初中数学竞赛专题辅导_代数式的求值.pdf

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1、第 1 页 初中数学竞赛专题辅导 代数式的求值 代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的根本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法下面结合例题逐一介绍 1利用因式分解方法求值 因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用 分析 x 的值是通过一个一元二次方程给出的，假设解出 x后，再求值，将会很麻烦我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用条件 解

2、条件可变形为 3x2+3x-1=0，所以 6x4+15x3+10 x2 第 2 页 =(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1 =(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1 =0+1=1 说明 在求代数式的值时，假设的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能防止解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答 例 2 a，b，c 为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，求 a+b+c 的值 解 将式因式分解变形如下 即 所以 a+b+c=0 或 bc+ac+ab=0 第 3 页 假设 bc+ac+ab=0

3、，那么 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=1所以 a+b+c 的值为 0，1，-1 说明 此题也可以用如下方法对式变形：即 前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将 3 拆成1+1+1，最终都是将式变形为两个式子之积等于零的形式 2利用乘法公式求值 例 3 x+y=m，x3+y3=n，m0，求 x2+y2的值 解 因为 x+y=m，所以 m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3mxy，所以 第 4 页 求 x2+6xy+y2的值 分析 将 x，y 的值直接代入计算较繁，观察发现，中 x，y的值正好是一对共轭无理

4、数，所以很容易计算出 x+y 与 xy 的值，由此得到以下解法 解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy =(x+y)2+4xy 3设参数法与换元法求值 如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法有时也可把代数式中某一局部式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法 分析 此题的条件是以连比形式出现，可引入参数 k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式 x(a-b)k，y(b-c)k，z(c-a)k 第 5 页 所以 x+y+z=(a-b)k(b-c)k+(c-a)k=0 u+v+w=1，由有 把两边平方得

5、 u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以 u2+v2+w2=1，即 两边平方有 所以 4利用非负数的性质求值 假设几个非负数的和为零，那么每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用 第 6 页 例 8 假设 x2-4x+|3x-y|=-4，求 yx的值 分析与解 x，y 的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解 因为 x2-4x+|3x-y|=-4，所以 x2-4x4|3x-y|=0，即(x-2)2+|3x-y|=0 所以 yx=62=36 例 9 未知数 x，y 满足 (x2y2)m2-2y(x+n)m+y2

6、+n2=0，其中 m，n 表示非零数，求 x，y 的值 分析与解 两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进展恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式 将等式变形为 第 7 页 m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即(mx-y)2+(my-n)2=0 5利用分式、根式的性质求值 分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明 例 10 xyzt=1，求下面代数式的值：分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变 解 根据分式的根本性质，分

7、子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变利用条件，可将前三个分式的分母变为与第四个一样 同理 分析 计算时应注意观察式子的特点，假设先分母有理化，计算反而复杂因为这样一来，原式的对称性就被破坏了这里所言的对称性是第 8 页 分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算 同样(但请注意算术根！)将，代入原式有 练习六 2x+y=a，x2+y2=b2，求 x4+y4的值 3a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值 5 设 a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值 813x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13x10 的值