学苏教版高考数学理单元检测三：导数及其应用.pdf

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1、学苏教版高考数学理单元检测三：导数及其应用 高三单元转动检测卷数学 考生注意：1本试卷分第卷(填空题)和第卷(解答题)两部分，共 4 页 2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应 地址上 3本次考试时间 120 分钟，满分 160 分 4请在密封线内作答，保持试卷干净完满 单元检测三导数及其应用 第卷 一、填空题(本大题共 14 小题，每题 5 分，共 70 分请把答案填在题中横线上)1(2015 赣州联考)函数 f(x)3lnxx23x3 在点(3，f(3)处的切线斜率是_ 2设 f(x)xlnx，若 f(x0)2，则 x0 的值为_ 3(2015 黑

2、龙江双鸭山一中期中)若函数 yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为 y3x2，则函数 g(x)x2f(x)的图象在点(1，g(1)处的切线方程为_ 4函数 f(x)x33x1，若关于区间3,2上的任意 x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数 t 的最小值是_ 5曲线 yx3在点(1,1)处的切线与 x 轴及直线 x1 所围成的三角形的面积为_ 6(2015 辽宁丹东五校协作体期末)若曲线 y 1x2与曲线 yalnx 在它们的公共点 P(s，t)2e 处拥有公共切线，则实数 a_.7已知函数 f(x)的定义域为(4a3,32a2)，aR，且 yf(2x3)是偶函数又 g(

3、x)x3ax2 x1，存在x0k，k 1，kZ，使得 g(x0)x0，则满足条件的实数 k 的个数为_ 2 4 2 8(2015淄博一模)曲线f(x)exx2x1 上的点到直线 2xy3 的距离的最小值为 _ 9若函数 f(x)loga(x3ax)(a0 且 a1)在区间1，0 内单调递加，则 a 的取值范围是 2 _ 10(2015广东阳东一中摸底)曲线 C：f(x)sinxex2 在 x0 处的切线方程为_ 11已知函数 f(x)的导数 f(x)a(x1)(xa)，若 f(x)在 xa 处获取极大值，则a 的取值范 1 学苏教版高考数学理单元检测三：导数及其应用 围是_ x x 的导函数

4、yf(x)是奇函数，若曲线 y 12(2015 百色模拟)已知 a，函数 f(x)eae 3 f(x)的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为_ 13(2015 豫东、豫北十所名校联考)若 0 x1，a sinx，bsinx，csin x，则a，b，x x x c 的大小关系为_ 14已知函数 yf(x)是上的偶函数，且当 x0 时，f(x)2x2x1，又 a 是函数 g(x)ln(x 2 1)2x的零点，则 f(2)，f(a)，f(1.5)的大小关系是_ 第卷 二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(14 分)(2015 河北保定第一中学模拟

5、)已知函数 f(x)ax3x2f(1)1，且 f(1)9.(1)求曲线 f(x)在 x1 处的切线方程；(2)若存在 x(1，)使得函数 f(x)0)(1)若 x1 是函数 f(x)的极大值点，求函数 f(x)的单调递减区间；1 2 axb 恒成立，求实数 ab 的最大值 (2)若 f(x)x 2 19.(16 分)(2015 内蒙古巴彦淖尔第一中学期中)已知 f(x)1lnx.x (1)求函数 yf(x)的单调区间；(2)若关于 x 的方程 f(x)x22xk 有实数解，求实数 k 的取值范围；(3)当 n*时，求证：nf(n)21 1 1.2 3 n1 2 学苏教版高考数学理单元检测三：导

6、数及其应用 20(16 分)(2015 四川)已知函数 2 2 f(x)2(xa)lnxx2ax2a a，其中 a0.(1)设 g(x)是 f(x)的导函数，谈论 g(x)的单调性；(2)证明：存在 a(0,1)，使得 f(x)0 在区间(1，)内恒成立，且 f(x)0 在区间(1，)内有唯一解 3 学苏教版高考数学理单元检测三：导数及其应用 答案剖析 12 3 剖析 由 f(x)3lnxx2 3x3 得，32x3，f(3)23.f(x)x 2e 剖析 由 f(x)xlnx 得 f(x)lnx1.依照题意知lnx012，因此 lnx01，因此x0e.35xy30 剖析由函数 yf(x)的图象在

7、点(1，f(1)处的切线方程为y3x2，得 f(1)3，f(1)1.又函数 g(x)x2f(x)，g(x)2xf(x)，则 g(1)21f(1)235.g(1)12f(1)112.函数 g(x)x2f(x)的图象在点(1，g(1)处的切线方程为y25(x1)即 5xy30.420 剖析由于f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1，可知f(x)在 x1处取 得极值 又 f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1，因此在区间3,2上f(x)max1，学苏教版高考数学理单元检测三：导数及其应用 f(x)min19.由题设知在区间3,2上f(x)maxf(x)mint，从而 t2

8、0，因此 t 的最小值是 20.1 5.6 剖析求导得 y3x2，因此曲线在(1,1)处的切线斜率 k3，因此曲线 yx3在点(1,1)处的切线方程为 y13(x1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，2 三个交点的坐标分别是(，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为 1(12)1 1.2 3 6 61 剖析由y1x2，得yx.2e e 4 学苏教版高考数学理单元检测三：导数及其应用 a 1 由 yalnx，得 yx.它们在点P 处有公共切线，xeax，解得 xea，a 代入两曲线得2eea 2(lna1)，lna11，解得 a1.73 剖析 由于函数 2 2，解得3a1.又函

9、数 y f(x)的定义域为(4a3,32a)，因此 4a332a f(2x3)是偶函数，因此 4a32x332a2?2ax0，2 2 6 6 6 当x2 10时，h(x)获取极小值，且 h 2100，因此函数h(x)有三个零点又h(1)0，h(0)0，h10，h(1)0，因此 k1,0,1，即满足条件的实数 k 有 3 个 2 2 2 8.5 剖析 f(x)ex2x1，设与直线 2xy3 平行且与曲线 f(x)相切于点 P(s，t)的直线方程 为 2xym0，则 es2s12，解得 s0.切点为 P(0,2)曲线 f(x)exx2x1 上的点到直线 2xy3 的距离的最小值为点P 到直线 2x

10、y3 的|023|距离 d，且 d5.3 9.4，1 剖析 由题意知，x3ax0 在 x1，0 上恒成立，即ax2在 x 1，0 上恒成立，a1.2 2 4 设 g(x)x3ax，当1a1 时，g(x)在1，0 上单调递减，即 g(x)3x2a0 在1，0 4 2 2 上恒成立，3 1 2 a0，解得 3 a1 1，0 上单调递加，即 g(x)2 4 时，g(x)在 2 3x2a0 在1，0 上恒成立，这与 a1 矛盾综上可知，实数 a 的取值范围是 3，1.2 4 102xy30 剖析由于 f(x)cosx ex，因此 f(0)2，因此曲线在 x0 处的切线方程为 y32(x0)，即 2xy

11、30.5 学苏教版高考数学理单元检测三：导数及其应用 11(1,0)剖析当 a0 时，则 f(x)0，函数 f(x)不存在极值 当 a0 时，令 f(x)0，则 x11，x2a.若 a1，则 f(x)(x1)20，函数 f(x)不存在极值；若 a0，当 x(1，a)时，f(x)0，因此函数 f(x)在 xa 处获取极小值，不吻合题意；若1a0，当 x(a，)时，f(x)0，因此函数 f(x)在 x 处获取极大值；若 a1，当 x(，a)时，f(x)0，所 以函数 f(x)在 xa 处获取极小值，不吻合题意因此 a(1,0)12ln2 xa 剖析由题意可得，f(x)ex是奇函数，f(0)1a0，

12、x 1 x 1 a1，f(x)ex，f(x)e x，e e 3 曲线 yf(x)在(x，y)的一条切线的斜率是，3x1 ex，2e 解方程可得ex2，xln2.13abc 剖析 易知当 0 x1 时，0sinxx，则 0sinx sin x sin x sinx，则 f(x)x1，x x.设 f(x)x xcosxsinx 2，设 h(x)xcosx sinx，则 h(x)xsinx当 x(0,1)时，h(x)0，h(x)x 在(0,1)上单调递减，当 x(0,1)时，h(x)h(0)0，f(x)0 在(0,1)上恒成立，f(x)在(0,1)上单调递减，又0 x1，0 x x x.综上：sin

13、x sinxsin x，即 abc.x x x 14f(1.5)f(a)f(2)剖析 5 4 由于 g(1.5)ln 0，2 3 23 因此 g(x)ln(x1)在(，2)内有零点，1 2 2 又由 g(x)x1 x20 知 g(x)ln(x1)x在(1,0)，(0，)上单调递加，因此函数 g(x)ln(x1)2在区间(3，2)内有唯一的零点，即为 a，则 a(3，2)，x 2 2 因此 2a1.51，当 x1 时，6 学苏教版高考数学理单元检测三：导数及其应用 f(x)2xln21 x 2 xln2 1，x x 由于 x2xln212ln21ln410，因此 f(x)0，f(x)在(1，)内

14、单调递加，因此 f(2)f(a)f(1.5)，又 f(x)是偶函数，因此 f(1.5)f(a)f(2)15解 3 2 1，(1)f(x)axxf(1)f(x)3ax22xf(1)，f13a2f1，f13a2f19.a1，f13.f(x)x33x21，f(1)1.故曲线 f(x)在 x1 处的切线方程为 y3(x1)13x2，即 3xy20.2(2)f(x)3x6x3x(x2)，当 1x2 时，f(x)2 时，f(x)0.则函数 f(x)在区间(1,2)上单调递减，在区间(2，)上单调递加，f(x)f(2)3.则由题意可知，m3，即所求实数m 的取值范围为(3，)2 4 由于 f(x)在 x处获

15、取极值，因此 f4 0，3 即 16 4 16a 8 1.3a2 3 3 0，解得 a 9 3 2 13 2 x (2)由(1)得 g(x)2xx e，故 g(x)32x22xex12x3x2ex 1x35x22xex22 1 x(x1)(x4)ex.2 令 g(x)0，解得 x0，x1 或 x4.7 学苏教版高考数学理单元检测三：导数及其应用 当 x4 时，g(x)0，故 g(x)为减函数；当4x1 时，g(x)0，故 g(x)为增函数；当1x0 时，g(x)0，故 g(x)为减函数；当 x0 时，g(x)0，故 g(x)为增函数 综上知，g(x)在(，4)和(1,0)内为减函数，在(4，1

16、)和(0，)内为增函数 x2a 17解(1)f(x)(x0)，x 当 a0 时，f(x)0，增区间为(0，)，当 a0 时，f(x)0?xa，f(x)0?0 x0)，设 h(x)x22xa(x0)，若 g(x)在1，e上不只一，则h(1)h(e)0，2(3a)(e 2ea)0，3ag(1)2 即可得出：ae2e5，22 2 则 a 的范围：(3，e2e 5)2 2 18解(1)求导数可得，f(x)xax1，x x1 是函数 f(x)的极大值点，0a0)，则 h(x)x(12lnx)，8 学苏教版高考数学理单元检测三：导数及其应用 1 h(x)在(0，e2)上单调递加，1 在(e2，)上单调递减

17、，1 h(x)maxh(e2)e，2 e e ab2，即 ab 的最大值为2.19(1)解 f(x)1lnx，x 1 f(x)xx1lnx lnx x2 x2.当 x(0,1)时，f(x)0；当 x(1，)时，f(x)1(n n 1 1 1 f(1)f(1)1，1ln(1)1，n n n 即 ln(n1)lnn1，n lnnln2ln1ln3ln2lnnln(n1)1 1 1，12 3 n1 即 1lnn2111.23n1 nf(n)1lnn，nf(n)21 11 2 3 n1.20(1)解由已知，函数 f(x)的定义域为(0，)，a g(x)f(x)2(xa)2lnx21x，9 学苏教版高考

18、数学理单元检测三：导数及其应用 2 x 1 2 2 a 1 2 2a 2 4 2 因此 g(x)2 2 ，x x x 当 0a1时，g(x)在区间 0，114a，1 14a，上单调递加，4 2 2 在区间114a，114a上单调递减；22 当 a14时，g(x)在区间(0，)上单调递加 (2)证明 由 f(x)2(xa)2lnx2 1 a 0，x x1lnx 解得 a1，1x 令(x)2 x x1lnx lnxx2 1 1x 2 x1lnx x 2 x1lnx2 x1lnx，1 1 1 1x 1x 1x 则(1)10，(e)ee 2 e2 2 12 1 0，1e 1e 故存在 x0(1，e)，

19、使得(x0)0，令 a0 x01lnx0 1 ，u(x)x1lnx(x1)，1x0 由 u(x)110 知，函数 u(x)在区间(1，)上单调递加，x 因此 0 u1 ux0 ue e2 1a0 1 11，11 1x0 1e 1e 即 a0(0,1)，当 aa0时，有 f(x0)0，f(x0)(x0)0，由(1)知，f(x)在区间(1，)上单调递加 故当 x(1，x0)时，f(x)0，从而 f(x)f(x0)0；当 x(x0，)时，f(x)0，从而 f(x)f(x0)0，因此，当 x(1，)时，f(x)0.综上所述，存在 a(0,1)，使得 f(x)0 在区间(1，)内恒成立，且 f(x)0 在区间(1，)内有唯一解 10