD 8 分 故,OA OG OP两两垂直，可以点 O 为原点，分别以,OA OG OP

17、的方向为,x y z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示(0,0,3)P，(1,2,0),(1,0,0)CD，13(,2,)22E，所以(1,0,3)PD ，(1,2,3)PC ，33(,0,)22EC ，9 分 设平面PDC的法向量(,)x y zn，则0,0,PDPCnn 所以30,230,xzxyz 取1z，则(3,0,1)n，10 分 设EC与平面PDC所成的角为，则31sin|cos,|23 2ECn，11 分 因为0,2，所以6，所以EC与平面PDC所成角的大小为6 12 分（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力

18、、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等满分 12 分 解法一：（）设点P坐标为,x y，则 直线AP的斜率2APykx（2x ）；直线BP的斜率2BPykx（2x）2 分 由已知有1224yyxx（2x ），3 分 化简得点P的轨迹的方程为2214xy（2x ）4 分（注：没写2x 或2x 扣 1 分）（）设00,P xy（02x ），则220014xy 5 分 直线AP的方程为0022yyxx，令4x，得点M纵坐标为0062Myyx；6 分 直线BP的方程为0022yyxx，令4x，得点N纵坐标为0022Nyyx；7 分 设在点P处的切线方程为00yyk xx，由

19、0022,44,yk xxyxy得2220000148440kxk ykxxykx 8 分 由0，得222200006416 1410kykxkykx，整理得22220000214ykx yk xk 将222200001,4 14xyxy 代入上式并整理得200202xy k，解得004xky，9 分 所以切线方程为00004xyyxxy 令4x 得，点Q纵坐标为2200000000000044 1441444Qxxxyxxxyyyyyy 10 分 设MQQN，所以QMNQyyyy，所以00000000162122xyyxyxxy 11 分 所以22000000000012621222xxyy

20、xxyxyx 将220014xy 代入上式，002+(2+)22xx，解得1，即1MQNQ 12 分 解法二：（）同解法一（）设00,P xy（02x ），则220014xy 5 分 直线AP的方程为0022yyxx，令4x，得点M纵坐标为0062Myyx；6 分 直线BP的方程为0022yyxx，令4x，得点N纵坐标为0022Nyyx；7 分 设在点P处的切线方程为00yyk xx，由0022,44,yk xxyxy得2220000148440kxk ykxxykx 8 分 由0，得222200006416 1410kykxkykx，整理得22220000214ykx yk xk 将2222

21、00001,4 14xyxy 代入上式并整理得200202xy k，解得004xky，9 分 所以切线方程为00004xyyxxy 令4x 得，点Q纵坐标为2200000000000044 1441444Qxxxyxxxyyyyyy 10 分 所以000000022000008181621222244MNQxyxyyyxyyyxxxyy，11 分 所以Q为线段MN的中点，即1MQNQ 12 分（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等满分12 分 解：（）1

22、exfxa，设切点为0(,0)x，1 分 依题意，00()0,()0,f xfx即00101e0,e0,xxaxa 解得01,1,xa 3 分 所以 1e1xfx 当1x 时，0fx；当1x 时，0fx 故 f x的单调递减区间为(,1)，单调递增区间为(1,)5 分（）令()()(1)lng xf xm xx，0 x 则11()e(ln)1xxg xmxx，令()()h xg x，则1211()e()xh xmxx，6 分（）若12m，因为当1x 时，1e1x，211()1mxx，所以()0h x，所以()h x即()g x在(1,)上单调递增 又因为(1)0g，所以当1x 时，()0g x

23、，从而()g x在1,)上单调递增，而(1)0g，所以()0g x，即()(1)lnf xm xx成立 9 分（）若12m，可得1211()e()xh xmxx在(0,)上单调递增 因为(1)120hm，211(1ln(2)201ln(2)1ln(2)hmmmmm，所以存在1(1,1ln(2)xm，使得1()0h x，且当1(1,)xx时，()0h x，所以()h x即()g x在1(1,)x上单调递减，又因为(1)0g，所以当1(1,)xx时，()0g x，从而()g x在1(1,)x上单调递减，而(1)0g，所以当1(1,)xx时，()0g x，即()(1)lnf xm xx不成立 纵上所

24、述，k的取值范围是1(,2 12 分 请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号（22）选修4 1：几何证明选讲 本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等满分 10 分 解：（）设ABE外接圆的圆心为O，连结BO并延长交圆O于G点，连结GE，则90BEG，BAEBGE 因为AF平分BAC，所以=BF FC，所以FBEBAE，2 分 所以18090FBGFBEEBGBGEEBGBEG ，所以O BBF，所以BF是ABE外接圆的切线 5 分（）连接DF

25、，则DFBC，所以DF是圆O的直径，因为222BDBFDF，222DAAFDF，所以2222BDDAAFBF 7 分 因为AF平分BAC，所以ABFAEC,所以ABAFAEAC，所以()AB ACAE AFAFEFAF,因为FBEBAE，所以FBEFAB，从而2BFFE FA，所以22AB ACAFBF，所以226BDDAAB AC 10 分（23）选修44；坐标系与参数方程 本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等满分 10 分 GOECODFBA解：（）将22cos,2sinxy消去参数，化为普通方程为22(2)4xy，即22

26、1:40Cxyx，2 分 将cos,sinxy代入221:40Cxyx，得24 cos，4 分 所以1C的极坐标方程为4cos 5 分（）将2,xxyy代入2C得221xy，所以3C的方程为221xy 7 分 3C的极坐标方程为1，所以|1OB 又|4cos23OA，所以|1ABOAOB 10 分（24）选修45：不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等 满分 10 分 解：（）由|3|21xx得，3,(3)21,xxx或3,321,xxx 2 分 解得2x 依题意2m 5 分（）因为1111xtxxtxtttttt，当且仅当10 xtxt时取等号，7 分 因为关于x的方程1|2xtxt（0t）有实数根，所以12tt 8 分 另一方面，12tt，所以12tt，9 分 所以1t 或1t 10 分