椭圆问题中最值得关注的基本题型804.pdf

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1、1/20 椭圆问题中最值得关注的基本题型 题型分析高考展望 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多.分析历年的高考试题，在填空题、解答题中都涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握.对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解.常考题型精析 题型一 利用椭圆的几何性质解题 例 1 如图，焦点在 x 轴上的椭圆x24y2b21 的离心率 e12，F，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PFPA的最大值和最小值.点评 熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用 a、b、c 之间的关系和椭圆的对称性可构

2、造方程.变式训练 1(2014课标全国)已知点 A(0，2)，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 33，O 为坐标原点.(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程.2/20 题型二 直线与椭圆相交问题 例2(2015山东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，左，右焦点分别是 F1，F2.以 F1为圆心、以 3 为半径的圆与以 F2为圆心、以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 C 上.(1)求椭圆 C 的

3、方程；(2)设椭圆 E：x24a2y24b21，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 ykxm 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.()求OQOP的值；()求ABQ 面积的最大值.点评 解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决.求范围或最值问题，也可考虑求“交点”，由“交点”在椭圆内(外)，得出不等式，解不等式.变式训练 2(2014四川)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 F 为椭

4、圆 C 的左焦点，T 为直线 x3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点P，Q.证明 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)；当TFPQ最小时，求点 T 的坐标.题型三 利用“点差法，设而不求思想”解题 3/20 例 3 已知椭圆x22y21，求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程.点评 当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用“点差法”来求解.变式训练3(2015扬州模拟)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e55，直线 l 交椭圆于 M，N 两点.(1)若直线 l 的方程为 yx4，求弦 MN

5、 的长.(2)如果BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式.高考题型精练 1.(2015课标全国改编)已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线 C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 AB_.2.(2014大纲全国改编)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为33，过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点.若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为_.3.(2014福建改编)设 P，Q 分别为圆 x2(y6)22 和椭圆x210y21 上的点，则 P，Q 两点间的最

6、大距离是_.4.若椭圆和双曲线具有相同的焦点 F1，F2，离心率分别为 e1，e2，P 是两曲线的一个公共点，4/20 且满足 PF1PF2，则1e211e22的值为_.5.椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点为 F1，F2，M 为椭圆上一点，且MF1MF2的最大值的取值范围是c2,2c2，其中 c 是椭圆的半焦距，则椭圆的离心率取值范围是_.6.(2014辽宁)已知椭圆 C：x29y241，点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则 ANBN_.7.(2014江西)过点 M(1,1)作斜率为12的直线与椭圆 C：

7、x2a2y2b21(ab0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于_.8.(2014安徽)设 F1，F2分别是椭圆 E：x2y2b21(0bb0)的左，右焦点，顶点 B 的坐标为(0，b)，连接 BF2并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连结F1C.(1)若点 C 的坐标为43，13，且 BF2 2，求椭圆的方程；(2)若 F1CAB，求椭圆离心率 e 的值.10.(2015重庆)如图，椭圆x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点分别为 F1，5/20 F2，过 F2的直线交椭圆于 P、Q 两点，且 PQPF1.(1)若 P

8、F12 2，PF22 2，求椭圆的标准方程；(2)若 PF1PQ，求椭圆的离心率 e.11.(2015陕西)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的半焦距为 c，原点 O 到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆 E 的离心率；(2)如图，AB 是圆 M：(x2)2(y1)252的一条直径，若椭圆 E 经过 A，B 两点，求椭圆 E 的方程.12.(2015泰州模拟)已知椭圆 G：x2a2y2b21(ab0)的离心率为63，右焦点为(2 2，0).斜率为6/20 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(3,2).(

9、1)求椭圆 G 的方程；(2)求PAB 的面积.7/20 答案精析 第 29 练 椭圆问题中最值得关注的基本题型 常考题型典例剖析 例 1 解 设 P 点坐标为(x0，y0).由题意知 a2，eca12，c1，b2a2c23.所求椭圆方程为x24y231.2x02，3y0 3.又 F(1,0)，A(2,0)，PF(1x0，y0)，PA(2x0，y0)，PFPAx20 x02y2014x20 x0114(x02)2.当 x02 时，PFPA取得最小值 0，当 x02 时，PFPA取得最大值 4.变式训练 1 解(1)设 F(c,0)，由条件知，2c2 33，得 c 3.又ca32，所以 a2，b

10、2a2c21.故 E 的方程为x24y21.(2)当 lx 轴时不合题意，故设 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将 ykx2 代入x24y21 得(14k2)x216kx120.当 16(4k23)0，即 k234时，8/20 x1,28k24k234k21.从而 PQk21|x1x2|4k214k234k21.又点 O 到直线 PQ 的距离 d2k21，所以OPQ 的面积 SOPQ12dPQ44k234k21.设4k23t，则 t0，SOPQ4tt244t4t.因为 t4t4，当且仅当 t2，即 k72时等号成立，且满足 0，所以，当OPQ 的面积最大时 l 的方程为 y7

11、2x2 或 y72x2.例 2 解(1)由题意知 2a4，则 a2，又ca32，a2c2b2，可得 b1，所以椭圆 C 的方程为x24y21.(2)由(1)知椭圆 E 的方程为x216y241.()设 P(x0，y0)，OQOP，由题意知 Q(x0，y0).因为x204y201，又x0216y0241，即24x204y201，所以 2，即OQOP2.()设 A(x1，y1)，B(x2，y2).将 ykxm 代入椭圆 E 的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，9/20 由 0，可得 m2416k2，则有 x1x28km14k2，x1x24m21614k2.所以|x1x2|416k24

12、m214k2.因为直线 ykxm 与 y 轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB 的面积 S12|m|x1x2|216k24m2|m|14k2216k24m2m214k2 24m214k2m214k2.设m214k2t，将 ykxm 代入椭圆 C 的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由 0，可得 m214k2.由可知 0t1，因此 S24tt2t24t，故 S2 3，当且仅当 t1，即 m214k2时取得最大值 2 3.由()知，ABQ 面积为 3S，所以ABQ 面积的最大值为 6 3.变式训练 2(1)解 由已知可得 a2b22b，2c2a2b24，解得 a26，b22，10/20

13、 所以椭圆 C 的标准方程是x26y221.(2)证明 由(1)可得 F 的坐标是(2,0)，设 T 点的坐标为(3，m)，则直线 TF 的斜率 kTFm032m.当 m0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ1m，直线 PQ 的方程是 xmy2.当 m0 时，直线 PQ 的方程是 x2，也符合 xmy2 的形式.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得 xmy2，x26y221.消去 x，得(m23)y24my20，其判别式 16m28(m23)0，所以 y1y24mm23，y1y22m23，x1x2m(y1y2)412m23.所以 PQ 的中点 M

14、的坐标为(6m23，2mm23).所以直线 OM 的斜率 kOMm3.又直线 OT 的斜率 kOTm3，所以点 M 在直线 OT 上，因此 OT 平分线段 PQ.解 由可得 TFm21，PQx1x22y1y22 m21y1y224y1y2 11/20 m214mm23242m23 24m21m23.所以TFPQ124m232m21 124m214m214 1244433.当且仅当 m214m21，即 m1 时，等号成立，此时TFPQ取得最小值.所以当TFPQ最小时，T 点的坐标是(3,1)或(3，1).例 3 解 设弦的两端点分别为 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点为 R(x，

15、y)，则 x212y212，x222y222，两式相减并整理可得，y1y2x1x2x1x22y1y2x2y，将y1y2x1x22 代入式，得所求的轨迹方程为 x4y0(2x0)，与椭圆方程x210y21 联立得方程组，消掉 x2得 9y212yr2460.令 12249(r246)0，解得 r250，即 r5 2.由题意易知 P，Q 两点间的最大距离为 r 26 2.4.2 解析 由题意设焦距为 2c，椭圆的长轴长为 2a，双曲线的实轴长为 2m，不妨令 P 在双曲线的右支上.由双曲线的定义知|PF1|PF2|2m，由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a，又 PF1PF2，F1PF290，|PF

16、1|2|PF2|24c2，式的平方加上式的平方得|PF1|2|PF2|22a22m2，由得 a2m22c2，即a2c2m2c22，1e211e222.5.33，22 解析 设 M(x0，y0)，则MF1(cx0，y0)，MF2(cx0，y0)，MF1MF2x20c2y20 x20c2b21x20a21b2a2x20c2b2c2a2x20c2b2.x0a，a，当 x0a 时，MF1MF2有最大值 b2，14/20 c2b22c2，c2a2c22c2，2c2a23c2，13c2a212，e33，22.6.12 解析 椭圆x29y241 中，a3.如图，设 MN 的中点为 D，则 DF1DF22a6

17、.D，F1，F2分别为 MN，AM，BM 的中点，BN2DF2，AN2DF1，ANBN2(DF1DF2)12.7.22 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x21a2y21b21，x22a2y22b21，x1x2x1x2a2y1y2y1y2b20，y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2.y1y2x1x212，x1x22，y1y22，b2a212，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，ca22.8.x232y21 解析 设点 B 的坐标为(x0，y0).15/20 x2y2b21，F1(1b2，0)，F2(1b2，0).AF2x 轴，A(1b2，b2).AF

18、13F1B，AF13F1B，(21b2，b2)3(x01b2，y0).x0531b2，y0b23.点 B 的坐标为531b2，b23.将 B531b2，b23代入 x2y2b21，得 b223.椭圆 E 的方程为 x232y21.9.解 设椭圆的焦距为 2c，则 F1(c,0)，F2(c,0).(1)因为 B(0，b)，所以 BF2b2c2a.又 BF2 2，故 a 2.因为点 C43，13在椭圆上，所以169a219b21，解得 b21.故所求椭圆的方程为x22y21.(2)因为 B(0，b)，F2(c,0)在直线 AB 上，所以直线 AB 的方程为xcyb1.解方程组 xcyb1，x2a2

19、y2b21，得 x12a2ca2c2，y1bc2a2a2c2，x20，y2b.所以点 A 的坐标为2a2ca2c2，bc2a2a2c2.16/20 又 AC 垂直于 x 轴，由椭圆的对称性，可得点 C 的坐标为2a2ca2c2，ba2c2a2c2.因为直线 F1C 的斜率为ba2c2a2c202a2ca2c2cba2c23a2cc3，直线 AB 的斜率为bc，且 F1CAB，所以ba2c23a2cc3bc1.又 b2a2c2，整理得 a25c2.故 e215，因此 e55.10.解(1)由椭圆的定义，得 2aPF1PF2(2 2)(2 2)4，故 a2.设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1PF

20、2，因此 2cF1F2PF21PF22 2 222 222 3，即 c 3，从而 ba2c21.故所求椭圆的标准方程为x24y21.(2)方法一 如图，设点 P(x0，y0)在椭圆上，且 PF1PF2，则 x20a2y20b21，x20y20c2，求得 x0ac a22b2，y0b2c.由 PF1PQPF2得 x00，从而 17/20 PF21aa22b2cc2b4c2.2(a2b2)2aa22b2(aa22b2)2.由椭圆的定义，PF1PF22a，QF1QF22a，从而由 PF1PQPF2QF2，有 QF14a2PF1.又由 PF1PQ，PF1PQ，知 QF1 2PF1，因此，(2 2)PF

21、14a，即(2 2)(aa22b2)4a，于是(2 2)(12e21)4，解得 e 12142 212 6 3.方法二 如图，由椭圆的定义，得 PF1PF22a，QF1QF22a.从而由 PF1PQPF2QF2，有 QF14a2PF1.又由 PF1PQ，PF1PQ，知 QF1 2PF1，因此，4a2PF1 2PF1，得 PF12(2 2)a，从而 PF22aPF12a2(2 2)a2(21)a.由 PF1PF2，知 PF21PF22F1F22(2c)2，因此 ecaPF21PF222a 2 22 212 96 2 6 3.11.解(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为 bxcybc0，1

22、8/20 则原点 O 到该直线的距离 dbcb2c2bca，由 d12c，得 a2b2a2c2，解得离心率ca32.(2)方法一 由(1)知，椭圆 E 的方程为 x24y24b2.依题意，圆心 M(2,1)是线段 AB 的中点，且 AB 10.易知，AB 与 x 轴不垂直，设其方程为 yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28k2k114k2，x1x242k124b214k2，由 x1x24，得8k2k114k24，解得 k12，从而 x1x282b2.于是 AB 1122|x1x2|52x1x224x1

23、x210b22，由 AB 10，得10b22 10，解得 b23，故椭圆 E 的方程为x212y231.方法二 由(1)知，椭圆 E 的方程为 x24y24b2，依题意，点 A，B 关于圆心 M(2,1)对称，且 AB 10，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x214y214b2，x224y224b2，两式相减并结合 x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0，易知 AB 与 x 轴不垂直，则 x1x2，所以 AB 的斜率 kABy1y2x1x212，19/20 因此直线 AB 的方程为 y12(x2)1，代入得 x24x82b20，所以 x1x24，x1x282b2，

24、于是 AB 1122|x1x2|52x1x224x1x210b22.由 AB 10，得10b22 10，解得 b23，故椭圆 E 的方程为x212y231.12.解(1)由已知得 c2 2，ca63，解得 a2 3.又 b2a2c24，所以椭圆 G 的方程为x212y241.(2)设直线 l 的方程为 yxm，由 yxm，x212y241.消去 y 得 4x26mx3m2120.设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB 中点为 E(x0，y0)，则 x0 x1x223m4，y0 x0mm4.因为 AB 是等腰PAB 的底边，所以 PEAB，所以 PE 的斜率 k2m433m41，解得 m2.此时方程为 4x212x0，解得 x13，x20，所以 y11，y22.所以 AB3 2，又点 P(3,2)到直线 AB：xy20 的距离 d|322|23 22.20/20 所以PAB 的面积 S12ABd92.