函数图像与函数方程(教师版).pdf

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1、.函数图像与函数方程【知识要点】1.函数图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换)(xfy 关于x轴对称)(xfy；)(xfy 关于y轴对称)(xfy；)(xfy 关于原点对称)(xfy；)10(aaayx且 关于yx对称)10(logaaxya且.(3)翻折变换)(xfy 保留x轴上方图像将x轴下方图像翻折上去|)(|xfy.)(xfy 保留y轴右边图像，并作其关于y轴对称的图像|)(|xfy.(4)伸缩变换)(xfy )(axfy.)(xfy )(xafy.2.函数的零点(1)函数零点的定义 对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点.(2)几个等价关系 方

2、程0)(xf有实数根函数)(xfy 的图象与x轴有交点函数)(xfy 有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如 果 函 数)(xfy 在 区 间,ba上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线，并 且 有0)()(bfaf，那么，函数)(xfy 在区间),(ba内有零点，即存在),(bac，使得0)(cf，这个c也就是方程0)(xf的根 【例题解析】考点一 函数图象变换【例 1】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数 2xf x 的图像经过怎样的变换得到的。（1）12xy （2）2+1xy （3）2xy （4）2-1xy （5）2xy （6）2xy 【变式训练 1】画出下列函

3、数的图像，并说明它们是由函数 2logf xx的图像经过怎样的变换得到的。（1）2log(1)yx （2）2log1yx （3）2log|yx （4）2|log1|yx （5）xy2log （6）)(log2xy .【变式训练 2】函数()yf x的曲线如图所示，那么方程(2)yfx的曲线是（）A B C D 答案：D .【变式训练 3】函数21xyx的图象大致是（）答案：B 解析 将y1x的图像向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y11x1的图像【变式训练 4】(2012 湖北)已知定义在区间2,0上的函数)(xfy 的图像如图所示，则)2(xfy的图像为()答案 B.解析 当

4、x1 时，yf(1)1，排除 A、C.当x2 时，yf(0)0，故选 B.考点二 函数的零点 题型一 零点存在性定理【例 2】下列各种说法中正确的个数有（）函数()yf x满足()()0f af b,则函数()yf x在区间(,)a b内只有一个零点;函数()yf x满足()()0f af b,则函数()yf x在区间,a b内有零点;函数()yf x满足()()0f af b,则函数()yf x在区间(,)a b内没有零点;函数()yf x在,a b上连续且单调,并满足()()0f af b,则函数()yf x在区间(,)a b内只有一个零点;函数2()23f xxx的零点是(3,0)与(1

5、,0).A0个 B1个 C2个 D3个 答案：B【例 3】(2013 重庆高考数学(理)若abc,则函数 f xx ax bx b x cx cx a的两个零点分别位于区间（）A,a b和,b c B,a和,a b C,b c和,c D,a和,c 答案：()()()0f aab ac,()()()0f bbc ba,()()()0f cca cb,所以()()0f a f b,()()0f b f c,所以函数的两个零点分别在(,)a b和(,)b c内,选 A 【例 4】函数aaxxf21)(在区间)1,1(上存在一个零点,则实数a的取值范围是_ 答案：1(,1)3【解析】当0a 时,函数(

6、)1f x 在(1,1)上没有零点,所以0a,所以根据根的存在定理可得(1)(1)0ff,即(31)(1)0aa,所以(1)(31)0aa,解得113a,所以实数a的取值范围是1(,1)3 【变式训练 5】函数2()3log()xf xx的零点所在区间是（）.A.5,22 B.2,1 C.1,2 D.52,2 答案：B【例 5】已知二次函数2(),f xaxbxc满足42cba且0c，则含有()f x零点的一个区间是（）A2,0 B1,0 C 01，D0 2，答案：A【变式训练 7】根据表格中的数椐，可以判断2)(xexfx的一个零点属于区间（）x-1 0 1 2 3 xe 0.37 1 2,

7、72 7.39 20.09 x+2 1 2 3 4 5 A.1,0 B.0,1 C.1,2 D.2,3 答案：C 考点三 函数与方程 题型二 方程()f xm的根的问题【例 6】若方程()20f x 在(,0)内有解,则()yf x的图象是 答案：D【例 7】已知函数241,(4)()log,(04)xf xxxx若关于x的方程()f xk有两个不同的实 根,则实数k的取值范围是_.答案：)2,1(【变式训练 9】已知函数,0),4(,0|,lg|)(xxxxxxf则函数 3xfy的零点的个数为 A1 B2 C3 D4 答案：D 题型四 方程()()f xg x型问题【例 8】已知函数|lg|

8、,010,()16,10.2xxf xxx若,a b c互不相等，且()()(),f af bf c则abc的取值范围是（）A(1,10)B(5,6)C(10,12)D(20,24)答案：C【变式训练 10】函数0.5()2|log|1xf xx的零点个数为（）A1 B2 C3 D4 答案：B 在同一坐标系中作出1()()2xf x 与0.5|log|yx。【变式训练 11】函数 2lnf xx的图像与函数 245g xxx的图像的交点个数为 A3 B2 C1 D0 答案：B 【变式训练 12】函数 xxf)(的函数值表示不超过x的最大整数，例如，4-5.3-，21.2，当时5.4,3x，xx

9、f)(，的解集为（）A 4,3 B4 C3 D5.4,3(答案：B【变式训练 13】x表示不超过x的最大整数，定义函数 f xxx则下列结论中正确的.有_.函数 f x的值域为 0,1 方程 12f x 有无数个解 函数 f x的图像是一条直线 函数 f x是 R 上的增函数 答案：【变式训练 14】（2015-2016 武汉重点中学期中联考）定义函数 f xx x，其中x表示不超过x的最大整数，如：15.1，23.1，当),0nx，Nn时，设函数 f x的值域为A，记集合A中的元素个数为t，则t为（）A212nn B22nn C212nn D222nn 答案：C 题型五 复合函数零点问题【例

10、 9】已知定义在 2,2上的函数)(xfy 和)(xgy，其图象如下图所示：给出下列四个命题：方程0)(xgf有且仅有 6 个根 方程0)(xfg有且仅有 3 个根 方程0)(xff有且仅有 5 个根 方程0)(xgg有且仅有 4 个根 其中正确命题的序号（）A B.C.D.答案：D.【例 10】设函数 220log0 xxfxxx，函数 1yff x的零点个数为_.【变式训练 15】（2015-2016 武汉 14 中期中）对实数a和b，定义运算“”：,1,1a ababb ab 设函数22()(2)()f xxxx，xR，若函数()yf xc的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是

11、（）A3(,2(1,)2 B3(,2(1,)4 C11(1,)(,)44 D31(1,),)44 答案：B【变式训练 16】定义域和值域均为aa,（常数0a）的函数 xfy 和 xgy 的图像如图所示，给出下列四个命题：（1）方程 0 xgf有且仅有三个解；（2）方程 0 xfg有且仅有三个解；（3）方程 0 xff有且仅有九个解；（4）方程 0 xgg有且仅有一个解。那么，其中正确命题的个数是 。答案：（1）（4）【2015 高考真题】1.【2015 高考湖南，文 14】若函数()|22|xf xb有两个零点，则实数b的取值范围是_.【答案】02b【解析】由函数()|22|xf xb有两个零

12、点，可得|22|xb有两个不等的根，从而可得函数|22|xy 函数yb的图象有两个交点，结合函数的图象可得，02b，故答案为：02b.【考点定位】函数零点【名师点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解 2.【2015 高考安徽，文 14】在平面直角坐标系xOy中，若直线ay2与函数1|axy的图像只有一个交点，则a的值为 .【答案】12 【解析】在同一直

13、角坐标系内，作出12axyay与的大致图像，如下图：.由题意，可知2112aa【考点定位】本题主要靠数形结合思想，函数与方程、零点等基础知识.【名师点睛】本题根据题意作出函数1axy的大致图象是解决本题的关键，本题主要考查学生的数形结合的能力.【期中期末考试真题】1.（2015-2016 武汉重点中学期中联考）函数xxxf261)(的零点一定位于区间（）A.)4,3(B.)3,2(C.)2,1(D.)6,5(答案：B 2.（2015-2016 武汉外校期中）已知0 x是函数xxfx112)(的一个零点，若),1(01xx，),(02 xx，则（）A.0)(1xf，0)(2xf B.0)(1xf

14、，0)(2xf C.0)(1xf，0)(2xf D.0)(1xf，0)(2xf 答案：B 4.（2015-2016 武汉 19 中期中）若0 x是方程1312xx的解,则0 x属于区间（）A.2,13 B.1 2,2 3 C.1 1,3 2 D.10,3.答案：C 6.（2015-2016 武汉三中期中联考）x表示不超过x的最大整数，定义函数()f xxx.则下列结论中正确的是 （填正确的序号）.函数()f x的值域为0,1)；方程1()2f x 有无数个解；方程1()2f xx有二个解；若 关 于x的 方 程()f xkxk有 3 个 不 同 的 实 根，则 实 数k的 取 值 范 围 是11 1(1,)24 3.答案：