2015年湖北省高考数学试卷(理科)解析.pdf

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1、 第1页（共25页）2015 年湖北省高考数学试卷(理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）（2015湖北)i 为虚数单位，i607的共轭复数为（）A i B i C 1 D 1 2（5 分）（2015湖北）我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石，验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（）A 134 石 B 169 石 C 338 石 D 1365 石 3(5 分)（2015湖北）已知（1+x）n的展开式中第 4 项与

2、第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A 212 B 211 C 210 D 29 4（5 分）（2015湖北)设 XN（1,12），YN（2,22），这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（）A P（Y2）P（Y1)B P(X2）P（X1）C 对任意正数 t，P（Xt）P（Yt）D对任意正数 t，P（Xt)P（Yt）5（5 分)（2015湖北）设 a1，a2,，anR,n3 若 p:a1,a2，,an成等比数列；q：（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）=（a1a2+a2a3+an1an）2，则(）A p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件

3、 B p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 C p 是 q 的充分必要条件 D p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 6（5 分)(2015湖北）已知符号函数 sgnx=，f（x）是 R 上的增函数，g（x)=f(x)f（ax）（a1），则（)A sgng（x）=sgnx Bsgng（x)=sgnx Csgng（x）=sgnf（x)Dsgng（x）=sgnf(x）7（5 分）(2015湖北）在区间0，1上随机取两个数 x，y，记 P1为事件“x+y”的概率，P2为事件“xy”的概率，P3为事件“xy”的概率,则（）A P1P2P3 B P2P3P1 C P3P1P2 D

4、 P3P2P1 第2页（共25页）8（5 分）（2015湖北）将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a 和虚半轴长 b(ab)同时增加 m（m0）个单位长度，得到离心率为 e2的双曲线 C2,则（）A 对任意的 a，b，e1e2 B 当 ab 时，e1e2;当 ab 时，e1e2 C 对任意的 a，b，e1e2 D 当 ab 时，e1e2；当 ab 时,e1e2 9（5 分）（2015湖北）已知集合 A=（x，y）x2+y21,x，yZ，B=（x,y）|x2,|y|2，x,yZ，定义集合 AB=(x1+x2，y1+y2）(x1，y1）A,（x2,y2）B，则 AB 中元素的个数为(）A 7

5、7 B 49 C 45 D 30 10（5 分)（2015湖北）设 xR，x表示不超过 x 的最大整数若存在实数 t，使得t=1，t2=2，tn=n 同时成立,则正整数 n 的最大值是(）A 3 B 4 C 5 D 6 二、填空题：本大题共 4 小题，考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置,书写不清，模棱两可均不得分 11（5 分）（2015湖北）已知向量，=3，则=12（5 分）（2015湖北)函数 f（x）=4cos2cos（x）2sinx|ln（x+1）|的零点个数为 13(5 分）(2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正

6、西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上,行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD=m 14（5 分）(2015湖北)如图,圆 C 与 x 轴相切于点 T（1，0），与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B在 A 的上方），且AB|=2(1）圆 C 的标准方程为 ；（2）过点 A 任作一条直线与圆 O:x2+y2=1 相交于 M，N 两点，下列三个结论：=；=2；+=2 其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）第3页（共25页）选修 41：几何证明选讲 15（5 分）（2015湖北）如图,PA 是圆的切线，

7、A 为切点，PBC 是圆的割线，且 BC=3PB,则=选修 4-4：坐标系与参数方程 16（2015湖北）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知直线 l 的极坐标方程为（sin3cos）=0，曲线 C 的参数方程为（t 为参数），l 与 C 相交于 A，B 两点，则|AB=三、解答题：本大题共 6 小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（11 分）（2015湖北）某同学用“五点法”画函数 f（x）=Asin（x+）（0,）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表:x+0 2 x Asin（x+)0 5 5 0（1）请将

8、上表数据补充完整，填写在相应位置,并直接写出函数 f（x)的解析式；（2）将 y=f(x）图象上所有点向左平行移动（0)个单位长度，得到 y=g（x）的图象若y=g（x)图象的一个对称中心为(,0)，求 的最小值 18(12 分)（2015湖北)设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列bn的公比为 q,已知 b1=a1，b2=2,q=d,S10=100 第4页（共25页）(1)求数列an，bn的通项公式（2）当 d1 时，记 cn=，求数列cn的前 n 项和 Tn 19(12 分)（2015湖北)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为

9、直角三角形的四面体称之为鳖臑 如图，在阳马 PABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD,且 PD=CD，过棱 PC 的中点 E，作 EFPB 交 PB 于点 F，连接 DE，DF，BD，BE（1）证明:PB平面 DEF试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由;（2）若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为,求的值 20(12 分)（2015湖北)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A，B 两种奶制品生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1。5 吨，使用设备 1。5 小

10、时，获利 1200 元要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍,设备每天生产 A,B 两种产品时间之和不超过 12 小时假定每天可获取的鲜牛奶数量 W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0。2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大,因此每天的最大获利 Z（单位：元）是一个随机变量（1）求 Z 的分布列和均值；（2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率 21(14 分)(2015湖北）一种画椭圆的工具如图 1 所示O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转

11、动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 N 绕 O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为 C,以 O 为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系（1）求椭圆 C 的方程；（2）设动直线 l 与两定直线 l1：x2y=0 和 l2：x+2y=0 分别交于 P，Q 两点若直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点,试探究：OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 第5页（共25页）22（14 分）（2015湖北）已知数列a

12、n的各项均为正数，bn=n（1+)nan（nN+）,e 为自然对数的底数（1）求函数 f（x）=1+xex的单调区间，并比较（1+)n与 e 的大小；(2）计算，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令 cn=（a1a2an)，数列an,cn的前 n 项和分别记为 Sn,Tn，证明：TneSn 2015 年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1(5 分）（2015湖北）i 为虚数单位，i607的共轭复数为（）A i B i C 1 D 1 考点:虚数单位 i 及其性质

13、专题：数系的扩充和复数 分析：直接利用复数的单位的幂运算求解即可 解答：解：i607=i604+3=i3=i,它的共轭复数为：i 故选：A 点评：本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查 2（5 分）（2015湖北）我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（)A 134 石 B 169 石 C 338 石 D 1365 石 考点:随机抽样和样本估计总体的实际应用 专题：计算题；概率与统计 分析：根据 254 粒内夹谷 28 粒，可得比例，即

14、可得出结论 解答：解:由题意，这批米内夹谷约为 1534169 石，故选：B 点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础 第6页（共25页）3(5 分)（2015湖北）已知（1+x）n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为（)A 212 B 211 C 210 D 29 考点:二项式定理；二项式系数的性质 专题：二项式定理 分析：直接利用二项式定理求出 n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可 解答：解：已知(1+x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，可得，可得 n=3+7=10（1+x）10的展开式中奇数项的

15、二项式系数和为：=29 故选：D 点评:本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力 4（5 分）（2015湖北)设 XN(1,12），YN(2，22)，这两个正态分布密度曲线如图所示 下列结论中正确的是()A P（Y2）P（Y1）B P（X2）P（X1）C 对任意正数 t，P（Xt）P（Yt）D对任意正数 t，P（Xt）P（Yt)考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题:概率与统计 分析：直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可 解答：解：正态分布密度曲线图象关于 x=对称,所以 12，从图中容易得到 P(Xt）P(Yt）故选:D 点评:

16、本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数 和标准差 这两个关键量，结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质 5（5 分）（2015湖北）设 a1，a2，anR，n3 若 p：a1，a2，an成等比数列;q：（a12+a22+an12）（a22+a32+an2)=（a1a2+a2a3+an1an）2，则（)第7页（共25页）A p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 B p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 C p 是 q 的充分必要条件 D p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 考点:等比数列的性质 专题:等差数列与等比数列；简易逻辑

17、 分析：运用柯西不等式，可得：(a12+a22+an12）（a22+a32+an2）（a1a2+a2a3+an1an）2,讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到 解答：解：由 a1，a2，anR，n3 运用柯西不等式，可得：（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）(a1a2+a2a3+an1an）2，若 a1，a2,，an成等比数列，即有=,则（a12+a22+an12）(a22+a32+an2）=（a1a2+a2a3+an1an）2，即由 p 推得 q，但由 q 推不到 p,比如 a1=a2=a3=an=0，则 a1,a2,an不成等比数列 故 p

18、 是 q 的充分不必要条件 故选：A 点评：本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键 6（5 分）（2015湖北)已知符号函数 sgnx=,f(x)是 R 上的增函数，g（x）=f（x）f（ax）（a1)，则（）A sgng（x）=sgnx B sgng（x）=sgnx Csgng（x）=sgnf（x）D sgng（x）=sgnf（x）考点:函数与方程的综合运用 专题:函数的性质及应用 分析：直接利用特殊法，设出函数 f(x）,以及 a 的值，判断选项即可 解答：解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数 sgnx=，f（x）是 R 上的增函

19、数，g（x）=f（x）f（ax）（a1），不妨令 f（x）=x，a=2,则 g（x）=f（x）f（ax）=x，sgng（x）=sgnx所以 A 不正确,B 正确，sgnf（x）=sgnx，C 不正确；D 正确;对于 D，令 f（x）=x+1，a=2，则 g（x）=f（x）f(ax）=x1，第8页（共25页）sgnf（x）=sgn(x+1）=；sgng（x）=sgn（x1）=，sgnf(x）=sgn（x+1）=;所以 D 不正确；故选：B 点评：本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题 7（5 分）(2015湖北）在区间0,1上随机取两个数 x，y，

20、记 P1为事件“x+y”的概率，P2为事件“|xy|的概率，P3为事件“xy”的概率，则（）A P1P2P3 B P2P3P1 C P3P1P2 D P3P2P1 考点：几何概型 专题:概率与统计 分析:作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可 解答：解：分别作出事件对应的图象如图(阴影部分)：P1：D（0，）,F（，0），A(0,1），B（1，1），C（1，0)，则阴影部分的面积 S1=11=1=,S2=112=1=，S3=1+dx=+lnx|=ln=+ln2，S2S3S1，即 P2P3P1，故选：B 第9页（共25页）点评：本题主要考查几何概型的概

21、率计算，利用数形结合是解决本题的关键 本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小 8（5 分)（2015湖北）将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a 和虚半轴长 b（ab)同时增加 m（m0）个单位长度，得到离心率为 e2的双曲线 C2，则（）A 对任意的 a，b，e1e2 B 当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2 C 对任意的 a,b，e1e2 D 当 ab 时，e1e2;当 ab 时，e1e2 考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析：分别求出双曲线的离心率,再平方作差,即可得出结论 解答：解：由题意，双曲线 C1：c2=a2+b2,e1

22、=；双曲线 C2:c2=（a+m）2+（b+m)2,e2=,=，当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2,故选：D 第10页（共25页）点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础 9(5 分）(2015湖北）已知集合 A=（x，y）|x2+y21，x，yZ，B=（x，y）x2，y2,x,yZ，定义集合 AB=（x1+x2，y1+y2)|（x1，y1)A，（x2，y2）B，则 AB 中元素的个数为（）A 77 B 49 C 45 D 30 考点:集合中元素个数的最值 专题：新定义；开放型；集合 分析:由题意可得，A=（0，0），（0,1），（0，1），（1，0），（1，0），

23、B=（0,0），（0，1）,（0，2），（0，1）,（0，2），（1，0)，（1，1），（1，2）（1，1），（1，2）（2,0），（2，1）,（2，2）（2，1），(2,2)，（1，2），（1，1），（1，0），(1，1），（1，2)，（2，2)，(2，1），（2，0），（2，1），（2，2），根据定义可求 解答：解:A=（x,y）|x2+y21,x，yZ=(0，0),(0，1），（0，1），(1,0),（1，0）,B=(x,y）|x|2，y|2,x，yZ=（0，0），（0，1）,（0，2），（0，1)，(0，2）,（1，0），（1,1)，(1，2）(1，1），（1,2)(2，0），(2，1

24、）,（2，2)（2,1)，(2，2)，（1，2）,（1,1），(1,0）,（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（2,0），（2，1），（2，2）AB=(x1+x2,y1+y2）|(x1，y1）A，（x2，y2）B，AB=(0，0)，(0,1），（0，2），（0，1)，（0，2），（1，0），(1，1），(1，2）（1,1），（1，2)（2,0），（2,1)，（2，2）（2，1），（2,2），（1，2)，(1，1)，（1,0），（1，1），（1,2),（2，2），（2，1），（2,0），（2,1），（2，2），（2，4)，(2，3）,（2，4），（1，5），（0，4），（0,3)，（

25、1，4），（1，3）,（2，4）,（2，3）,（2，3)，（1，3），（1，4），（1，3），（1，3）,（2,3）（1，4）,（0，3），（0，4）（2，4）共 45 个元素 故选：C 点评：本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素 10（5 分)（2015湖北）设 xR，x表示不超过 x 的最大整数若存在实数 t,使得t=1,t2=2，tn=n 同时成立，则正整数 n 的最大值是(）A 3 B 4 C 5 D 6 考点：进行简单的演绎推理 专题：创新题型；简易逻辑 分析:由新定义可得 t 的范围,验证可得最大的正整数 n 为 4 解答:解：t=1，t1,

26、2）,又t2=2，t22，3），t,），又 t22，3）,t44，9），t4=4,正整数 n 的最大值 4 故选：B 点评：本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题 二、填空题：本大题共 4 小题,考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清,模棱两可均不得分 11（5 分）（2015湖北）已知向量,|=3,则=9 第11页（共25页）考点：平面向量数量积的运算 专题:平面向量及应用 分析：由已知结合平面向量是数量积运算求得答案 解答:解：由,得=0，即（）=0，|=3，故答案为:9 点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量

27、模的求法，是基础的计算题 12（5 分）(2015湖北）函数 f（x）=4cos2cos（x）2sinxln（x+1）的零点个数为 2 考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用 分析：利用二倍角公式化简函数的解析式,求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可 解答：解:函数 f（x）的定义域为：xx1 f(x)=4cos2cos(x）2sinxln（x+1）|=2sinxln(x+1）=sin2x|ln（x+1），分别画出函数 y=sin2x，y=ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为 2 所以函数的零点有 2 个 故答案为：2 点评：本题考查三角函数的化简

28、，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用 13（5 分）（2015湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD=100 m 第12页（共25页）考点：解三角形的实际应用 专题：计算题；解三角形 分析：设此山高 h(m）,在BCD 中，利用仰角的正切表示出 BC，进而在ABC 中利用正弦定理求得 h 解答：解：设此山高 h（m)，则 BC=h，在ABC 中，BAC=30，CBA=105，BCA=45，AB=600 根据正弦

29、定理得=,解得 h=100(m）故答案为：100 点评:本题主要考查了解三角形的实际应用关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解 14(5 分）（2015湖北）如图,圆 C 与 x 轴相切于点 T(1，0），与 y 轴正半轴交于两点 A,B（B在 A 的上方），且AB|=2（1）圆 C 的标准方程为（x1）2+（y）2=2;（2）过点 A 任作一条直线与圆 O：x2+y2=1 相交于 M，N 两点，下列三个结论：=；=2；+=2 其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）考点：命题的真假判断与应用；圆与圆的

30、位置关系及其判定 专题:创新题型；简易逻辑 分析:（1）取 AB 的中点 E，通过圆 C 与 x 轴相切于点 T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；（2）设 M（cos,sin)，N（cos,sin），计算出、的值即可 解答:解：（1）圆 C 与 x 轴相切于点 T（1，0），第13页（共25页）圆心的横坐标 x=1,取 AB 的中点 E，AB|=2，|BE|=1，则BC|=，即圆的半径 r=|BC|=,圆心 C（1，）,则圆的标准方程为（x1）2+（y）2=2，故答案为：（x1)2+（y）2=2（2）圆心 C（1，），E（0，），又|AB|=2，且 E 为 AB 中点，A（0，1

31、）,B(0，+1），M、N 在圆 O:x2+y2=1 上，可设 M（cos，sin），N（cos，sin），|NA=，NB=，=，同理可得=,=，成立，=()=2，正确+=+（）=，正确 故答案为：第14页（共25页）点评：本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键,注意解题方法的积累，属于难题 选修 41:几何证明选讲 15(5 分）（2015湖北）如图,PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线,且 BC=3PB，则=考点：与圆有关的比例线段 专题：推理和证明 分析：利用切割线定理推出 PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可 解答：解：由切割线定理可知

32、:PA2=PBPC，又 BC=3PB，可得 PA=2PB，在PAB 与PAC 中，P=P，PAB=PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得PABPAC,=故答案为：点评：本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力 选修 44：坐标系与参数方程 第15页（共25页）16(2015湖北)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的极坐标方程为（sin3cos）=0，曲线 C 的参数方程为（t 为参数），l 与 C 相交于 A，B 两点，则|AB|=考点：简单曲线的极坐标方程；双曲线的参数方程 专题：坐标系和参数方程 分析:化极坐标

33、方程化直角坐标方程,参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标,由两点间的距离公式得答案 解答：解:由（sin3cos）=0,得 y3x=0,由 C 的参数方程为（t 为参数)，两式平方作差得:x2y2=4 联立，得，即 A（），B（），|AB=故答案为：点评：本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题 三、解答题：本大题共 6 小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(11 分）(2015湖北)某同学用“五点法”画函数 f（x）=Asin(x+）（0,|）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数

34、据，如表:x+0 2 x Asin（x+)0 5 5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数 f（x）的解析式；(2)将 y=f（x）图象上所有点向左平行移动（0）个单位长度，得到 y=g（x）的图象若y=g（x)图象的一个对称中心为（，0），求 的最小值 考点：由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数 y=Asin（x+)的图象变换 专题：三角函数的图像与性质 分析：（1)根据表中已知数据，解得 A=5，=2，=从而可补全数据，解得函数表达式为 f（x)=5sin（2x）第16页（共25页）(2）由（）及函数 y=Asin（x+）的图象变换规律得 g（x）=

35、5sin（2x+2)令 2x+2=k，解得 x=，kZ令=，解得=,kZ由0 可得解 解答：解:（1）根据表中已知数据，解得 A=5，=2，=数据补全如下表：x+0 2 x Asin（x+）0 5 0 5 0 且函数表达式为 f（x）=5sin（2x）（2)由(）知 f（x）=5sin（2x）,得 g（x）=5sin（2x+2）因为 y=sinx 的对称中心为（k，0）,kZ 令 2x+2=k，解得 x=，kZ 由于函数 y=g(x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得=，kZ由 0 可知，当 K=1 时,取得最小值 点评：本题主要考查了由 y=Asin(x+）的部分图象确定其解析式，函

36、数 y=Asin（x+）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查 18（12 分）（2015湖北)设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn,等比数列bn的公比为q,已知 b1=a1,b2=2,q=d，S10=100(1）求数列an,bn的通项公式(2）当 d1 时,记 cn=，求数列cn的前 n 项和 Tn 考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列 分析：（1)利用前 10 项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当 d1 时，由（1)知 cn=，写出 Tn、Tn的表达式,利用错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可 解答：解：（1）设 a1=a，由题意可得，解得，或,第1

37、7页（共25页）当时,an=2n1，bn=2n1;当时，an=（2n+79)，bn=9;（2）当 d1 时，由(1）知 an=2n1，bn=2n1，cn=,Tn=1+3+5+7+9+（2n1），Tn=1+3+5+7+（2n3)+（2n1），Tn=2+（2n1）=3，Tn=6 点评：本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累,属于中档题 19（12 分）（2015湖北）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 如图,在阳马 PABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，且 PD=CD，过棱 PC

38、的中点 E，作 EFPB 交 PB 于点 F，连接 DE，DF，BD，BE（1)证明:PB平面 DEF 试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论)；若不是，说明理由;（2）若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为，求的值 考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用 分析：解法 1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出 PBEF，DEFE=E，所以 PB平面 DEF，即可判断 DE平面 PBC，PB平面 DEF，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形,确定直角 第18页（共25页）（2

39、）根据公理 2 得出 DG 是平面 DEF 与平面 ACBD 的交线利用直线平面的垂直判断出DGDF，DGDB，根据平面角的定义得出BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可 解法 2）（1)以 D 为原点,射线 DA，DC,DP 分别为 x,y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可 2）由 PD底面 ABCD，所以=（0，0,1）是平面 ACDB 的一个法向量；由（）知,PB平面 DEF，所以=（，1，1）是平面 DEF 的一个法向量根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案 解答:解法 1）（1）因为 PD底面 ABCD，所

40、以 PDBC，由底面 ABCD 为长方形，有 BCCD，而 PDCD=D，所以 BC平面 ABCD而 DE平面 PDC,所以 BCDE 又因为 PD=CD，点 E 是 PC 的中点，所以 DEPC 而 PCCB=C，所以 DE平面 PBC而 PB平面 PBC，所以 PBDE 又 PBEF，DEFE=E，所以 PB平面 DEF 由 DE平面 PBC,PB平面 DEF，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB（2）如图 1,在面 BPC 内，延长 BC 与 FE 交于点 G，则 DG 是平面 DEF 与平面 A

41、CBD 的交线 由（）知，PB平面 DEF，所以 PBDG 又因为 PD底面 ABCD，所以 PDDG而 PDPB=P,所以 DG平面 PBD 所以 DGDF，DGDB 故BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角,设 PD=DC=1，BC=，有 BD=，在 RtPDB 中，由 DFPB，得DGF=FDB=，则 tan=tanDPF=，解得 所以=第19页（共25页）故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为时，=(解法 2）（1)以 D 为原点，射线 DA，DC，DP 分别为 x，y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系设PD=DC=1，BC=，则 D（0，0,0），P（

42、0，0，1)，B（,1，0），C（0,1，0)，=（1，1）,点 E 是 PC 的中点,所以 E（0,，），=(0，),于是=0,即 PBDE 又已知 EFPB，而 EDEF=E，所以 PB平面 DEF 因=（0，1，1），=0，则 DEPC，所以 DE平面 PBC 由 DE平面 PBC，PB平面 DEF,可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB,DEF，EFB，DFB（2）由 PD底面 ABCD，所以=(0，0,1)是平面 ACDB 的一个法向量；由（）知，PB平面 DEF,所以=（，1，1）是平面 DEF 的一个法向量 若面

43、DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为,则运用向量的数量积求解得出 cos=，解得所以所以=故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为时,=点评：本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题 20(12 分）（2015湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A，B 两种奶制品生产 1 吨 A产品需鲜牛奶 2 吨,使用设备 1 小时,获利 1000 元;生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍，设备每天生产 A,B 两种产品时间之和不超过

44、 12 小时假定每天可获取的鲜牛奶数量 W（单位：吨）是一个随机变量,其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0。5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大,因此每天的最大获利 Z（单位:元）是一个随机变量（1）求 Z 的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率 考点:简单线性规划的应用;离散型随机变量的期望与方差 第20页（共25页）专题：不等式的解法及应用；概率与统计 分析:（1）设每天 A，B 两种产品的生产数量分别为 x，y，相应的获利为 z,列出可行域，目标函数，通过当 W=12 时

45、，当 W=15 时,当 W=18 时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到 Z 的分布列求出期望即可（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可 解答：（12 分）解:(1）设每天 A，B 两种产品的生产数量分别为 x，y,相应的获利为 z，则有,如图 1，目标函数为：z=1000 x+1200y 当 W=12 时,表示的平面区域如图 1，三个顶点分别为 A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）将 z=1000 x+1200y 变形为，当 x=2。4，y=4.8 时,直线 l：在 y 轴上的截距最大,最大获利 Z=Zmax=2。41000+4.81200=8160 当 W=15

46、时，表示的平面区域如图 2,三个顶点分别为 A（0，0），B（3，6），C（7。5，0)将 z=1000 x+1200y 变形为，当 x=3，y=6 时，直线 l：在 y 轴上的截距最大，最大获利 Z=Zmax=31000+61200=10200 当 W=18 时，表示的平面区域如图 3，四个顶点分别为 A（0，0），B（3，6）,C（6,4）,D（9,0)第21页（共25页）将 z=1000 x+1200y 变形为：，当 x=6，y=4 时，直线 l：y=56x+z1200 在 y 轴上的截距最大，最大获利Z=Zmax=61000+41200=10800 故最大获利 Z 的分布列为：Z 81

47、60 10200 10800 P 0。3 0.5 0。2 因此，E(Z)=81600。3+102000.5+108000.2=9708(2）由（）知,一天最大获利超过 10000 元的概率 P1=P（Z10000)=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3 天中至少有 1 天最大获利超过 10000 元的概率为:点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力 21（14 分）（2015湖北）一种画椭圆的工具如图 1 所示O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓

48、子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且DN=ON=1，MN=3,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为 C,以 O 为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系(1）求椭圆 C 的方程；第22页（共25页）（2）设动直线 l 与两定直线 l1:x2y=0 和 l2：x+2y=0 分别交于 P，Q 两点若直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点,试探究:OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值;若不存在，说明理由 考点：直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程 专题：创新题型；开放型;圆锥曲线中的最值与范围问题 分析

49、:（1）根据条件求出 a，b 即可求椭圆 C 的方程；（2)联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可 解答：解：（1)OMMN+|NO=3+1=4,当 M,N 在 x 轴上时,等号成立，同理OM|MN|NO=31=2，当 D，O 重合，即 MNx 轴时，等号成立 椭圆 C 的中心为原点 O,长半轴长为 4,短半轴长为 2，其方程为 (2）当直线 l 的斜率 k 不存在时，直线 l 为：x=4 或 x=4，都有 SOPQ=，直线 l 的斜率 k 存在时，直线 l 为:y=kx+m,（k），由消去 y，可得（1+4k2)x2+8kmx+4m216=0，直线 l

50、 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，=64k2m24（1+4k2)（4m216）=0，即 m2=16k2+4，,由，可得 P（，),同理得 Q（，），原点 O 到直线 PQ 的距离 d=和PQ=|xPxQ，第23页（共25页）可得 SOPQ=|PQ|d=m|xPxQ|=m|=，将代入得 SOPQ=|=8|，当 k2 时，SOPQ=8（)=8（1+）8，当 0k2 时，SOPQ=8|=8（）=8（1+),0k2 时，014k21，2，SOPQ=8（1+）8，当且仅当 k=0 时取等号，当 k=0 时，SOPQ的最小值为 8,综上可知当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时，三角形 OPQ 的面