等腰三角形的分类讨论673.pdf

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1、 1 初中数学等腰三角形的分类讨论 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。一.遇角需讨论 例 1.已知等腰三角形的一个内角为 75则其顶角为（）A.30 B.75 C.105 D.30或 75 二.遇边需讨论 例 2.已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于 6，则它的周长等于_。三.遇中线需讨论 例 3.若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9cm 和 12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。四.遇高需讨论 例 4.等腰三

2、角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 45，求这个等腰三角形的顶角的度数。简析：依题意可画出图 1 和图 2 两种情形。图 1 中顶角为 45，图 2 中顶角为 135。例 5.为美化环境，计划在某小区内用230m的草皮铺设一块一边长为 10m的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。五.遇中垂线需讨论 例 6.在ABC 中，AB=AC，AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50，则底角B=_。2 六.和方程问题的综合讨论 例7.已 知 ABC的 两 边AB，AC的 长 是 关 于x的 一 元 二 次 方 程023)32(22kkxkx 的两个实数根，第三边 BC 长为

3、 5。（1）k为何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？（2）k为何值时，ABC 是等腰三角形，并求ABC 的周长。七、找点构造等腰三角形需讨论 例 8 在直角坐标系中，O 为坐标原点，A（1,1）；在坐标轴上确定一点 P，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的点 P 共有（）A、4 个 B、6 个 C、8 个 D、1 个 等腰三角形中的分类讨论 1三角形中常见的分类问题 I（1）等腰三角形两个内角的度数之比为 1:2，这个等腰三角形底角的度数为_；（2）等腰ABC 的周长为 13，AB=5，则 BC=_；（3）等腰ABC 的周长为 16，AB=4，则 BC=_.2三角形中常见的分类问题

4、 II（1）等腰三角形一腰上的高等于某条边的一半，则它的顶角是_度；（2）等腰三角形一边上的高等于底边的一半，则它的顶角是_度；（3）一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角的度数是_.3三角形的剖分（1）已知等腰三角形 ABC 中，AB=AC，D 为 BC 边上一点，连结 AD，若ACD和ABD 都是等腰三角形，则C 的度数是_；（2）有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为_；（3）ABC 中，AB=AC，过ABC 某一顶点的直线可将ABC 分成两个等腰三角形，试求ABC 各内角的度数。3 （4）一个三角形可

5、被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为 36，求原三角形最大内角的所有可能值。4、分类讨论题练习 5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为20，则它的底角为 ，当腰上的高与底的夹角为60时，则它的底角为 ；若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50，它的底角为 6、等腰三角形周长为 13cm，其中一边长为 3cm，则该等腰三角形的底边长为 7、等腰三角形ABC的腰AC上的中线BD把ABC的周长分为 12cm 和 21cm 两部分，则底边BC 8已知ABC中，ABAC，DC是AB上的高，且ACD恰好为等腰三角形，则BCD 9已知E，F是 RtABC斜边AB上的两点，且AFAC，BEBC，则E

6、CF 等腰三角形中的分类讨论（一）复习回顾 1、定义：有_边相等的三角形叫做等腰三角形。2、性质：从边来看，等腰三角形两条腰_；从角来看，等腰三角形的两个底角_ 从内部的线来看，等腰三角形的顶角_，底边上的_，底边上的_ 互相重合(简称“三线合一”)；从对称性来看，等腰三角形是轴对称图形，有_条对称轴 A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、1 或 3 条 3、三角形的高分为形内高和形外高；锐角三角形的三条高线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高线的交点是直角顶点；钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部。（二）交流展示 1、遇角分类（1）已知等腰三角形的顶角是 70，则底角的度数

7、是_（2）已知等腰三角形的一内角是 70，则底角的度数是_（3）已知等腰三角形的一内角是 100，则底角的度数是_（4）已知等腰三角形的一个外角为 40，则其顶角为 。（5）已知等腰三角形的一个外角为 100，则其顶角为 。（6）等腰三角形的一个角是另一个角的 4 倍，求它的各个内角的度数。等腰三角形中涉及到角的问题时，可以按顶角、底角分类讨论。（但要利用三角形内角和判断三角形是否存在。）2、遇边分类 4 例：（1）一 个 等 腰 三 角 形 两 边 长 分 别 为 4 和 5，则 它 的 周 长 等 于_ 。（2）一 个 等 腰 三 角 形 两 边 长 分 别 为3 和 7，则 它 的 周

8、长 等于 。变式训练：（1）如果一个等腰三角形的周长为 24，一边长为 10，则另两边长为 。（2）如果一个等 腰三角形的周长为 24，一 边长为 6，则另两边长为 。等腰三角形中涉及到边的问题时，可以按照腰、底边来分类讨论。（但要利用三角形三边关系来判断三角形是否存在。）。例：若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9cm 和 12cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长 。变式训练：（1）若一个等腰三角形的底边为 5，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3，则这个等腰三角形的腰长为 。（2）若一个平行四边形一个内角的平分线分对边为 4 和 5 两部分，则这个平行四边形的周长为 。3、遇高分类 例

9、 4.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 45，求这个等腰三角形的顶角的度数。下面是两位学生的探讨过程：学习了等腰三角形内容后，李老师布置了一道题：等腰三角形上的高与另一腰的夹角为 30，求顶角的度数 小王说：“顶角的度数应为 60”；小张说：“应该等于 120吧”这时许多同学一起来议论（1）假如你也参加了讨论，你的意见如何？为什么？（2）通过上面问题的讨论，结合平时的学习，写写自己的想法（用一句话表示）变式训练：1、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 25，求此三角形的顶角的度数_ 2、等腰三角形的一个内角为40，则一腰上的高与底边的夹角为 。等腰三角形中涉及到高的问题时，可以按照三

10、角形类型来分类讨论。说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。4、遇垂直平分线分类 在ABC 中，AB=AC，AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50，则底角B=_。链接：线段 AB 的垂直平分线上有两点 C、D，若CAB=50，DAB=80，则CAD=。5、能力提升 当等腰三角形被一条直线分割成两个较小的三角形也是等腰三角形时，原等腰三角形的顶角度数是多少？这条直线怎样画？（讨论所有可能的解，并逐一画图表示）5 直线经过底角顶点时为 36、180/7；直线经过顶点时为 90、108 如图，在A

11、BC中，,ABAC，点D在线段BC上运动（D 不与 B、C 重合），连接 AD，作ADEB，DE交线段AC于E。在点 D 的运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出BDA的度数，并说明理由。如图，在直线 l 上找一点 C 使得ABC为等腰三角形，这样的点 C 有 个。（四）课堂检测 1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 55，求这个等腰三角形的顶角的度数。2、已知等腰三角形的一个内角为 75，则其顶角为（）A.30 B.75 C.105 D.30或 75 3、已知等腰三角形的一个外角等于 150，求它的各个内角的度数 4、若一个等腰三角形的一个内角为 105，则另两个

12、角的度数为 。5、已知等腰三角形的两边长分别为 8cm 和 10cm，则它的周长为_ 6、已知等腰三角形的两边长分别为 3cm 和 7cm，则它的周长为_ 7、等腰三角形的周长为 14，其一边长为 4，那么它的底边长为_ 8、等腰三角形底边为 5cm，一腰上的中线把周长分为两部分的差为 3cm.求腰长 在ABC 中，AB=AC，AB 边上的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得的锐角为40，求B 的度数 关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨 一、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 例 1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为 8cm 和 10cm，求周长。（2）等腰三角形的两边长分别为 3

13、cm 和 7cm，求周长。二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 例 2、等腰三角形的一个角是另一个角的 4 倍，求它的各个内角的度数；例 3、已知等腰三角形的一个外角等于 1500，求它的各个内角。三、当高的位置关系不确定时，必须分类讨论 例 4、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 250，求这个三角形的各个内角的度数。A B C 备用图 45 D A B C E 6 四、由腰的垂直平分线所引起的分类讨论 图 3 例 5、在三角形 ABC 中，AB=AC，AB 边上的垂直 平分线与 AC 所在的直线相交所得的锐角为400，求底角 B 的度数。分析：题目中 AB 边上的垂直平分线与直线

14、 AC 相交有两种情形；图 4 解：（。（2）如图 5，AB 边的垂直（3）五、由腰上的中线引起的分类讨论 例 6、等腰三角形底边为 5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3cm，求腰长。六、几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题 例 7、已知 C、D 两点在线段 AB 的中垂线上，且ACB=500，ADB=800，求CAD 的度数。A BCDEA BCDEC BA 例 8、如图 9，已知ABC 中，BCABAC，ACB=400，如果 D、E 是直线 AB 上的两点，且 AD=AC，BE=BC，求DCE 的度数。图 9 解：（1）当点 D、E 在点 A 的同侧，且都在 BA 的延长线上时，如图 10，AB C400ED AB CD C BADE C BADE 40ADE0B C 7 图 10 图 11（2）当点 D、E 在点 A 的同侧，且点 D 在 D的位置，E 在 E的为时，如图 11，（3）当点 D、E 在点 A 的两侧，且 E 点在 E的位置时，如图 12，图 12 图 13 C BADE DC BAE