数列知识点总结及题型归纳总结245.pdf

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1、 让学习成为一种习惯！1 高三总复习-数列 一、数列的概念 1数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na，在数列第一个位置的项叫第 1 项或首项，在第二个位置的叫第 2 项，序号为n 的项叫第n项也叫通项记作na；数列的一般形式：1a，2a，3a，na，简记作 na。例：判断以下各组元素能否构成数列 1a,-3,-1,1,b,5,7,9;(2)2010 年各省参加高考的考生人数。2通项公式的定义：如果数列na的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：1，2，3，4，5，：514131211，数列的通项公式

2、是na=nn7，nN，数列的通项公式是na=1nnN。说明：na表示数列，na表示数列中的第n项，na=f n表示数列的通项公式；同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，na=(1)n=1,21()1,2nkkZnk；不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，3数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N或它的有限子集的函数()f n当自变量n从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),ff

3、f，()f n，通常用na来代替 f n，其图象是一群孤立点。例：画出数列12 nan的图像.4数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。例：以下的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？11，2，3，4，5，6，(2)10,9,8,7,6,5,(3)1,0,1,0,1,0,(4)a,a,a,a,a,5数列na的前n项和nS与通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn 例：已知数列na的前 n 项和322nsn，求数列na的通项公式 让学习成为一种习惯！2 练习：1根据数列前 4 项，

4、写出它的通项公式：11，3，5，7；22212，2313，2414，2515；311*2，12*3，13*4，14*5。49，99，999，9999 57，77，777，7777，(6)8,88,888,8888 2数列 na中，已知21()3nnnanN 1写出,1a，2a，3a，1na，2na；22793是否是数列中的项？假设是，是第几项？3 2003 京春理 14，文 15在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白_内。4、由前几项猜想通项：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项

5、公式.5.观察以下各图，并阅读下面的文字，像这样，10 条直线相交，交点的个数最多是 ，其通项公式为 .A40 个 B45 个 C50 个 D55 个 2 条 直 线 相交，最多有 1个交点 3 条 直 线 相交，最多有 3个交点 4 条 直 线 相交，最多有 6个交点 1 4 7 让学习成为一种习惯！3 二、等差数列 题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaad n或1(1)nnaad n。例：等差数列12 nan，1nnaa 题型二、

6、等差数列的通项公式：1(1)naand；说明：等差数列通常可称为A P数列的单调性：d0为递增数列，0d 为常数列，0d 为递减数列。例：1.已知等差数列 na中，12497116aaaa，则，等于 A15 B30 C31 D64 2.na是首项11a，公差3d 的等差数列，如果2005na，则序号n等于 A667 B668 C669 D670 3.等差数列12,12nbnann，则na为 nb为 填“递增数列”或“递减数列”题型三、等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中2abA a，A，b成等差数列2abA 即：212nnnaaa mnmnnaaa2

7、 例：1 14 全国 I设 na是公差为正数的等差数列，假设12315aaa，12380a a a，则111213aaa A120 B105 C90 D75 2.设数列na是单调递增的等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是 A1 B.2 C.4 D.8 题型四、等差数列的性质：1在等差数列 na中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；2在等差数列 na中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；3在等差数列 na中，对任意m，nN，()nmaanm d，nmaadnm()mn；4在等差数列 na中，假设m，n，p，qN且mnpq，则mnpqaaaa；题型五、等差数

8、列的前n和的求和公式：11()(1)22nnn aan nSnadnda）（2n2112。(),(2为常数BABnAnSn na是等差数列)递推公式：2)(2)()1(1naanaaSmnmnn 例：1.如果等差数列 na中，34512aaa，那么127.aaa A14 B21 C28 D35 让学习成为一种习惯！4 2.2015 湖南卷文设nS是等差数列 na的前 n 项和，已知23a，611a，则7S等于()A13 B35 C49 D 63 3.2015 全国卷理 设等差数列 na的前n项和为nS，假设972S,则249aaa=4.2015 重庆文 2在等差数列 na中，1910aa，则5

9、a的值为 A5 B6 C8 D10 5.假设一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有 A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项 6.已知等差数列 na的前n项和为nS，假设118521221aaaaS，则 7.2014 全国卷理设等差数列 na的前n项和为nS，假设535aa则95SS 8 2014 全国已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100.求数列bn的通项bn；9.已知 na数列是等差数列，1010a，其前 10 项的和7010S，则其公差d等于()3132BA C.31 D.32 10.201

10、5 陕西卷文设等差数列 na的前 n 项和为ns,假设6312as,则na 11 2013 全国设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列nSn的前n项和，求Tn。12.等差数列 na的前n项和记为nS，已知50302010aa，求通项na；假设nS=242，求n 13.在等差数列na中，1已知812148,168,SSad求 和；2已知658810,5,aSaS求 和；(3)已知3151740,aaS求 让学习成为一种习惯！5 题型六.对于一个等差数列：1假设项数为偶数，设共有2n项，则S偶S奇nd；1nnSaSa奇偶；2假设项数为奇数，设共有21n项，则

11、S奇S偶naa中；1SnSn奇偶。题型七.对与一个等差数列，nnnnnSSSSS232,仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为 A.130 B.170 C.210 D.260 2.一个等差数列前n项的和为 48，前 2n项的和为 60，则前 3n项的和为 。3已知等差数列 na的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为 4.设nS为等差数列 na的前n项和，971043014SSSS，则，=5 2015 全国 II设Sn是等差数列an的前n项和，假设36SS13，则612SS A310 B13 C18

12、D19 题型八判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：）常数）（Nndaann(1 na是等差数列 中项法：)221Nnaaannn（na是等差数列 通项公式法：),(为常数bkbknan na是等差数列 前n项和公式法：),(2为常数BABnAnSn na是等差数列 例：1.已知数列na满足21nnaa，则数列na为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列na的通项为52 nan，则数列na为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 3.已知一个数列na的前 n 项和422nsn，则数列na为 A.等差

13、数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 4.已知一个数列na的前 n 项和22nsn，则数列na为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 让学习成为一种习惯！6 5.已知一个数列na满足0212nnnaaa，则数列na为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 6.数列 na满足1a=8，022124nnnaaaa，且 Nn 求数列 na的通项公式；7 14 天津理，2设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是 A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，

14、而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 题型九.数列最值 110a，0d 时，nS有最大值；10a，0d 时，nS有最小值；2nS最值的求法：假设已知nS，nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；可用二次函数最值的求法nN；或者求出 na中的正、负分界项，即：假设已知na，则nS最值时n的值nN可如下确定100nnaa或100nnaa。例：1等差数列 na中，12910SSa，则前 项的和最大。2设等差数列 na的前n项和为nS，已知001213123SSa，求出公差d的范围，指出1221SSS，中哪一个值最大，并说明理由。3 12 上海设an nN*是等差数列，Sn是其前n项的和

15、，且S5S6，S6S7S8，则以下结论错误的选项是 A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值 让学习成为一种习惯！7 4已知数列 na的通项9998nn Nn，则数列 na的前 30 项中最大项和最小项分别是 5.已知na是等差数列，其中131a，公差8d 。1数列na从哪一项开始小于 0？2求数列na前n项和的最大值，并求出对应n的值 6.已知na是各项不为零的等差数列，其中10a，公差0d，假设100S,求数列na前n项和的最大值 7.在等差数列na中，125a，179SS，求nS的最大值 题型十.利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项 1.数列na的前

16、n项和21nSn 1试写出数列的前 5 项；2数列na是等差数列吗？3你能写出数列na的通项公式吗？让学习成为一种习惯！8 2已知数列 na的前n项和，142nnSn则 3.设数列na的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列na的通项公式；4.已知数列 na中，31a前n和1)1)(1(21nnanS 求证：数列 na是等差数列 求数列 na的通项公式 5.2015 安徽文设数列na的前 n 项和2nSn，则8a的值为 A 15 (B)16 (C)49 D64 等比数列 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等

17、比数列的公比；公比通常用字母q表示(0)q，即：1na：(0)naq q。一、递推关系与通项公式 mnmnnnnnqaaqaaaa推广：通项公式：递推关系：111q 1 在等比数列 na中,2,41qa，则na 2 在等比数列 na中,3712,2aq,则19_.a 3.2014 重庆文在等比数列an中，a28，a164，则公比 q 为 A2 B3 C4 D8 4.在等比数列 na中，22a，545a，则8a=让学习成为一种习惯！9 5.在各项都为正数的等比数列na中，首项13a，前三项和为 21，则345aaa A 33 B 72 C 84 D 189 二、等比中项：假设三个数cba,成等比

18、数列，则称b为ca与的等比中项，且为acbacb2，注：是成等比数列的必要而不充分条件.例：1.23和23的等比中项为()()1A ()1B ()1C ()2D 2.2013 重庆卷文设 na是公差不为 0 的等差数列，12a 且136,a a a成等比数列，则 na的前n项和nS=A2744nn B2533nn C2324nn D2nn 三、等比数列的基本性质，1.1qpnmaaaaqpnm，则若),(Nqpnm其中 2)(2Nnaaaaaqmnmnnmnmn，3 na为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.4 na既是等差数列又是等比数列 na是各项不为零的常数列.例：1在等比数列

19、 na中,1a和10a是方程22510 xx 的两个根,则47aa()5()2A 2()2B 1()2C 1()2D 2.在等比数列 na，已知51a，100109aa，则18a=3.在等比数列 na中，143613233nnaaaaaa，求na 假设nnnTaaaT求,lglglg21 让学习成为一种习惯！10 4.等比数列na的各项为正数，且5647313231018,loglogloga aa aaaa则 A12 B10 C8 D2+3log 5 5.2014 广东卷理已知等比数列na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n 时，2123221logloglogna

20、aa A.(21)nn B.2(1)n C.2n D.2(1)n 2.前n项和公式)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn 例：1.已知等比数列na的首相51a，公比2q，则其前 n 项和nS 2.已知等比数列na的首相51a，公比21q，当项数 n 趋近与无穷大时，其前 n 项 和nS 3.设等比数列na的前 n 项和为nS，已,62a30631 aa，求na和nS 4 2015 年北京卷设4710310()22222()nf nnN，则()f n等于 A2(81)7n B12(81)7n C32(81)7n D 42(81)7n 5 2014 全国文，21设等比数列an的

21、前n项和为Sn，假设S3S62S9，求数列的公比q；6设等比数列na的公比为 q，前 n 项和为 Sn，假设 Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则 q 的值为 .3.假设数列 na是等比数列，nS是其前 n 项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列.例：1.2014 辽宁卷理设等比数列 na的前 n 项和为nS，假设 63SS=3，则 69SS=A.2 B.73 C.83 D.3 2.一个等比数列前n项的和为 48，前 2n项的和为 60，则前 3n项的和为 A83 B108 C75 D63 让学习成为一种习惯！11 3.已知数列 na是等比数列，且mmmSSS32301

22、0，则，4.等比数列的判定法 1定义法：（常数）qaann 1 na为等比数列；2中项法：)0(221nnnnaaaa na为等比数列；3通项公式法：为常数）qkqkann,(na为等比数列；4前n项和法：为常数）（qkqkSnn,)1(na为等比数列。为常数）（qkkqkSnn,na为等比数列。例：1.已知数列na的通项为nna2，则数列na为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列na满足)0(221nnnnaaaa，则数列na为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 3.已知一个数列na的前 n 项和

23、1n22ns，则数列na为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 5.利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项 例：1.2015 北京卷数列an的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式 2.2015 山东卷已知数列 na的首项15,a 前n项和为nS，且*15()nnSSnnN，证明数列1na 是等比数列 让学习成为一种习惯！12 四、求数列通项公式方法 1 公式法定义法 根据等差数列、等比数列的定义求通项 例：1 已知等差数列na满足：26,7753aaa，求na；2.已知数列na满足)

24、1(1,211naaann，求数列na的通项公式；3.数列 na满足1a=8，022124nnnaaaa，且 Nn，求数列 na的通项公式；4.已知数列na满足211,211nnaaa，求数列 na的通项公式；5.设数列na满足01a且111111nnaa，求na的通项公式 让学习成为一种习惯！13 6.已知数列na满足112,12nnnaaaa，求数列na的通项公式。7.等比数列na的各项均为正数，且13221 aa，62239aaa，求数列na的通项公式 8.已知数列na满足)1(3,211naaann，求数列na的通项公式；9.已知数列na满足2122142nnnaaaaa且，Nn，求数

25、列 na的通项公式；10.已知数列na满足，21a且1152(5)nnnnaa Nn，求数列 na的通项公式；让学习成为一种习惯！14 11.已知数列na满足，21a且115 223(5 22)nnnnaa Nn，求数列 na的通项公式；12.数列已知数列 na满足111,41(1).2nnaaan则数列 na的通项公式=2累加法 1、累加法 适用于：1()nnaaf n 假设1()nnaaf n(2)n，则 21321(1)(2)()nnaafaafaaf n 两边分别相加得 111()nnkaaf n 例：1.已知数列na满足141,21211naaann，求数列na的通项公式。让学习成为

26、一种习惯！15 2.已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。3.已知数列na满足112 313nnnaaa，求数列na的通项公式。4.设数列na满足21a，12123nnnaa，求数列na的通项公式 3累乘法 适用于：1()nnaf n a 假设1()nnaf na，则31212(1)(2)()nnaaafff naaa，两边分别相乘得，1111()nnkaaf ka 让学习成为一种习惯！16 例：1.已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。2.已知数列 na满足321a，nnanna11，求na。3.已知31a，nnanna23131)1(

27、n，求na。（4）待定系数法 适用于1()nnaqaf n 解题基本步骤：1、确定()f n 2、设等比数列1()naf n，公比为 3、列出关系式)()1(2211nfanfann 4、比较系数求1，2 5、解得数列1()naf n的通项公式 6、解得数列 na的通项公式 让学习成为一种习惯！17 例：1.已知数列na中，111,21(2)nnaaan，求数列 na的通项公式。2.2015，重 庆,文,14 在 数 列 na中，假 设111,23(1)nnaaan，则 该 数 列 的 通 项na_ 3.2014.福建.理 22.本小题总分值 14 分已知数列 na满足*111,21().nn

28、aaanN求数列 na的通项公式；4.已知数列na满足1123 56nnnaaa，求数列 na的通项公式。解：设1152(5)nnnnaxax 5.已知数列na满足1135 241nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1123(2)nnnnaxyaxy 让学习成为一种习惯！18 6.已知数列 na中，651a,11)21(31nnnaa，求na 7.已知数列na满足21123451nnaanna，求数列na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz 8.已知数列na满足11124 31nnnaaa，求数列 na的通项公式。递推公式为nnnqapaa12其中

29、p，q 均为常数。先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s，t 满足qstpts 9.已知数列na满足211256,1,2nnnaaa aa，求数列na的通项公式。让学习成为一种习惯！19 5递推公式中既有nS 分析：把已知关系通过11,1,2nnnS naSSn转化为数列 na或nS的递推关系，然后采用相应的方法求解。1.2015 北京卷数列an的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式 2.2015 山东卷 已知数列 na的首项15,a 前n项和为nS，且*15()nnSSnnN，证明数列1na 是等比数列 3

30、已知数列 na中，31a前n和1)1)(1(21nnanS 求证：数列 na是等差数列 求数列 na的通项公式 让学习成为一种习惯！20 4.已知数列na的各项均为正数，且前 n 项和nS满足1(1)(2)6nnnSaa，且249,a a a成等比数列，求数列na的通项公式。6倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例：1.已知数列na满足112,12nnnaaaa，求数列na的通项公式。7对无穷递推数列 消项得到第1n与n项的关系 例：1.2014 年全国 I 第 15 题，原题是填空题已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，求na的通项公式。2.设数列

31、 na满足211233333nnnaaaa，a*N求数列 na的通项；让学习成为一种习惯！21 五、数列求和 1直接用等差、等比数列的求和公式求和。dnnnaaanSnn2)1(2)(11 )1(1)1()1(11qqqaqnaSnn 公比含字母时一定要讨论(理)无穷递缩等比数列时，qaS11 例：1.已知等差数列na满足,11a32a，求前n项和nS 2.等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=A9 B10 C11 D12 3.已知等比数列na满足,11a32a，求前n项和nS 4.设4710310()22222()nf nnN，则()f n等于 A.2(8

32、1)7n B.12(81)7n C.32(81)7n D.42(81)7n 2错位相减法求和：如：.,2211的和求等比等差nnnnbabababa 例：1求和21123nnSxxnx 2.求和：nnanaaaS32321 让学习成为一种习惯！22 3.设na是等差数列，nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab 求na，nb的通项公式；求数列nnab的前n项和nS 3裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾假设干项。常见拆项：111)1(1nnnn )121121(21)12)(12(1nnnn)211(21)2(1nnnn )2)(1(1)1(

33、121)2)(1(1nnnnnnn !)!1(!nnnn )!1(1!1)!1(nnnn inininCCC111 例：1.数列na的前n项和为nS，假设1(1)nan n，则5S等于 A1 B56 C16 D130 2.已知数列na的通项公式为1(1)nan n，求前n项的和；3.已知数列na的通项公式为11nann，求前n项的和 让学习成为一种习惯！23 4.已知数列na的通项公式为na12n，设13242111nnnTa aaaaa，求nT 5求)(,32114321132112111*Nnn。6已知1,0aa，数列 na是首项为 a，公比也为 a 的等比数列，令)(lgNnaabnnn

34、，求数列 nb的前n项和nS。4倒序相加法求和 例：1.求SCCnCnnnnn36312 2.求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(.53210 让学习成为一种习惯！24 3设数列 na是公差为d，且首项为da 0的等差数列，求和：nnnnnnCaCaCaS11001 综合练习：1.设数列na满足01a且111111nnaa 1求na的通项公式 2设,11nabnn记nkknbS1，证明：1nS 2.等比数列na的各项均为正数，且13221 aa，62239aaa 1求数列na的通项公式 2设naaanb333log.loglog21，求数列1nb的前 n 项和 让学习成为一种习惯！2

35、5 3.已知等差数列na满足02a,1086 aa.(1)求数列na的通项公式及nS 2求数列21nna的前 n 项和 4.已知两个等比数列na，nb，满足)0(1aaa，111 ab，222 ab，333 ab 1假设,1a求数列na的通项公式 2假设数列na唯一，求a的值 5.设数列na满足21a，12123nnnaa 1求数列na的通项公式 2令nnnab，求数列nb的前 n 项和nS 让学习成为一种习惯！26 7.已知等差数列na满足：26,7753aaa，na的前 n 项和nS 1求na及nS 2令112nnab Nn，求数列nb前 n 项和nT 8已知数列 na中，31a前n和1)1)(1(21nnanS 求证：数列 na是等差数列 求数列 na的通项公式