放回取样与不放回取样.pdf

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1、例谈放回取样与不放回取样 江苏省吴江市南麻中学 姜明 在装有若干个小球的袋中，第一次取一个球，然后放回袋中，第二次再取一个球，然后再放回袋中，以此循环下去，这种情况叫放回取样；若第一次取一个球，不放回袋中，第二次再取一个球，不放回袋中，以此循环下去，这种情况叫不放回取样。许多探求事件发生机会大小的问题常可以转化为放回取样问题和不放回取样问题。例1、一个不透明的袋中有 3 个白球，2 个黑球，试解答下列问题：（1）若每次从袋中取一个球，然后放回，则连续两次都取到白球的机会为多少？（2）若每次从袋中取一个球，然后放回，则连续两次取到球的颜色不同的机会为多少？（3）若每次从袋中取两个球，则正好取到两

2、个黑球的机会为多少？（4）若每次从袋中取两个球，则取到两个不同的颜色的球机会为多少？分析：（1）、（2）可看作是放回取样问题，（3）、（4）可转化为不放回取样问题，即可看作取两次球，每次取一个。解：（1）每次取的球为白球的机会都是53，所以连续两次都取到白球的机会为5353=259；（2）取到白球的机会为53，取到黑球的机会为52，所以先取到黑球后取到白球的机会为5352=256，所以先取到白球后取到黑球的机会为5253=256，则连续两次取到球的颜色不同的机会为：256+256=2512；（3）取两个球相当于取两次球，从而看成是不放回取样问题。第一次取到黑球的机会为52，第一次取球后，球的总

3、数降为 4 个，黑球的个数降为 1 个，所以第二次取到黑球的机会为41，从而取到两个黑球的机会为5241=101；（4）取两个球相当于取两次球，从而看成是不放回取样问题。若先取得白球后取得黑球的话，先取的白球的机会为53，后取得黑球的机会为42；若先取得黑球后取得白球的话，先取得黑球的机会为52，后取的白球的机会为43，故取到两个球的颜色不同的机会为5342+5243=53。例 2、初二（3）班有 60 名同学，问至少有两名同学生日相同（出生年份可以不同）的机会有多大？分析：直接求解很困难，不如从反面考虑，“至少有两名同学生日相同”的反面即“没有同学生日相同”，而这可看作是一个不放回取样问题。解：对于任意两名同学，他们生日不同的机会为：365365365364，同理，对于 60 名同学他们生日不同的机会为365365365364365306=60365306364365 0.006，从而 60 名同学中至少有两名同学生日相同的机会为 1-0.006=0.994=99.4%。可见，机会是很大的。练习：1、小梅家的防盗门需要用两把钥匙才能打开，若小梅有四把外形一样的钥匙，问小梅一次把门打开的机会有多大？2、在 110 这 10 个数中，任取两个数，其和为奇数的机会为多少？（答案：1、121 2、9 分之 5）