大学数学练习题.pdf

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1、 大学数学习题及答案 一 填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y1(x);y2(x)为方程的根本解组充分必要条件是_.3 方程02 yyy的根本解组是_.4 一个不可延展解的存在区间一定是_区间.5 方程21ydxdy的常数解是_.6 方程0)()(xqxtpxt 一个非零解为 x1(t),经过变换_ 7 假设 4(t)是线性方程组XtAX)(的基解矩阵,那么此方程组的任一解 4(t)=_.8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的 2 倍,那么此曲线方程为_.9 满足_条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数

2、只有一个我们称这种微分方程为_.11 一阶线性方程)()(xqyxpy有积分因子().12 求解方程yxdxdy/的解是().13(0)()3222dyxyxdxyxaxy为恰当方程,那么a=_.14 0)0(22yyxdxdy,1:xR,1y由存在唯一性定理其解的存在区间是().15 方程0652ydxdydxdy的通解是().16 方程534yxydxdy的阶数为_.17 假设向量函数)()();();(321xxxxn在区间 D 上线性相关,那么它们的伏朗斯基行列式 w(x)=_.18 假设 P(X)是方程组)(xAdxdy的根本解方阵那么该方程组的通解可表示为_.19方程0d)1(1)

3、d(22yxyxyx所有常数解是_ 20方程04 yy的根本解组是_ 21方程1ddyxy满足解的存在唯一性定理条件的区域是_ 22函数组)(,),(),(21xxxn在区间 I 上线性无关的_条件是它们的朗斯基行 列式在区间 I 上不恒等于零 23假设)(),(21xyxy是二阶线性齐次微分方程的根本解组，那么它们_共同零点 二 单项选择:1 方程yxdxdy31满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是().(A)上半平面 (B)xoy平面 (C)下半平面 (D)除 y 轴外的全平面 2 方程1ydxdy()奇解.(A)有一个 (B)有两个 (C)无 (D)有无数个 3 在以下函数中是微分方

4、程0 yy的解的函数是().(A)1y (B)xy (C)xysin (D)xey 4 方程xeyyx 的一个特解*y形如().(A)baex (B)bxaxex (C)cbxaex (D)cbxaxex 5 )(yf连续可微是保证方程)(yfdxdy解存在且唯一的()条件 A必要 B充分 (C)充分必要 (D)必要非充分 6 二阶线性非齐次微分方程的所有解().(A)构成一个 2 维线性空间 (B)构成一个 3 维线性空间(C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间 7 方程323ydxdy过点(0,0)有().(A)无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解

5、 8 初值问题10 x 01x,11)0(x在区间,t上的解是().(A)ttut)(B)teut)(C)etut)(D)eeut)(9 方程0cos2xyxdxdy是().(A)一阶非线性方程 (B)一阶线性方程 C)超越方程 (D)二阶线性方程 10 方程032dxdydxdy的通解是().(A)xeCC321 (B)xeCxC321 (C)xeCC321 (D)xeC32 11 方程0442ydxdydxdy的一个根本解组是().(A)xex2,(B)xe2,1 (C)xex22,(D)xxxee22,12 假设 y1 和 y2 是方程0)()(2yxqdxdyxpdxdy的两个解,那么

6、2211yeyey e1,e2为任意常数 (A)是该方程的通解 (B)是该方程的解 (C)不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解 13 方程21ydxdy过点(0,0)的解为xysin,此解存在().(A),(B)0,(C),0 (D)2,2 14 方程xeyxy23是().(A)可别离变量方程 (B)齐次方程 (C)全微分方程 (D)线性非齐次方程 15 微分方程01yxdxdy的通解是().(A)xcy (B)cxy (C)cxy1 (D)cxy 16 在以下函数中是微分方程0 yy的解的函数是().(A)1y (B)xy (C)xysin (D)xey 17 方程xeyyx 的一个数

7、解xy形如().(A)baex (B)bxaxex (C)cbxaex (D)cbxaxex 18 初值问题10 x 11)0(;01xx 在区间t上的解是().(A)ttut)(B)teutt)(C)ttetu)(D)ttteeu)(19方程yxydd的奇解是 Axy B1y C1y D0y 20.方程21ddyxy过点)1,2(共有 个解 A一 B无数 C两 D三 21n阶线性齐次微分方程根本解组中解的个数恰好是 个 An Bn-1 Cn+1 Dn+2 22一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差 A不是其对应齐次微分方程组的解 B是非齐次微分方程组的解 C是其对应齐次微分方程组的解 D

8、是非齐次微分方程组的通解 23如果),(yxf，yyxf),(都在xoy平面上连续，那么方程),(ddyxfxy的任一解的存在区间 A必为),(B必为),0(C必为)0,(D将因解而定 三 求以下方程的解:1 求以下方程的通解或通积分:(1)nyydxdy1 (2)xyxydxdy21 (3)5xyydxdy (4)0)(222dyyxxydx (5)3)(2yxyy 2 求方程的解 01)4()5(xtx 3 解方程:xydxdycos2并求出满足初始条件:当 x=0 时,y=2 的特解 4 求方程:xytgxydxdy 5 求方程:26xyxydxdy的通解 6 求0)46()63(322

9、2dyyyxdxxyx的通解.7 求解方程:022244xdtxddtxd 8 求方程:014455dtxdtdtxd的解 9 求方程255 xyy的通解 10 求以下方程组的通解xdtdytydtdxsin1 11 求初值问题0)1(yyxy 11:xR 1y的解的存在区间并求出第二次近似解 12 求方程的通解 (1)2yxydxdy (2)xyxydxdytan (3)0)4()3(2dyxydxxy(三 种 方 法)(4)04524ydxdydxdy 13 计算方程 xyy2sin34 的通解 14 计算方程 txdtdxdtxdcos442 15 求以下常系数线性微分方程:xxeyyy

10、2102 16 试求02x 21x 的基解矩阵 17 试求矩阵12A 41的特征值和对应的特征向量.18 试求矩阵53A 35的特征值和特征向量 19 解方程组1321yy 22 21yy 20求以下方程组的通解 yxtyyxtx43dd2dd 四 名词解释 1 微分方程 2 常微分方程、偏微分方程 3 变量别离方程 4 伯努利方程 5Lipschitz条件 6 线性相关 五 证明题 1 在方程0)()(yxqyxpy中 p(x);q(x)在);(上连续 求证:该方程的任一非零解在 xoy 平面上不能与 x 轴相切.2 设 x1(t)、x2(t)分别是非齐次性线方程 )()()(1111tfx

11、tGdtxdtGdtxdnnnnn )()()(2111tfxtGdtxdtGdtxdnnnnn 证明：x1(t)+x2(t)是方程)()()()(21111tftfxtGdtxdtGdtxdnnnnn的解。3 设 f(x)在0；+上连续且limf(x)=0 求证：方程)(xfydxdy的一切解 y(x)；均有limy(x)=0 4 在方程0)()(yxqyxpy中 p(x)、q(x)在,上连续；求证：假设 p(x)恒不为零；那么该方程的任一根本解组的朗斯基行列式 wx是,上的严格单调函数。5 证明：x1(t)+x2(t)是方程)()()(2111tfxadtxdtcdexdtnnnnn的解。

12、6 证明：函数组xxxneee21,其中当ji 时ji在任意区间a,b上线性无关。7在方程)()(ddyyfxy中，)(yf，)(x在),(上连续，且0)1(求证：对任意0 x和10y，满足初值条件00)(yxy的解)(xy的存在区间必为),(8在方程0)()(yxqyxpy中，)(xp，)(xq在),(上连续求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与 x 轴相切 练习题答案 一 填空题:1、2 2、线性无关或：它们的朗斯基行列式不等于零 3、ex;xex 4、开 5、1y 6、ydtxx1 7、ct)(,c 为常数列向量 xx 8、y=x2+c 9、初始 10、常微分方程 11、ep(x)

13、dx 12、x2+y2=c;c 为任意正常数 13、/14、21;21 15、261656665ppycpx 16、4 17、0 18、cx)(；其中 c 是确定的 n 维常数列向量 191,1xy 20 xx2cos,2sin 210),(2yRyxD，或不含 x 轴的上半平面 22充分 23没有 二 单项选择 1、D 2、C 3、C 4、D 5、B 6、C 7、A 8、D 9、A 10、C 11、D 12、B 13、D 14、D 15、B 16、C 17、D 18、D 19D 20B 21A 22.C 23D 三 求以下方程的解 1(1解：当1,0yy时，别离变量取不定积分，得 Cdxny

14、ydy1 通积分为 1ny=Cex 2解：令 y=xu,那么,dxduxudxdy代入原方程，得 21udxdux 别离变量，取不定积分，得 nCxdxudu112 0C 通积分为：nCxxy1arcsin 3 解：方程两端同乘以 y-5,得 xydxdyy45 令 y-4=z，那么,4y-5-dxdzdxdy代入上式，得 xzdxdz41 通解为 414xCezx 原方程通解为 4144xCeyx 4 解：因为xNxyM2，所以原方程是全微分方程。取x0,y0=0，0原方程的通积分为 xyCdyyxydx0022 即 Cyyx3231 5 解：原方程是克莱洛方程，通解为：y=cx+2c3 2

15、 解：设dtdxy 那么方程化为01ytdtdx，积分后得 y=ct 即ctdtdx 于是 x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5 其中 c1,c2,c3,c4,c5为任意常数=)()()()()()()()()(dtx(t)d21111111nntxtGdttxdtGdttxdtxtGdttxdtGnnnnnnnn=f1(t)+f2(t)故 x1(t)+x2(t)为方程)()()()(111txGdttxdtGdttxdnnnnn=f1(t)+f2(t)的解。3 解：将变量别离，得到 xdxydycos2 两边积分，即得 cxysin1 因而，通解为 cxysin1 这里 c 是任意

16、常数。以 x=0,y=1 代入通解中以决定任意常数 c，得到 c=-1 因而，所求特解为 xysin11 4 解：以 uxy 及 udxdyxdxdy 代入，那么原方程变为 tguuudxdux 即 xtgudxdu 将上式别离变量,即有 xdxctgudu 两边积分,得到 cxnunsin 这里 c是任意函数,整理后,得到 xeucsin 令cee,得到 sinu=cx 5 解:令 z=y-1得 dxdyydxdz2 代入原方程得到 xzxdxdz6 这是线性方程,求得它的通解为 826xxcz 代回原来的变量 y,得到 8126xxcy 这就是原方程的通解。此外，方程还有解 y=0。6 解

17、：这里 M=3x2+6xy2.N=6x2y+4y3，这时 xyxNxyyM12.12 因此方程是恰当方程。现在求 u，使它同时满足如下两个方程 2263xyxxu 3246yyxyu 由1对 x 积分，得到 )(3223yyxxu 为了确定)(y，将3对 y 求导数，并使它满足2，即得 32246)(6yyxdyydyxyu 于是 dyyd)(=4y4 积分后可得 )(y=y4 将)(y代入3，得到 u=x3+3x2y2+y4 因此，方程的通解为 x3 +3x2y2+y4=c 这里 c 是任意常数 7 解：特征方程01224即特征根i 是重根，因此方程有四个实值解 cost、tcost、sin

18、t、tsint 故通解为 x=(c1+c2t)cost+(c3+c4t)sin 其中 c1;c2;c3;c4为任意常数 8 解：令ydtxd44 那么方程化为：01ytdtdy 积分后得 y=ct 即ctdtxd44于是 x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t1+c5 其中 c1;c2 c5 为任意常数，这就是原方程的通解。9 解 对应齐次方程的特征方程为052，特征根为5,021 齐次方程的通解为 y=C1+C2e5x 因为 a=0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 y1(x)=xAx2+Bx+C 代入原方程，比拟系数确定出 A=31，B=51，C=252 原方程的通解为 xxxeCC

19、yx252513123521 10 解：先解出齐次方程的通解 yx=C1ttsincos+C2ttcossin 令非齐次方程特解为 yx=C1(t)ttsincos+C2(t)ttcossin )(),(21tCtC满足 ttsincos ttcossin)()(21tCtC=0sin1t 解得1)(,sincos)(21tCtttC 积分，得 ttCtntC)(,sin1)(21 通解为 tttnttttntttCttCyxcossin1sinsinsin1coscossinsincos21 11 解：M=max),(yxf=4 41),min(Mbah 故解的存在区间为411 x 2)q0

20、(x)=0 q1(x)=0313|3)02(xgdggxx q2(x)=0+xxggggdgggg913626339192932 =4211601893xxxx 12 求方程的通解:1)2yxydxdy 解:变形yxyyyxdxdy12(1),将 y 看作自变量,x 为未知函数 解齐线性方程xydydx1,通解为 x=cy 令 x=c(y)y.(2)微分得,)()()(ycydyydcdyyycddydx 由(1)(2)知yyyycycydyydcyyx)()()(1)(dyydc,积分得cyyc)(故)(cyxy(c是任意常数)2)xyxydxdytan 解:令uxy那么uxy,于是udxd

21、uxdxdy 那么原方程变为uuudxduxtan 即xudxdutan 将上式别离变量有xdxudu cot 积分得,1sin1cxnunc为任意常数。整理xeucsin 令0cce得)0(sinccxu 方程还有解 tanu=0 即 sinu=0,故通解为 sinu=cx(c 为任意常数)30)4()3(2dyxydxxy(三种方法)解：法一，这里 M=y-3x2,N=-(4y-x)=4-4y ,1,1xNyM因此此方程是恰当方程 现求 u 使23xyxu1，yxyu4 2 对1中 x 积分得)(3yxyxu 3 对3中 y 求导ydyydxyu4)(积分得22)(yy，代入3得 232y

22、xyxu 故通解为cyxyx232，c 为任意常数 法二，重新组合得 0432xdyydydxxydx，即0223xdydydxydx )02(23yxxyd 于是通解为cyxxy232其中 c 是任意常数。4 04)(5)(24ydxdydxdy 解：令dxdyp 那么42244145,045ppyypp 对 x 求导得 0)25(,)25(25333pdxdpppdxdpppdxdppdxdppP 积分得pcpppcppxcpxpp342424145445,)445(于是方程通解为42341454145ppypcppx p=0 13 方程xyy2sin34 的通解 解：齐次方程是iyy2,

23、04,04 2,12 tctcy2sin2cos21 由于 2i 是特征方程单根 故所求特解应具形式)2sin2cos(1xbxAxy 代入原方程 0,430,34BABA xxy2cos431 故通解为tctcxxy2sin2cos2cos4321，其中c1c2为任意常数 14 txdtdxdtxdcos442 解：特征方程0442有重根221 因此对应齐线性方程的通解为tetccx221)(，其中 c1,c2为任意常数。因为i不是特征根，现求形如tBtAxsincos的特征解，代入原方程化简 cost 3B)sint(4A 4B)cost-(3A 于是034143BABA 故 254253

24、BA 故通解为ttetccxtsin254cos253)(221其中 c1,c2为任意常数 15 求以下常系数线性微分方程 对应的齐次方程为0102 yyy 特征方程为01022 特征根为 ia31 a 不是特征根，故原方程有形如 y*=(ax+b)e 2x的特解代入原方程得501,101ba 故原方程通解为xxextctcey221)501101()3sincos(，21,cc为任意常数 16 解：因为02A 21=02 20+00 01而且后面的两个矩阵是可交换的 得到02expexp At 20exp t00 01t=02te te21E+00 01t+00 201!22t但是，00 2

25、01=00 00 所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是 01exp2teAt 0t 17 解：特征方程为 12)det(AE 096412 因此，3是 A 的二重特征值.为了寻求对应于3的特征向量,考虑方程组 11)3(cAE 11 021cc 因此,向量 ac 11 是对应于特征值3的特征向量,其中0a是任意常数.18 解 A 特征方程为53)det(EA 0366352 特征根为i 532,1 对应于 1=3+5i 的特征向量uuu满足 55)(1iuEA 055 i 解得 u=a 0a为任意常数 对应于i 532特征向量uuv满足i1 0)(2vEA 解得1iv vv 为任意常数 0

26、19 解:2123A的特征方程为13)det(AE 0)4)(1(22 1=1,2=4 为特征根,aauuEA10)4(为方程组解 a 为任意常数.20)4(2uuEA为方程组解.这样221aayy为方程的解 20解 方程组的特征方程为 04321EA 即 0232 特征根为 11，22 11对应的解为 tbayxe1111 其中11,ba是11对应的特征向量的分量，满足 0014321111ba 可解得1,111ba 同样可算出22对应的特征向量分量为 3,212ba 所以，原方程组的通解为 ttttCCyx2221e32eee 四 名词解释 1 联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式，称

27、之为微分方程。2 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程的个数为两个或两个以上 的微分方程称为偏微分方程。3 形如 )()(yxfdxdy 的方程，称为变量别离方程，这里)()(yxf分别是 x,y 的连续函数。4 形如 nyxQyxPdxdy)()(的方程，称为伯努利方程，这里)(),(xQxP为 x 的连续函数，1,0n是常数 5 函数 f(x,y)称为在 R 上关于 y 满足Lipschitz条件，如果存在常数 L0,使得 不等式2121).().(yyLyxfyxf 对于所有Ryxyx),(),(21都成立,L 称为Lipschitz常数.6 定义在区间bta上的函数)

28、(),(),(21txtxtxk,如果存在不全为零的常数 c1,c2,.ck 使得恒等式0)()()(2211txctxctxckk对于所有bat,都成立,称这些函数是线性相关的.五 1 在方程0)()(yxqyxpy中,p(x),q(x)在),(上连续,求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与 x 轴相切.证明：方程0)()(yxqyxpy，设)(xy是它的任一非零解。假设 p(x),q(x)在),(上连续，假设)(xy在xoy平面上与轴相切。那么0,0)(yxy与方程有非零解)(xy矛盾。故)(xy与 x 轴不相切。2 由得)()()(11111tfxtGdtxdtGdtxdnnnnn

29、 )()()(22111tfxtGdtxdtGdtxdnnnnn 把 x1(t)+x2(t)代入方程)()()()(21111tftftxGdtxdtGdtxdnnnnn由左端得)()()()()()()()(21111txtxtGdttxtxdtGdttxtxdnnnnn=)()()()()()()()()()(2111111txtGtxtGdttxdtGndttxdtGdttxddttxdnnnnnnnnnn 3 证明 设 y=y(x)是方程任一解，满足 y(x 0)=y0，该解的表达式为 0000)(0)()(xxxxxsxxedsesfeyxy 取极限 0000)(0)(limlim)

30、(limxxxxxsxxedsesfeyxy 0()(lim0000)xxxxeexf 0000)()()()(xxsxxsdsesfdsesf若若 4 证明 设y1(x),y2(x)是方程的根本解组,那么对任意),(x,它们朗斯基行列式在),(上有定义,且0)(xW.又由刘维尔公式 ),(,)()(0)(00 xexWxWxxdssp )()()(0)(0 xpexWxWxxdssp 由于 0)(,0)(0 xpxW,于是对一切),(x,有0)(xW或0)(xW 故)(xW是),(上的严格单调函数 5 答案略 6 证明:函数组的wronshi行列式为 W(x)=xnnxnxnxnxxxxxn

31、nnexeexeeeeee1121121212121,xxxx =)(21xne1111n 121nn 11nnnxx 上述最后的行列式为范德蒙受行列式 它等于)(ji由题设知)(jiji 由此行列式不为零.从而0)(xW由性质知.的函数组在上线性无关证毕.7证明 由条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件 显然1y 是方程的两个常数解 任取初值),(00yx，其中),(0 x,10y记过该点的解为)(xyy，由上面分析可知，一方面)(xyy 可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过1y，下方不能穿过1y，否那么与惟一性矛盾故该解的存在区间必为),(10 分

32、 8证明 由条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是),(显然，该方程有零解0)(xy 假设该方程的任一非零解)(1xy在 x 轴上某点0 x处与 x 轴相切，即有)()(0101xyxy=0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(xy可知),(,0)(1xxy，这是因为零解也满足初值条件)()(0101xyxy=0，于是由解的惟一性，有xxyxy,0)()(1,()这与)(1xy是非零解矛盾 一、计算20 分 13643141227251531 2axaaaaxaaaax 二、证明：20 分 1假设向量组n1线性无关，那么它们的局部向量组也线性无关。2假设向量

33、组n1中局部向量线性相关，那么向量组n1必线性相关 三、15 分A 为 n 阶方阵A为 A 的伴随阵，那么|A|=0，A的秩为 1 或 0。四、10 分设 A 为 n 阶阵，求证，rankA+I+rankA-In 五、15 分求根底解系 032030432143214321xxxxxxxxxxxx 六、10 分不含零向量的正交向量组是线性无关的 七、10 分求证ABC 的正弦正定理 CcBbAasinsinsin 答案(一)一、1-126 21)2()2(naxanx 二、证明：1n1线性无关，r1是其局部向量组，假设存在不全为 0 的数rkk 1使011rrkk那么取021nrrkkk，那么

34、000111nrrrkk，那么可知n1线性相关矛盾，所以r1必线性无关。2r1是向量组中n1中的局部向量，且线性相关即rkk 1 不全为 0，使011rrkk，取01nrkk，于 是 有 不 全 为0的001rkk，使000111nrrrkk即n1线性相关。三、证明：IAAAAAA|由于|A|=0，A 的秩n-1 1假设 A 的秩为 n-1，那么A中的各元素为 A 的所有n-1 阶子式，必有一个子式不为 0，又由于A的各列都是 AX=0 齐次线性方程组的解，其根底解系为 n-n-1=1，由此A的秩为 1。2假设 A 的秩n-1，那么A中的所有 A 的n-1 阶子式全为 0，即A=0，A的秩为

35、0。四、证明：对任意 n 级方阵 A 与 B，有 rankA+BrankA+rank B 又rankAI=rankAI=rankIA rankA+I+IA=rank2I=rankI=n rankA+I+rankIA=rankA+I+rankAI 五、000021001011321131111111A 取10,0142xx根底解系 00111 12012 六、证明：设neee21是正交向量组，且不含空向量。假设有 nnekekek2211 那么 0),(),(21iinneeekek 且 ),(21inneekek0)(iiieek ni1 0)(iiee niki1,0 即 nee1线性无关 七、证明：如图：caacaba)(cacaccb)(A Cabbasin|c b Bbccasin|Abccbsin|B a C BacCabAbcsinsinsin CcBbAasinsinsin