二次函数求最值方法总结.pdf

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1、 XX教育辅导教案 学生姓名 性别 年级 学科 数学 授课教师 上课时间 年月日 第（）次课 课时：课时 共（）次课 教学课题 二次函数求最大值和最小值 教学目标 利用二次函数的图像和性质特点，求函数的最大值和最小值 教学重点 含有参数的二次函数最值求解。与难点 课堂引入：1)由二次函数应用题最值求解问题引申至一般二次函数求最值问题，阐述二次函数求最值问题方法的重要性（初高中衔接、高中必修一重点学习内容）。2)当 2 x 2 时，求函数 y x2 2x 3的最大值和最小值 （引导学生用初中所学的二次函数知识求解，为下面引出二次函数求最值方法总结做铺垫）二次函数求最值方法总结：一、设 y ax2

2、 bx c(a 0)，当 m x n 时，求 y 的最大值与最小值。1、当 a 0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得 y 的最值：1)当 m b n 时，x b 时，y 取最小值：ymin 4ac b2；y 的最大值在 x m 或 x n 处 2a 2a 4a 取到。2)若 b m，二次函数在 m x n 时的函数图像是递增的，则 x m 时，y 取最小值；则 x n 2a 时，y 取最大值。若 b n，二次函数在 m x n 时的函数图像是递减的，则 x n 时，y 取最小值；则 x m 2a 时，y 取最大值。2、当 a 0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得 y

3、 的最值：1)当 m b n 时，x b 时，y 取最大值：ymax 4ac b2；y 的最小值在 x m 或 x n 处 2a 2a 4a 取到。2)若 b x n 时的函数图像是单调递减的，则 x n 时，y 取最小值；则 m，二次函数在 m 2a x m 时，y 取最大值。若 b n，二次函数在 m x n 时的函数图像是单调递增的，则 x m 时，y 取最小值；则 2a x n 时，y 取最大值。二、二次函数最值问题常见四种考察题型：1)对称轴定、x 取值范围定；2)对称轴定、x 取值范围动；3)对称轴动、x 取值范围定；4)对称轴动、x 取值范围动。【例题解析】例 1当 2 x 4

4、时，求函数 y x 2 2 x 1 的最大值和最小值 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值 解：作出函数的图象当 x 2 时，ymin 1，当 x 4 时，ymax 9 【变式训练】变式 1、当1 x 2 时，求函数 y x2 x 1 的最大值和最小值 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值 解：作出函数的图象当 x 1时，ymax 1，当 x 2 时，ymin 5 【例题解析】例 2、当 t x t

5、1 时，求函数 y 1 x2 x 5 的最小值(其中 t 为常数)2 2 分析：由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置 解：函数 y 1 x2 x 5 的对称轴为 x 1画出其草图 2 2 (1)当对称轴在所给范围左侧即 t 1时：当 x t 时，ymin 1 t 2 t 5；2 2(2)当对称轴在所给范围之间即 t 1 t 1 0 t 1时：当 x 1时，ymin 1 12 1 5 3；2 2 (3)当对称轴在所给范围右侧即 t 1 1 t 0 时：当 x t 1 时，ymin 1(t 1)2(t 1)5 1 t 2 3 2 2 2 1 t 2 3,t 0 2 综上所述：y 3,0 t 1 1 t 2 t 5,t 1 2 2 【变式训练】变式 2、当 t x t 1时，求函数 y 1 x2 x 5 的最小值(其中 t 为常数)2 2 方法总结：1、图像法求二次函数最值；2、利用分类讨论思想和二次函数图像特点求解二次函数最值。（对称轴、x 取值范围、函数图像增减性）作业：1、当 1 x 3 时，求函数 y x 2 4 x 3 的最大值和最小值 2、当 t x t 2 时，求函数 y x2 x 1 的最大值(其中 t 为常数)