极坐标与参数方程326.pdf

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1、 坐标系与参数方程 1 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标 系中取相同的长度单位如图，设 M 是平面内的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则 xcos ysin，2x2y2tan yxx0.2 直线的极坐标方程 若直线过点 M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为 sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：；(2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过点 M(b，2)且平行于极轴：sin b.3 圆的极坐标方程 若圆心为 M(0，0)，半径为 r 的圆的方程为

2、220cos(0)20r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)圆心位于极点，半径为 r：r；(2)圆心位于 M(r,0)，半径为 r：2rcos；(3)圆心位于 M(r，2)，半径为 r：2rsin.4 直线的参数方程 过定点 M(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)5 圆的参数方程 圆心在点 M(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为 xx0rcos，yy0rsin(为参数，02)6 圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x2a2y2b21 的参数方程为 xacos，ybsin(为参数)(2)抛物线 y22px(p0)的参数方程为 x2p

3、t2y2pt.真题感悟 1(2013广东)已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 C 的参数方程为_ 2(2013江西)设曲线 C 的参数方程为 xtyt2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为_ 3 (2013湖北)在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的参数方程为 xacos ybsin(为参数，ab0)，在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 sin(4)22m(m

4、 为非零常数)与 b.若直线 l 经过椭圆 C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆 C 的离心率为_ 4(2011陕西)在直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A，B 分别在曲线 C1：x3cos，y4sin(为参数)和曲线 C2：1 上，则 AB 的最小值为_ 5(2012湖南)在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：xt1，y12t(t 为参数)与曲线 C2：xasin，y3cos(为参数，a0)有一个公共点在 x 轴上，则 a_.6.2014广东卷(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线 C1与 C2的方程分别为2cos2sin 与 cos 1

5、.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1与 C2交点的直角坐标为_ 72014湖南卷 在平面直角坐标系中，曲线 C：x222t，y122t(t 为参数)的普通方程为_ 8 2014陕西卷 C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点2，6到直线 sin61 的距离是_ 题型与方法 题型一 极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化 例 1 已知直线 l 的参数方程：xt，y12t(t 为参数)和圆 C 的极坐标方程：2 2sin4(为参数)(1)将直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线 l 和圆 C 的位置关

6、系 变式训练 1 已知直线 l 的参数方程是 x2t，y4ta(t 为参数)，圆 C 的极坐标方程为 4 2 cos4.(1)将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若圆上有且仅有三个点到直线 l 的距离为 2，求实数 a 的值 题型二 曲线的极坐标方程 例 2 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 cos31，M，N 分别为曲线 C 与 x 轴，y 轴的交点(1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；(2)设 M，N 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程 变式训练 2(2012辽宁)在直角坐标系 xOy 中

7、，圆 C1：x2y24，圆 C2：(x2)2y24.(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C1，C2的极坐标方程，并求出圆 C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆 C1与 C2的公共弦的参数方程 题型三 曲线的参数方程及应用 例 3 (2012福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 上两点 M，N 的极坐标分别为(2,0)，2 33，2，圆 C 的参数方程为 x22cos，y 32sin(为参数)(1)设 P 为线段 MN 的中点，求直线 OP 的平面直角坐标方程；(2)判断直线 l 与圆 C 的位

8、置关系 变式训练 3 已知直线 l 的参数方程是 x22ty22t4 2(t 是参数)，圆 C 的极坐标方程为 2cos(4)(1)求圆心 C 的直角坐标；(2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值 典例 (10 分)在直角坐标平面内，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M 的极坐标为4 2，4，曲线 C 的参数方程为 x12cos，y 2sin(为参数)(1)求直线 OM 的直角坐标方程；(2)求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值 规范解答 1 已知圆 C 的参数方程为 xcos，y1sin(为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建

9、立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin 1，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为 _ 2 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 xcos，y1sin(为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，曲线 C2的方程为(cos sin)10，则 C1与 C2的交点个数为_ 3 点 P(x，y)在曲线 x2cos ysin(为参数，R)上，则yx的取值范围是_ 4 若直线 l1：x12t，y2kt(t 为参数)与直线 l2：xs，y12s(s 为参数)垂直，则 k_.6(2012广东)在平面直角坐标系 xOy 中，

10、曲线 C1和 C2的参数方程分别为 xt，y t(t 为参 数)和 x 2cos，y 2sin(为参数)，则曲线 C1与 C2的交点坐标为_ 专题限时规范训练 一、填空题 1 曲线 C：x22cos y2sin(为参数)，若以点 O(0,0)为极点，x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系，则该曲线的极坐标方程是_ 2 已知两曲线参数方程分别为 x 5cos，ysin(00)，直线 l 的参数方程是 x3ty1t(t 为参数)，曲线 C 与直线 l 有一个公共点在 x 轴上，则曲线 C 的普通方程为_ 4 (2013重庆)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系

11、若极坐标方程为 cos 4 的直线与曲线 xt2，yt3(t 为参数)相交于 A，B 两点，则 AB _.二、解答题 5 设直线 l1的参数方程为 x1t，y13t(t 为参数)，直线 l2的方程为 y3x4，求 l1与 l2间的距离 6 在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆 x5cos，y3sin(为参数)的右焦点，且与直线 x42t，y3t(t 为参数)平行的直线的普通方程 7(2012江苏)在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P2，4，圆心为直线 sin332与 极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程 8 已知直线的极坐标方程为 sin422，圆 M 的参数方程 x2cos，y22sin(其

12、中 为参数)，极点在直角坐标原点，极轴与 x 轴正半轴重合(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求圆 M 上的点到直线的距离的最小值 9 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线 C：sin22acos(a0)，已知过点 P(2，4)的直线 l 的参数方程为 x222t，y422t，直线 l与曲线 C 分别交于 M，N 两点(1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程；(2)若 PM，MN，PN 成等比数列，求 a 的值 10(2013福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A 的极坐标为(2，4)，直线 l

13、 的极坐标方程为 cos(4)a，且点 A 在直线 l 上(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；(2)圆 C 的参数方程为 x1cos，ysin(为参数)，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系 2013、2014 年全国高考理科数学试题分类汇编：坐标系与参数方程 一、选择题 1 （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版）在极坐标系中,圆=2cosp的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A=0()cos=2R和 B=()cos=22R和 C=()cos=12R和 D=0()cos=1R和 二、填空题 2 （2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）

14、试题（含答案）已知圆的极坐标方程为4cos,圆心为C,点P的极坐标为4,3,则|CP|=_.3 （2013 年高考上海卷（理）在极坐标系中,曲线cos1与cos1的公共点到极点的距离为_ 4 （2013 年高考北京卷（理）在极坐标系中,点(2,6)到直线sin=2 的距离等于_.5 （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos4的直线与曲线23xtyt(为参数)相交于,A B两点,则_AB 6 （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版）(坐标系与参数

15、方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为2cos2sinxtyt(为参数),C在点 1,1处的切线为,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_.7 （2013 年高考陕西卷（理）C.(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆220yxx 的参数方程为_.POyx 8（2013 年高考江西卷（理）(坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为2xtyt(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c的极坐标方程为_ 9 （2013 年高考湖南卷（理）在平面直角坐标系xoy中,若,3cos,:(t)C:2sinxtx

16、lytay 为参数 过椭圆()为参数 的右顶点,则常数a的值为_.10 （2013 年 高 考 湖 北 卷（理）在 直 角 坐 标 系xOy中,椭 圆C的 参 数 方 程 为cossinxayb0ab为参数，.在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线与圆O的极坐标方程分别为2sin42mm为非零常数与b.若直线经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为_.三、解答题 11（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯 WORD 版含答案）选修 44;坐标系与参数方程 已知动点,P Q都在曲线2cos:2sinxCy(为

17、参数上,对应参数分别为 与)20(2,M为PQ的中点.()求M的轨迹的参数方程;()将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.12（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版）选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C,直线2C的极坐标方程分别为4sin,cos2 2.4.(I)求1C与2C交点的极坐标;(II)设P为1C的圆心,Q为1C与2C交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为 3312xtatRbyt 为参数,求,a b的值.13（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）

18、试题（纯 WORD 版）坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A的极坐标为(2,)4,直线的极坐标方程为cos()4a,且点A在直线上.(1)求a的值及直线的直角坐标方程;(2)圆 c 的参数方程为1 cossinxy,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.14（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD 版含附加题）C.选修 4-4:坐标系与参数方程本小题满分 10 分.在平面直角坐标系xoy中,直线的参数方程为tytx21(为参数),曲线 C 的参数方程为tan2tan22yx(为参数),试求直线与

19、曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.（2013 年高考新课标 1（理）选修 44:坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程为45cos55sinxtyt(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2sin.()把 C1的参数方程化为极坐标方程;()求 C1与 C2交点的极坐标(0,02).2014辽宁卷 选修 4-4：坐标系与参数方程 将圆 x2y21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C.(1)写出 C 的参数方程；(2)设直线 l：2xy20 与 C 的交点为 P1，P2，以 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立

20、极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程 2014新课标全国卷 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为2cos，0，2.(1)求 C 的参数方程；(2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y 3x2 垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标 232014全国新课标卷 选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 C：x24y291，直线 l：x2t，y22t(t 为参数)(1)写出曲线 C 的参数方程、直线 l 的普通方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值