无锡新领航教育咨询有限公司2013届高三数学综合问题(二)(教师版).pdf

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1、.1/10 1 已知1)6()(23xaaxxxf既有极大值又有极小值,则a的取值 X 围为 答案63aa或 解析本试题主要是考查了一元二次函数极值的问题.fx=x3+ax2+a+6x+1fx=3x2+2ax+a+6,函数 fx=x3+ax2+a+6x+1既有极大值又有极小值,=2a2-43a+60,a6 或 a-3,故选 D 解决该试题的关键是一元三次函数有两个极值,则说明其导数为零的方程中,判别式大于零.2函数2()sin22 3cos3f xxx,函数()cos(2)23(0)6g xmxmm,若存在12,0,4xx,使得12()()f xg x成立,则实数 m 的取值 X 围是 答案2

2、,23 解析本试题主要是考查了三角函数的性质的运用.因为函数2()sin22 3cos3sin23cos22sin(2)3f xxxxxx,当510,2,sin(2),1()1,2433632xxxf x,函数()cos(2)23(0)6g xmxmm,2,33 6x ,3cos(2),()3,3622mmmxmg xm,若存在12,0,4xx,使得12()()f xg x成立,则 3-m1,332m2,实数 m 的取值 X 围2,23解决该试题的关键是理解存在12,0,4xx,使得12()()f xg x成立的含义.3 若函数()sin3cos()f xxxxR,又()2,()0ff,且的最

3、小值为34,则正数的值是23 解析因为函数()sin3cos2sin()()3f xxxxxR,因为()2,()0ff,的小值为34,即3TT344,那么可知 w=23 4 已知,A B C三点的坐标分别是(3,0)A,(0,3)B,(cos,sin)C,3(,)22,若1AC BC,则21tan2sinsin2的值为 解析因为向量.2/10(cos3,sin),(cos,sin3),cos(cos3)sin(sin3)125cossin2cossin39 ACBCAC BC所以21tan192sinsin22sincos5 5 如图,在矩形ABCD中,22ABBC，点E为BC的中点,点F在边

4、CD上,且2DCDF,则AEBF的值是 答案2 解析本试题主要是考查了平面向量的几何运用,以与平面向量基本定理的运用.根据已知条件可知,矩形ABCD中,22ABBC，点E为BC的中点,那么且2DCDF,则利用向量的加法运算可知 故答案为2.解决该试题的关键是将所求的向量表示为基底向量的关系式,然后求解得到.6 方程2210 xx 的解可视为函数2yx的图像与函数1yx的图像交点的横坐 标.若 方 程440 xax的 各 个 实 根12,(4)kx xx k 所 对 应 的 点4,iixxi=1,2,k均在直线yx的同侧不包括在直线上,则实数a的取值 X 围是_.答案6a 或6a 解析本题综合考

5、查了反比例函数,反比例函数与一次函数图象的交点问题,数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质 因为方程的根显然 x0,原方程等价于 x3+a=4x 原方程的实根是曲线 y=x3+a 与曲线 y=4x的交点的横坐标,而曲线 y=x3+a 是由曲线 y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的,若交点 i=1,2,k 均在直线 y=x 的同侧,因直线 y=x与 y=4x交点为：-2,-2,2,2；所以结合图象可得 a0,x3+a-2,x-2,或 a0,x3+a2,解得 a6 或 a-6故答案为：a6 或 a-6.解决该试题的关键是将原方程等价于 x3+a

6、=4x,分别作出左右两边函数的图象：分 a0 与 a.3/10 0 讨论,可得答案.7 已知函数32239124,1,()1,1,xxxxf xxx若2(21)(2)fmf m,则实数m的取值 X 围是 答案(1,3)解析本试题主要考查了分段函数的单调性的运用.因为函数32239124,1,()1,1,xxxxf xxx,可知32223239124,1,918129(1)3039124yxxxxyxxxyxxx 1在x内递增,而21,1yxx结合二次函数性质可知也是定义域上递增函数,故该分段函数在给定定义域内递增,若22(21)(2)21213 fmf mmmm,则实数m的取值 X 围(1,3

7、).解决该试题的关键是判定函数的单调性,利用单调性的定义解决抽象不等式的解.8 在平面直角坐标系中,定义1212(,)d P Qxxyy为两点11(,)P x y,22(,)Q xy之间的折线距离.则坐标原点O与直线22 50 xy上一点的折线距离的最小值是_；圆221xy上一点与直线22 50 xy上一点的折线距离的最小值是_.答案5,52 解 析 132 5522 52 5 0532 50 xxdxxxxxx ,画图可知5x 时,d取最小值.2设圆上点cos,sinP,直线上点,Q x y,则sincossincos252dxyxx.4/10 sin3cossin2 552sincossi

8、n2 5 cos523cossin2 5cosxxxxxx ,9 设函数2()lnf xaxbx,a bR 1若函数)(xf在1x 处与直线21y相切；#数,a b的值；求函数,1)(eexf在上的最大值;2当0b 时,若不等式xmxf)(对所有的2,1,23,0exa都成立,#数m的取值 X 围.答案解：1112abmax1()(1)2f xf 2221,1,xeex 2min()mxe 解析本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用.1因为()2afxbxx函数()f x在1x 处与直线12y 相切(1)20,1(1)2fabfb 解得 a,b 的值.并且22111()ln,()2xf xx

9、xfxxxx,求导数的符号与函数单调性的关系得到最值.2 因为当 b=0 时,()lnf xax若不等式()f xmx对所有的230,1,2axe都成立,则lnaxmx对所有的230,1,2axe都成立,即,lnxxam对所有的2,1,23,0exa都成立转化与化归思想的运用.10已知函数()xeaf xx,()lng xaxa.1a 时,求()()()F xf xg x的单调区间；.5/10 若1x 时,函数()yf x的图象总在函数()yg x的图象的上方,#数a的取值 X 围.答案.解：1()F x的单增区间为1,；单减区间为0,1.2实数a的取值 X 围12ae 解析本题考查了利用导数

10、求函数的单调区间的方法,已知函数的单调区间求参数 X 围的方法,体现了导数在函数单调性中的重要应用；不等式恒成立问题的解法,转化化归的思想方法 1先求函数的导函数 fx,并将其因式分解,便于解不等式,再由 fx0,得函数的单调增区间,由 fx0,得函数的单调减区间 2 构造()()()(1)F xf xg x x,即()ln(1)xeaF xaxa xx,研究最小值大于零即可.11 本小题满分 14 分已知函数)(xf=)(1lnRaxax,xxexg1)(.1求函数)(xg在区间,0(e上的值域；2是否存在实数a,对任意给定的,0(0ex,在区间,1 e上都存在两个不同的)2,1(ixi,使

11、得)()(0 xgxfi成立.若存在,求出a的取值 X 围；若不存在,请说明理由.3给出如下定义：对于函数)(F xy 图象上任意不同的两点),(),(2211yxByxA,如果对 于 函 数)(F xy 图 象 上 的 点),(00yxM 其 中)2210 xxx总 能 使 得)(F)(F)(F21021xxxxx成立,则称函数具备性质 L,试判断函数)(xf是不是具备性质L,并说明理由.答案1值域为 1,0(.2满足条件的a不存在.3函数)(xf不具备性质L.解析本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用.1因为)1()(111xexeexgxxx,然后分析导数的正负,然后判定单调性得到值域

12、.2令)(xgm,则由1可得 1,0(m,原问题等价于：对任意的 1,0(mmxf)(在,1 e上总有两个不同的实根,故)(xf在,1 e不可能是单调函数,对于参数 a 讨论得到结论.3结合导数的几何意义得到结论.1)1()(111xexeexgxxx,当)1,0(x时,0)(xg,),1(ex.6/10 时,0)(xg)(xg在 区 间 1,0(上 单 调 递 增,在 区 间),1 e上 单 调 递 减,且eeeggg2)(1)1(,0)0(,)(xg 的值域为 1,0(.3 分 2令)(xgm,则由1可得 1,0(m,原问题等价于：对任意的 1,0(mmxf)(在,1 e上总有两个不同的实

13、根,故)(xf在,1 e不可能是单调函数 5 分 当0a时,01)(xaxf,)(xf在区间,1 e上递减,不合题意;当1a时,0)(xf,)(xf在区间,1 e上单调递增,不合题意;当ea10时,0)(xf,)(xf在区间,1 e上单调递减,不合题意;当ea11即11 ae时,)(xf在区间1,1 a上单调递减;)(xf在区间,1ea上单递增,由上可得)1,1(ea,此时必有)(xf的最小值小于等于 0 且)(xf的最大值大于等于 1,而由0ln2)1()(minaafxf可得21ea,则a.综上,满足条件的a不存在.8 分 3设函数)(xf具备性质L,即在点M处地切线斜率等于ABk,不妨设

14、210 xx,则21212121212121lnln)ln(ln)(xxxxaxxxxxxaxxyykAB,而)(xf在点M处的切线斜率为212102)2()(xxaxxfxf,故有2121212lnlnxxxxxx.10 分 即1)1(2)(2ln2121212121xxxxxxxxxx,令)1,0(21xxt,则上式化为0214lntt,令)(tF214lntt,则由0)1()1()1(41)(22ttttttF可得)(tF在)1,0(上单调递增,故0)1()(FtF,即方程0214lntt无解,所以函数)(xf不具备性质L.14 分.7/10 12 已知函数sincossincosyxx

15、xx,求0,3x时函数y的最值.答案max122ymin1y 解析本试题主要是考查了三角函数中三角恒等变换的综合运用 1根据已知条件可知设sincosxxt,那么可知21sincos2txx,因此原式可知化为22111222tyttt ,结合 t 的 X 围,得到二次函数的最值.解：令sincosxxt,则21sincos2txx,13 本小题满分 12 分 设11(,)A x y、22(,)B xy是函数32()222xf x 图象上任意两点,且121xx 求12yy的值；若12(0)()()()nnTffffnnn其中*nN,求nT；在的条件下,设2nnaT*nN,若不等式2nnnnaaa

16、a1211log(12)2aa对任意的正整数 n 恒成立,#数 a 的取值 X 围 答案2；1nTn)12,0(.解析本试题主要是考查了函数的性质和数列的综合运用.1因为12yy123232222222xx12223()2222xx,通分合并得到结论.2由可知,当121xx时,122yy,由12(0)()()()nnTffffnnn得,21()()()(0)nnTffffnnn,然后倒序相加法得到结论.3由得,221nnaTn,不等式2log(2)nnnnaaaaaa121112即为2221log(12)1222aannn,运用放缩法得到结论.12yy123232222222xx12223()

17、2222xx 12121242(22)322(22)2xxxxxx121242(22)322(22)2xxxx2 4 分 由可知,当121xx时,122yy,.8/10 由12(0)()()()nnTffffnnn得,21()()()(0)nnTffffnnn,112(0)()()()()(0)2(1)nnnnTffffffnnnnn,1nTn 8 分 由得,221nnaTn,不等式2log(2)nnnnaaaaaa121112即为2221log(12)1222aannn,设nH nnn222212,则 1nH222222322122nnnnn,1222220212(1)12122nnHHnn

18、nnn,数列nH是单调递增数列,min1()1nHT,10 分 要使不等式恒成立,只需1log(12)12aa,即2log(1 2)logaaaa,201,120,12aaaa 或21,120,12,aaaa 解得120 a.故使不等式对于任意正整数 n 恒成立的a的取值 X 围是)12,0(.12 分 14已知数列na满足递推式)2(121naann,其中.154a 求321,aaa；是等比数列，求证数列1na并求数列na的通项公式；已知数列nb有1nnanb求数列nb的前 n 项和nS.答案73a1,312aa 数列na的通项公式为12 nna nnnnS22121 解 析 把.154a代

19、 入)2(121naann可 求 得321,aaa；由)2(121naann得)1(211nnaa,又211a,所以1na 数列是等比数列,.9/10 由首项和公比可求出数列na的通项公式；把12 nna代入1nnanb得nb=nn2,错位相减法求和 15 已知函数4()log(41)()xf xkx kR是R上的偶函数 1求的值;2 设44()log(2)3xg xaa,若函数与的图象有且只有一个公共点,#数的取值 X 围 答案1；2.解析本题考查对数函数的性质和应用,以与函数与函数的交点问题的运用,解题时要认真审题,注意函数的奇偶性的合理运用 1利用函数是偶函数,可知 f=f,列方程得到参

20、数 k 的值.2 函数图像有且仅有一个交点,那么则有方程只有一个实根,那么转换化归可知参数 a 的 X围.解：1由函数是偶函数可知：2 分 即对一切恒成立 4分 5 分 2函数与的图象有且只有一个公共点 即方程有且只有一个实根 7分 化简得：方程有且只有一个实根 令,则方程有且只有一个正根 9 分 k()f x()g xa12k 3(1,)()f x()()f xfx44log(41)log(41)xxkxkx441log241xxkx 2xkx xR12k()f x()g x4414log(41)log(2)23xxxaa142223xxxaa20 xt 24(1)103atat.10/10,不合题意；10 分 或11分 若,不合题意；若12 分 一个正根与一个负根,即 综上：实数的取值 X 围是13 分 314at 304a 33142at 132at 1011aaa 3(1,)