中考数学汇编专题五二次函数综合压轴题.pdf

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1、1 21 29 专题五 二次函数综合压轴题(不含解析类)1.2021 江苏南通，第 27 题,12 分，正方形 ABCD，A(0，4)，B(1，4)，C(1，5)，D(0，5)，抛物线 yx2mx 2m4(m 为常数)，顶点为 M 1抛物线经过定点坐标是 ，顶点 M 的坐标用 m 的代数式表示是 ；2 假设抛物线 yx2mx2m4(m 为常数)与正方形 ABCD 的边有交点，求 m 的取值范围；3假设ABM45时，求 m 的值【解析】1(2，0)，(m 2 1，1 m2 2m 4)；4 2 2 m 1；3 m 5 或 5 2.2021 江苏泰州，第 26 题,14 分 k 平面直角坐标系 xO

2、y 中，横坐标为 a 的点 A 在反比例函数 y1 (x0)的图象，点 A与点 x A 关于点 O 对称，一次函数 y2 mx n 的图象经过点 A 1设 a2，点 B(4，2)在函数 y1，y2 的图像上分别求函数 y1，y2 的表达式；直 接写出使 y1 y2 0 成立的 x 的范围；2如图，设函数 y1，y2 的图像相交于点 B，点 B 的横坐标为 3a，AAB 的面积为 16，求 k 的值；1 3设 m，如图，过点 A 作 ADx 轴，与函数 y 2 2 的图像相交于点 D，以 AD 为一 边向右侧作正方形 ADEF，试说明函数 y2 的图像与线段 EF 的交点 P 一定在函数 y1

3、的图像 上 2 5 【解析】8 1 y1 ，y2 x 2，0 x4；x 2k 的值为 6；3设 A(a，k)，那么 A(a，k)，代入 y 得 n a k，a 1 a k a 2 2 a y2 x+，2 2 a D(a，a k)a 2k AD a a，2k 2k a 2k a xP a a a a ，代入 y2 得 yP 2，即 P(a ，2 )k a 将点 P 横坐标代入 y1 得纵坐标为，可见点 P 一定在函数 y1 的图像上 x 2 3.2021 江苏无锡，第 28 题,；如图，一次函数 y kx 1的图象经过点 A 3，m m0,与 y 轴交于点 B，点 C，在线段 AB 上，且 BC

4、=2AC，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为点 D，假设 AC=CD，1求这个一次函数的表达式；2一开口向下，以直线 CD 为对称轴的抛物线经过点 A，它的顶点为 P，假设过点 P 且垂直于 AP 的直线与 x 轴 的交点为 Q 4 5，0求这条抛物线的函数表达式。5 3 3 5 5 5 5 k 2 1 5 5 5 4 5 5 【解答】作 BECD，AFBE，AMCD 易证BECBFA BC BE BA BF BC=2AC，A 2 BE 2 3，m BE=2 C2，2 k-1 又 y kx 1 易得 AC=AC=CD，=2 k-1 所以得到 k=5 3设 y a(x 2)2 h A 3，5 h

5、h-5=2 h=7 5 y a(x 2)2 7 y A C x O D B 5 5 5 k 2 1 2 5 5 5 4 5 2 5a+7=5 a=即 y 5 2(x 2 5)2 7 4.2021 江苏徐州 ，第 27 题,二次函数的图象以 A1，4为顶点，且过点 B2，5 求该函数的关系式；求该函数图象与坐标轴的交点坐标；将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B 两点随图象移至 A、B，求O AB的面积.解析 解：1 y x2 2x 3 2 0,3，3,0，1,0 y 3略 5.2021 江西，第 23 题 小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验(1)抛物线 经过点

6、(-1,0),那么 =，(2)顶点坐标为 ，该抛物线关于点(0,1成中心对称的抛物线的表达式是 .抽象感悟 x 备用图 我们定义：对于抛物线 ,以 轴上的点 为中心，作该抛物线关-1 O 1 O y O x 于点 对称的抛物线 ,那么我们又称抛物线 为抛物线 的“衍生抛物线，点 为“衍生 中心.(2)抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ，假设这两条抛物线有交点，求 的取值范围.问题解决(3)抛物线 假设抛物线 的衍生抛物线为 ,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 ，的值及衍生中心的坐标；假设抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ,其顶点为 ；关于点 的衍生抛 物线为 ，其顶点为 ；关于点 的衍生

7、抛物线为 ，其顶点为 ；(为 正整数).求 的长(用含 的式子表示).【解析】求解体验 y(1)把(-1,0)代入 得 抽象感悟 顶点坐标是(-2,1)(-2,1)关于(0,1)的对称点是(2,1)成中心对称的抛物线表达式是：x 即(如右图)(2)顶点是-1,6 (-1,6)关于 的对称点是 两抛物线有交点 有解 有解 (如右图)问题解决(3)=y 顶点-1，代入 得：顶点1，x 5 9 6 3 O 6 代入 得：由 得 ,两顶点坐标分别是-1,0，1,12 由中点坐标公式得“衍生中心的坐标是0,6 如图，设 ,与 轴分别相于 ,.那么 与 ,与 ,与 ，与 分别关于 ,中心 对称.线，,分别

8、是 ,的中位 ，,x y An+1 O Bn+1 An A Bk Bn B1 Ak A1 7 6.2021 辽宁大连，第 24 题 如图 1，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90，得 到 AC，连接 BC，将ABC 沿射线 BA 平移，当点 C 到达 x 轴时运动停止设平移为 m，平移后的图形在 x 轴下方局部的面积为 SS 关于 m 的函数图象如图 2 所示其中 0ma，amb 时，函数的解析式不同 1填空：ABC 的面积为 ；2求直线 AB 的解析式；3求 S 关于 m 的解析式，并写出 m 的取值范国 5 4 7.2021 山东滨州

9、，第 26 题，14 分 如图，在平面直角坐标系中，圆心为 Px，y的动圆经过点 A1，2且与 x 轴相切于 点 B 1当 x=2 时，求P 的半径；2求 y 关于 x 的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图中画出此函数的图象；3请类比圆的定义图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合，给2中 所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到 的距离等于到 的距离的所 有点的集合 4当P 的半径为 1 时，假设P 与以上2中所得函数图象相交于点 C、D，其中交点 Dm，n在点 C 的右侧，请利用图，求 cosAPD 的大小【解答】解：1由 x=2，得到 P2，y，连接 AP，PB，圆 P

10、 与 x 轴相切，PBx 轴，即 PB=y，由=y，解得：y=，那么圆 P 的半径为 ；8 那么 cosAPD=2 2同1，由 AP=PB，得到x12+y22=y2，整理得：y=x12+1，即图象为开口向上的抛物线，画出函数图象，如图所示；3给2中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点 A 的距离等于到 x 轴 的距离的所有点的集合；故答案为：点 A；x 轴；4连接 CD，连接 AP 并延长，交 x 轴于点 F，设 PE=a，那么有，D 坐标为1+，a+1，代入抛物线解析式得：a+1=1a2+1，解得：a=2+或 舍去，即，在 RtPED 2，PD=1，8.2021 山东济宁，第 21

11、 题，9 分 知识9 背景 10 a y 当 a0 且 x0 时，因为(x )20，所以 x2 a a+0，从而 x+2 x x 当 x=时取等号 a 设函数 y=x+x 应用举例(a0，x0)由上述结论可知：当 x=4 时，该函数有最小值为 2 4 函数为 y1=x(x0)与函数 y2=x 解决问题(x0)，那么当 x=2=2 时，y1+y2=x+x 有最小值为 2 y2=4 1函数为 y1=x+3(x3)与函数 y2=(x+3)+9(x3)，当 x 取何值时，1 最小值是多少？有最小值？2某设备租赁使用本钱包含以下三局部：一是设备的安装调试费用，共 490 元；二是 设备的租赁使用费用，每

12、天 200 元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为 0.001，假设设该设备的租赁使用天数为 x 天，那么当 x 取何值时，该设备平均每 天的租货使用本钱最低？最低是多少元？【解答】解：1=x+3+，当 x+3=有最小值，x=0 或6舍弃时，有最小值=6 2设该设备平均每天的租货使用本钱为 w 元那么 w=+0.001x+200，当=0.001x 时，w 有最小值，x=700 或700舍弃时，w 有最小值，最小值=201.4 元 9.2021 山东聊城，第 25 题 如图，抛物线 y ax2 bx 与 x 轴分别交于原点 O 和点 F(10,0)，与对称轴 l 交于点 E

13、(5,5).矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴正半轴上，且 AB 1，边 AD，BC 与抛物线分别交 于点 M，N.当矩形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，点 M，N 位于对称轴 l 的同侧时，连接 MN，a x a a a a 4 4 10 此时，四边形 ABNM 的面积记为 S；点 M，N 位于对称轴 l 的两侧时，连接 EM，EN，此时五边形 ABNEM 的面积记为 S.将点 A 与点 O 重合的位置作为矩形 ABCD 平移的起点，设矩形 ABCD 平移的长度为 t(0 t 5).1求出这条抛物线的表达式；2当 t 0 时，求 SOBN 的值；3当矩形 ABCD 沿着 x 轴的正方向

14、平移时，求 S 关于 t(0 t 5)的函数表达式，并求 出 t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？11 10.2021 山东淄博，第 24 题，9 分 如图，抛物线 y=ax2+bx 经过OAB 的三个顶点，其中点，点 ，O 为坐标原点 1求这条抛物线所对应的函数表达式；12 2假设 P4，m，Qt，n为该抛物线上的两点，且 nm，求 t 的取值范围；3假设 C 为线段 AB 上的一个动点，当点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大时，求BOC 的大小及点 C 的坐标 【解答】解：1把点 A1，点 B3，分别代入 y=ax2+bx 得 解得 y=2由1抛物线开口向下，对称轴为直线 x

15、=当 时，y 随 x 的增大而减小 当 t4 时，nm 3如图，设抛物线交 x 轴于点 F 分别过点 A、B 作 ADOC 于点 D，BEOC 于点 E 13 ACAD，BCBE AD+BEAC+BE=AB 当 OCAB 时，点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大 A1，点 B3，AOF=60，BOF=30 AOB=90 ABO=30 当 OCAB 时，BOC=60 点 C，11.2021 山西，第 23 题，9 分 综合与探究 如图，抛物线 y 1 x2 1 x 4 与 x 轴交于 A，B 两点点 A 在点 B 的左侧，与 y 轴交 3 3 于点 C，连接 AC，BC.点 P 是第四象

16、限内抛物线上的一个动点，点 P 的横坐标为 m，过 点 P 作 PM x 轴，垂足为点 M，PM 交 BC 于点 Q，过点 P 作 PE/AC 交 x 轴于点 E，交 BC 于点 F.1求 A，B，C 三点的坐标；2试探究在点 P 运动的过程中，是否存在这样的点 Q，使得以 A，C，Q 为顶点的三 角形是等腰三角形.假设存在，请直接写出此时点 Q 的坐标；假设不存在，请说明理由；3请用含 m 的代数式表示线段 QF 的长，并求出 m 为何值时 QF 有最大值.14 12.2021 云南，第 20 题，9 分 3 9 二次函数 y 16 x2bxc 的图象经过 A0，3、B4，2 两点 1求 b

17、、c 的值；3 2二次函致 y 16 x2bxc 的图象与 x 轴是否有公共点？假设有，求公共点的坐标；假设没有，请说明理由 15 12.2021 浙江杭州，第 22 题，12 分 设二次函数 y=ax2+bxa+b a，b 是常数，a0 1判断该二次函数图象与 x 轴的交点的个数，说明理由 2假设该二次函数图象经过 A1，4，B0，1，C1，1三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式 3假设 a+b0，点 P2，m m0在该二次函数图象上，求证：a0【解答】解：1 由题意=b24aa+b=b2+4ab+4a2=2a+b20 二次函数图象与 x 轴的交点的个数有两个或一个 2当 x=1 时，

18、y=a+ba+b=0 抛物线不经过点 C 把点 A1，4，B0，1分别代入得 抛物线解析式为 y=3x22x1 3当 x=2 时 m=4a+2ba+b=3a+b0 a+b0 ab0 解得 16 相加得：2a0 a0 13.2021 浙江嘉兴，第 23 题，12 分 1点 M 坐棕是(b,4b 1),把 x b 代入 y 4x 1,得 y 4b 1,点 M 在直线 y 4x 1上.2如图 1,直线 y mx 5 与 y 轴交于点内 B,点 B 坐杯为(0,5).又 B (0,5)在抛物线上,5 (0 b)2 4b 1,解得 b 2,二次函数的表达式为 y (x 2)2 9,当 y 0 时,得 x

19、1 5,x2 1.A(5,0)双察图象可得,当 mx 5 (x b)2 4b 1时,x 的取值范围为 x 0 或 x 5 3如图 2,直线 y 4x 1与直线 AB 交于点 E,与 y 轴交于点 F,而直线 AB 表达式为 y x 5,4 4x 1 解方程组 y x 5 y 5 得 y 21 点 E(4,5 21),F(0,1)5 5 点 M 在 AOB 内,0 b 4.5 当点 C,D 关于抛物线对称轴直线 x b 对称时,b 1 3 b,b 1 4 4 2 且二次函数图象的开口向下,顶点 M 在直线 y 4x 1上,17 综上:当一0 b 1 2 时.y1 y2 当 b 1 2 时，y1

20、y2;当 1 b 2 4 5 时，y1 y2 14.2021 浙江杭州，第 23 题，12 分 巳知,点 M 为二次函数 y (x b)2 4b 1图象的顶点,直线 y mx 5 分别交 x 轴,y 轴于点 A,B 1判断顶点 M 是否在直线 y 4x 1上,并说明理由.2如图 1.假设二次函数图象也经过点 A,B.且 mx 5 (x b)2 4b 1.根据图象,写出 x 的取值范围.3如图 2.点 A 坐标为(5,0),点 M 在 A0B 内,假设点 C(1,y),D(3,y)都在二次函数图象 4 1 4 2 上，试比拟 y1 与 y2 的大小.【解答】解：1点 M 为二次函数 y=xb2+

21、4b+1 图象的顶点，M 的坐标是b，4b+1，把 x=b 代入 y=4x+1，得 y=4b+1，点 M 在直线 y=4x+1 上；18 2如图 1，直线 y=mx+5 交 y 轴于点 B，B 点坐标为0，5又 B 在抛物线上，5=0b2+4b+1=5，解得 b=2，二次函数的解析是为 y=x22+9，当 y=0 时，x22+9=0，解得 x1=5，x2=1，A5，0 由图象，得 当 mx+5xb2+4b+1 时，x 的取值范围是 x0 或 x5；3如图 2，直线 y=4x+1 与直线 AB 交于点 E，与 y 轴交于 F，A5，0，B0，5得 直线 AB 的解析式为 y=x+5，联立 EF，

22、AB 得 方程组，解得，点，F0，1 点 M 在AOB 内，14b+1 0b 当点 C，D 关于抛物线的对称轴对称时，b=b，b=，19 且二次函数图象开口向下，顶点 M 在直线 y=4x+1 上，综上：当 时，y1y2，当 时，y1=y2，当b时，y1y2 15.2021 浙江宁波，第 22 题，10 分 抛物线 x2+bx+c 1求该抛物线的函数表达式；2将抛物线 x2+bx+c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平 移后的函数表达式 【解答】解：1把1，0，0，代入抛物线解析式得：，解得：，那么抛物线解析式为 x2x+；2抛物线解析式为 x2x+=x+12+2，将抛物线向

23、右平移一个单位，向下平移 2 个单位，解析式变为 x2 16.2021 浙江舟山，第 23 题，10 分，点 M 为二次函数 y=xb2+4b+1 图象的顶点，直线 y=mx+5 分别交 x 轴正半轴，y 轴于点 A，B 1判断顶点 M 是否在直线 y=4x+1 上，并说明理由 2如图 1，假设二次函数图象也经过点 A，B，且 mx+5xb2+4b+1，根据图象，写出 x 的取值范围 3如图 2，点 A 坐标为5，0，点 M 在AOB 内，假设点，y1，D，y2都 在二次函数图象上，试比拟 y1 与 y2 的大小 20 【解答】解：1点 M 为二次函数 y=xb2+4b+1 图象的顶点，M 的

24、坐标是b，4b+1，把 x=b 代入 y=4x+1，得 y=4b+1，点 M 在直线 y=4x+1 上；2如图 1，直线 y=mx+5 交 y 轴于点 B，B 点坐标为0，5又 B 在抛物线上，5=0b2+4b+1=5，解得 b=2，二次函数的解析是为 y=x22+9，当 y=0 时，x22+9=0，解得 x1=5，x2=1，A5，0 由图象，得 当 mx+5xb2+4b+1 时，x 的取值范围是 x0 或 x5；3如图 2，直线 y=4x+1 与直线 AB 交于点 E，与 y 轴交于 F，A5，0，B0，5得 直线 AB 的解析式为 y=x+5，联立 EF，AB 得 21 方程组，解得，点，F0，1 点 M 在AOB 内，14b+1 0b 当点 C，D=b，b=，且二次函数图象开口向下，顶点 M 在直线 y=4x+1 上，综上：当 时，y1y2，当 时，y1=y2，当 b 时，y1y2