北京市高一数学初赛试题及解答.pdf

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1、2021 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答 第1页 共 6 页 2021 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛 试题参考解答 2021 年 4 月 9 日 选 择 题 答 案 1 2 3 4 5 6 A A B D C D 填空题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 24 8 9.5 2 504(124 2)4 101 4 5 一、选择题 1集合A=2,0,1,7，B=x|x22A,x2A，那么集合 B 的所有元素之积为 A36 B54 C72 D108 答：A 解：由 x22A，可得 x2=4，2，3，9，即 x=2，2，3，3 又因为 x2A，所以 x2，x3，故 x=2，

2、2，3，3 因此，集合 B=2,2,2,3,3，3 所以，集合 B 的所有元素的乘积等于(2)(2)(2)(3)(3)(3)=36 2锐角ABC 的顶点 A 到它的垂心与外心的距离相等，那么 tan(2BAC)=A33 B22 C1 D3 2021 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答 第2页 共 6 页 答：A 解：作锐角ABC 的外接圆，这个圆的圆心 O 在形内，高 AD，CE 相交于点 H，锐角ABC 的垂心 H 也在形内 连接 BO 交O 于 K，BK 为O的直径.连接 AK，CK 因为 AD，CE 是ABC 的高，KAB，KCB 是直径BK上的圆周角，所以KAB=KCB=

3、90 于是KA/CE，KC/AD，因此 AKCH 是平行四边形 所以 KC=AH=AO=12BK 在直角KCB 中，由 KC=12BK，得BKC=60，所以BAC=BKC=60 故 tan(2BAC)=tan30=33 3 将正奇数的集合1,3,5,7,从小到大按第 n 组 2n1 个数进行分组：1，3,5,7，9,11,13,15,17，数 2021 位于第 k 组中，那么 k 为 A31 B32 C33 D34 答：B.解：数 2021 是数列 an=2n 1 的第 1009 项设 2021 位于第 k 组，那么 1+3+5+(2k1)1009，且 1+3+5+(2k3)1009 即 k

4、是不等式组221009(1)1009kk的正整数解，解得 k=32，所以 2021 在第 32 组中 4如图，平面直角坐标系 x-O-y 中，A,B 是函数 y=1x在第 I 象限的图象上两点，满足OAB=90且 AO=AB，那么等腰直角OAB 的面积等于 A12 B 22 C32 D52 答：D A B C D O H K E A B O y x y=1x 2021 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答 第3页 共 6 页 解：依题意，OAB=90且 AO=AB，AOB=ABO=45过点 A 做 y 轴垂线交y 轴于点 C，过点 B 做 y 轴平行线，交直线 CA 于点 D 易见

5、COADAB 设点 A(a,1a)，那么点 B(a+1a,1a a)因为点B在函数y=1x的图象上，所以(a+1a)(1a a)=1，即21a a2=1 因此 SABC=12OA2=12(21a+a2)=1222215()42aa 5f(x)=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，且当 m=1,2,3,4 时，f(m)=2021m，那么 f(10)f(5)=A71655 B75156 C75615 D76515 答：C 解：因为 当 m=1,2,3,4 时，f(m)=2021m，所以 1,2,3,4 是方程 f(x)2021x=0 的四个实根，由于 5 次多项式 f(x)2021x

6、 有 5 个根，设第 5 个根为 p，那么 f(x)2021x=(x1)(x2)(x3)(x4)(xp)即 f(x)=(x1)(x2)(x3)(x4)(xp)+2021x 所以 f(10)=9876(10p)+202110，f(5)=6789(5+p)20215，因此 f(10)f(5)=15(9876+2021)=75615 6函数2|,()42,.xxaf xxaxaxa假设存在实数 m，使得关于 x 的方程 f(x)=m 有四个不同的实根，那么 a 的取值范围是 A17a B16a C15a D14a 答：D 解：要使方程 f(x)=m 有四个不同的实根，必须使得 y=m 的图像与 y=

7、f(x)的图像有4 个不同的交点而直线与 y=|x|的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以 A B O y x y=1x D C 2021 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答 第4页 共 6 页 y=m 与函数 y=|x|,xa 的图像和 y=x24ax+2a,xa 的图像的交点分别都是 2 个 而存在实数m，使 y=m 与 y=|x|,xa 的图像有两个交点，需要 a0，此时 0ma；又因为 y=x24ax+2a,xa 顶点的纵坐标为242(4)4aa，所以，要 y=m 与 y=x24ax+2a,xa 的图像有两个交点，需要 m242(4)4aa 因此 y=m 的图像与

8、y=f(x)的图像有4 个不同的交点需要满足：0ma 且 m242(4)4aa，解得14a 二、填空题 1.用x表示不超过x 的最大整数，设 1 2 3 99S，求S的值 答：24 解：因为121,2,3 22，所以11,2,32，因此 1 2 31，共 3 个 1；同理，224,5,6,7,8 32，因此，4 5 6 7 82，共 5 个 2；又 329,10,11,12,13,14,1542，因此 9 10=153，共 7 个 3；依次类推，16 17 23 244，共 9 个 4；25 26 34 355，共 11 个 5；36 37 47 486，共 13 个 6；49 50 62 6

9、37，共 15 个 7；64 65 79 808，共 17 个 8；81 82 98 999，共 19 个 9.2021 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答 第5页 共 6 页 S=(1 2 3)+(4 5 6 7 8)+(81 99)=13+25+37+49+511+613+715+817+919=615 因为 242=576615=S625=252，即 24S25，所以，S=24 2确定(202121log 2017202141log 2017202181log 20172021161log20172021321log2017)15的值 答：8 解：原式=(20212017l

10、og220212017log420212017log820212017log1620212017log32)15 =(2481632)15=(2122232425)15=(21+2+3+4+5)15=(215)15=23=8 3ABC 的边 AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，求ABC 的面积 答：9.5 平方厘米 解：注意到 13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为 5 厘米的正方形AMNP，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图 根据勾股定理，可知，AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，因此ABC 的面积可求 ABC 的面积=5512351225

11、1223=9.5平方厘米 4.设函数222(1)ln(1)()1xxxf xx 的最大值为 M，最小值为 N，试确定 M+N的值 答：2 解：由得222ln(1)()11xxxf xx 因为 2222ln(1)ln()1()ln()1()()1()xxxxxxxx =22ln()1()ln10 xx ，N A MB C P 2021 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答 第6页 共 6 页 所以22ln()1()ln(1)xxxx ，因此，2ln(1)xx 是奇函数 进而可判定，函数222ln(1)()1xxxg xx 为奇函数 那么 g(x)的最大值 M1和最小值 N1满足 M1

12、+N1=0 因为 M=M1+1，N=N1+1，所以 M+N=2 5设 A 是数集1,2,2021 的 n 元子集，且 A 中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定 n 的最大值 答：504 解：在数集1,2,2021中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集2,4,2021共 1008 个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于 1010的 2 倍是 2021，所以集合 A=1010,1012,1014,2021中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A 中恰有 504 个元素 事实上 504 是 n 的最大值 因为假设从1009,1011,2021中任取一个奇数，会与

13、 A 中的与它相邻的偶数互质；假设从1,2,3,1008中任取一数，那么它的 2 倍在 A 中，存在整除关系 6如图，以长为 4 厘米的线段 AB 的中点 O 为圆心、2 厘米为半径画圆，交 AB 的中垂线于点 E 和 F.再分别以 A、B 为圆心，4 厘米为半径画圆弧交射线 AE 于点 C，交射线 BE 于点 D.再以 E 为圆心 DE 为半径画圆弧DC，求这 4 条实曲线弧连接成的“卵形AFBCDA的面积 圆周率用 表示，不取近似值 答：(1242)4 平方厘米 解：半圆(O,2)的面积=1222=2 因为 AO=OB=2，所以 AB=AC=BD=4，AE=BE=22，ED=EC=422

14、又AEB=CED=90，EAB=EBA=45，B F A D C E O 2021 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答 第7页 共 6 页 因此，扇形 BAD 的面积=扇形 ACB 的面积=1842=2，AEB 的面积=1242=4，直角扇形EDC的面积=14(422)2=642，卵形AFBCDA的面积=半圆(O,2)的面积+扇形 BAD 的面积+扇形 ACB 的面积 AEB 的面积+直角扇形EDC的面积 =2+224+642 =(1242)4平方厘米 7.22()1005000 xf xxx，求 f(1)+f(2)+f(100)的值 答：101 解：设 g(x)=x2100 x

15、+5000，那么 g(100 x)=(100 x)2100(100 x)+5000=1002200 x+x21002+100 x+5000=x2100 x+5000=g(x)，即 g(k)=g(100k)所以 f(k)+f(100k)=22(100)()(100)kkg kgk=22(100)()kkg k=2，又 f(50)=2250=150100505000，f(100)22100=2.100100 1005000 所以，f(1)+f(2)+f(100)=(f(1)+f(99)+(f(2)+f(98)+(f(49)+f(51)+f(50)+f(100)=249+1+2=101 8如图，在锐

16、角ABC 中，AC=BC=10，D 是边 AB 上一点，ACD 的内切圆和BCD 的与 BD 边相切的旁切圆的半径都等于 2，求 AB 的长 答：4 5 解：线段 AB 被两圆与 AB 的切点及点 D 分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于D A C B 2021 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答 第8页 共 6 页 是可将这四段线段长度分别记为 a,b,b,c，由于圆 O2的切线长 CE=CG，所以 BC+a=CD+b=(ACc+b)+b，而 AC=BC，所以 a+c=2b 由等角关系可得AO1FO2BE，得12O FBEAFO E，即22ac，由

17、此推出ac=4 分别计算BCD 和ACD 的面积：12(),2BCDSBCCDBD12()2ACDSACCDAD 所以 24ACDBCDSSADBDABacbb.又设由 C 引向 AB 的高为 h，可得 22211()()410(2)22ACDBCDSSca hcaacb 由、两式可得 22214()410(2)2bcaacb 将 a+c=2b，ac=4 代入，化简得42251000bb 解得 b2=5 或 b2=20，即 b=5或 b=25，负根舍 于是，AB=a+c+2b=4b=45，或 AB=85 假设 AB=85，ABC 为钝角三角形，不合题设ABC 是锐角三角形的要求 所以 AB 的长为 45 D A C B E G F O1 O2 a b b c