因式分解的方法专题.pdf

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1、暑期复习专题-因式分解技巧 方法一符号变换 有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。体验题 1 (m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)指点迷津 y-x=-(x-y)体验过程 原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y)=(x-y)(m+n-m+n)=2n(x-y)小结 符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。实践题 1 分解因式：-a2-2ab-b2 方法二系数变换 有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。体验题 2 分解因式 4x2-12xy+

2、9y2 体验过程 原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x-3y)2 小结 系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。实践题 2 分解因式221439xyyx 方法三指数变换 有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。体验题 3 分解因式 x4-y4 指点迷津 把 x2看成(x2)2,把 y4看成(y2)2,然后用平方差公式。体验过程 原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)小结 指数变化常用于整式的最高次数是 4 次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项间的关系。实践题 3 分

3、解因式 a4-2a4b4+b4 方法四 展开变换 有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。体验题 4 a(a+2)+b(b+2)+2ab 指点迷津 表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。然后分组。体验过程 原式=a2+2a+b2+2b+2ab=(a+b)2+2(a+b)=(a+b)(a+b+2)小结 展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式，相当于重新分组。实践题 4 x(x-1)-y(y-1)方法五 拆项变换 有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。这类问题

4、直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。体验题 5 分解因式 3a3-4a+1 指点迷津 本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为 3，而一次项的系数为-4，提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成-3a-a 试试。体验过程 原式=3a3-3a-a+1=3a(a2-1)+1-a=3a(a+1)(a-1)-(a-1)=(a-1)3a(a+1)-1=(a-1)(3a2+3a-1)另外，也可以拆常数项，将 1 拆成 4-3。原式=3a3-4a+4-3 =3(a3-1)-4(a-1)=3(a-1)(a2+a+1)-4(a-1)=(a-1)(3a2+3a+3-

5、4)=(a-1)(3a2+3a-1)小结 拆项变化多用于缺项的情况，如整式 3a3-4a+1，最高次是三，其它的项分别是一，零。缺二次项。通常拆项的目的是将各项的系数调整趋于一致。实践题 5 分解因式 3a3+5a2-2 方法六 添项变换 有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式，我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。然后再考虑用其它的方法。体验题 6 分解因式 x2+4x-12 指点迷津 本题用常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。因此考虑将其配成完全平方式再说。体验过程 原式=x2+4x+4-4-12 =(x+2)2-16=(x+2)2-42=(x+2+4)(x

6、+2-4)=(x+6)(x-2)小结 添项法常用于含有平方项，一次项类似完全平方式的整式或者是缺项的整式，添项的基本目的是配成完全平方式。实践题 6 分解因式 x2-6x+8 实践题 7 分解因式 a4+4 方法七 换元变换 有些多项式展开后较复杂，可考虑将部分项作为一个整体，用换元法，结构就变得清晰起来了。然后再考虑用公式法或者其它方法。体验题 7 分解因式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 指点迷津 直接展开太麻烦，我们考虑两两结合。看能否把某些部分作为整体考虑。体验过程 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1=(x2+5x+4

7、)(x2+5x+6)+1*令 x2+5x=m.上式变形为(m+4)(m+6)+1 m2+10m+24+1=(m+5)2=(x2+5x+5)2*式也可以这样变形，令 x2+5x+4=m 原式可变为：m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2+5x+5)2 小结 换元法常用于多项式较复杂，其中有几项的部分相同的情况下。如上题中的x2+5x+4与x2+5x+6就有相同的项 x2+5x.，换元法实际上是用的整体的观点来看问题。实践题 8 分解因式 x(x+2)(x+3)(x+5)+9 实践题答案 实践题 1 分解因式：-a2-2ab-b2 实践详解 各项提出符号，可用平方和公式.原式=-a

8、2-2ab-b2=-(a2+2ab+b2)=-(a+b)2 实践题 2 分解因式221439xyyx 实践详解 原式=(2x)2+2.2x3y+(3y)2=(2x+3y)2 实践题 3 分解因式 a4-2a4b4+b4 指点迷津 把 a4看成(a2)2，b4=(b2)2 实践详解 原式=(a2-b2)2=(a+b)2(a-b)2 实践题 4 x(x-1)-y(y-1)指点迷津 表面上看无法分解因式，展开后试试：x2-x-y2+y。然后重新分组。实践详解 原式=x2-x-y2+y =(x2-y2)-(x-y)=(x+y)(x-y)-(x-y)=(x-y)(x+y-1)实践题 5 分解因式 3a3

9、+5a2-2 指点迷津 三次项的系数为 3，二次项的系数为 5，提出公因式 a2后。下一步没法进行了。所以我们将5a2拆成 3a2+2a2,化为 3a3+3a2+2a2-2.实践详解 原式=3a3+3a2+2a2-2 =3a2(a+1)+2(a2-1)=3a2(a+1)+2(a+1)(a-1)=(a+1)(3a2+2a-2)实践题 6 分解因式 x2-6x+8 实践详解 原式=x2-6x+9-9+8=(x-3)2-1=(x-3)2-12 =(x-3+1)(x-3-1)=(x-2)(x-4)实践题 7 分解因式 a4+4 原式=a4+4a2+4-4a2=(a2+2)2-4a2=(a2+2+2a)

10、(a2+2-2a)=(a2+2a+2)(a2-2a+2)=(x2+5x)(x2+5x+6)+9 令 x2+5x=m 上式可变形为 m(m+6)+9=m2+6m+9=(m+3)2=(x2+5x+3)2 暑期复习专题-因式分解技巧 方法一符号变换 有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。体验题 1 (m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)指点迷津 y-x=-(x-y)体验过程 原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y)=(x-y)(m+n-m+n)=2n(x-y)小结 符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太

11、清晰的情况下。实践题 1 分解因式：-a2-2ab-b2 方法二系数变换 有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。体验题 2 分解因式 4x2-12xy+9y2 体验过程 原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x-3y)2 小结 系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。实践题 2 分解因式221439xyyx 方法三指数变换 有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。体验题 3 分解因式 x4-y4 指点迷津 把 x2看成(x2)2,把 y4看成(y2)2,然后用平方差公式。体验过程 原

12、式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)小结 指数变化常用于整式的最高次数是 4 次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项间的关系。实践题 3 分解因式 a4-2a4b4+b4 方法四 展开变换 有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。体验题 4 a(a+2)+b(b+2)+2ab 指点迷津 表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。然后分组。体验过程 原式=a2+2a+b2+2b+2ab=(a+b)2+2(a+b)=(a+b)(a+b+2)

13、小结 展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式，相当于重新分组。实践题 4 x(x-1)-y(y-1)方法五 拆项变换 有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。体验题 5 分解因式 3a3-4a+1 指点迷津 本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为 3，而一次项的系数为-4，提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成-3a-a 试试。体验过程 原式=3a3-3a-a+1=3a(a2-1)+1-a=3a(a+1)(a-1)-(a-1)=(a-1)3a(a+1)-1=(a-1

14、)(3a2+3a-1)另外，也可以拆常数项，将 1 拆成 4-3。原式=3a3-4a+4-3 =3(a3-1)-4(a-1)=3(a-1)(a2+a+1)-4(a-1)=(a-1)(3a2+3a+3-4)=(a-1)(3a2+3a-1)小结 拆项变化多用于缺项的情况，如整式 3a3-4a+1，最高次是三，其它的项分别是一，零。缺二次项。通常拆项的目的是将各项的系数调整趋于一致。实践题 5 分解因式 3a3+5a2-2 方法六 添项变换 有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式，我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。然后再考虑用其它的方法。体验题 6 分解因式 x2+4x

15、-12 指点迷津 本题用常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。因此考虑将其配成完全平方式再说。体验过程 原式=x2+4x+4-4-12 =(x+2)2-16=(x+2)2-42=(x+2+4)(x+2-4)=(x+6)(x-2)小结 添项法常用于含有平方项，一次项类似完全平方式的整式或者是缺项的整式，添项的基本目的是配成完全平方式。实践题 6 分解因式 x2-6x+8 实践题 7 分解因式 a4+4 方法七 换元变换 有些多项式展开后较复杂，可考虑将部分项作为一个整体，用换元法，结构就变得清晰起来了。然后再考虑用公式法或者其它方法。体验题 7 分解因式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4

16、)+1 指点迷津 直接展开太麻烦，我们考虑两两结合。看能否把某些部分作为整体考虑。体验过程 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1*令 x2+5x=m.上式变形为(m+4)(m+6)+1 m2+10m+24+1=(m+5)2=(x2+5x+5)2*式也可以这样变形，令 x2+5x+4=m 原式可变为：m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2+5x+5)2 小结 换元法常用于多项式较复杂，其中有几项的部分相同的情况下。如上题中的x2+5x+4与x2+5x+6就有相同的项 x2+5x.，换元法实际上是用的整体的观点来看问题。实践题 8 分解因式 x(x+2)(x+3)(x+5)+9