第十章曲线积分49.pdf

《第十章曲线积分49.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十章曲线积分49.pdf（26页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第十章 曲线积分 1/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分与曲面积分 10.1 对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量 设一曲线形构件所占的位置在 xOy 面内的一段曲线弧 L 上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)求曲线形构件的质量 把曲线分成 n 小段 s1 s2 sn(si也表示弧长)任取(i i)si 得第 i 小段质量的近似值(i i)si 整个物质曲线的质量近似为iiinisM),(1 令maxs1 s2 sn0 则整个物质曲线的质量为 iiinisM),(lim10 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到 定义 设 L 为 xO

2、y 面内的一条光滑曲线弧 函数 f(x y)在 L 上有界 在 L 上任意插入一点列 M1 M2 Mn1把 L 分在 n 个小段.设第 i 个小段的长度为si 又(i i)为第 i 个小段上任意取定的一点 作乘积 f(i i)si(i1 2 n)并作和iiinisf),(1 如果当各小弧段的长度的最大值0 这和的极限总存在 则称此极限为函数 f(x y)在曲线弧 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分 记作dsyxfL),(即iiiniLsfdsyxf),(lim),(10 其中 f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段 第十章 曲线积分 2/26 教 学 内 容 批注 设函数 f(x y)

3、定义在可求长度的曲线 L 上 并且有界 将 L 任意分成 n 个弧段 s1 s2 sn 并用si表示第 i 段的弧长 在每一弧段si上任取一点(i i)作和iiinisf),(1 令maxs1 s2 sn 如果当0 时 这和的极限总存在 则称此极限为函数 f(x y)在曲线弧 L 上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分 记作dsyxfL),(即 iiiniLsfdsyxf),(lim),(10 其中 f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段 曲线积分的存在性 当 f(x y)在光滑曲线弧 L 上连续时 对弧长的曲线积分dsyxfL),(是存在的 以后我们总假定 f(x y)在 L 上是连续的

4、根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分dsyxL),(的值 其中(x y)为线密度 对弧长的曲线积分的推广 iiiinisfdszyxf),(lim),(10 如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定 dsyxfdsyxfdsyxfLLLL),(),(),(2121 闭曲线积分 如果 L 是闭曲线 那么函数 f(x y)在闭曲线 L 上对弧长的曲线积分记作 dsyxfL),(第十章 曲线积分 3/26 教 学 内 容 批注 对弧长的曲线积分的性质 性质 1 设 c1、c2为常数

5、 则 dsyxgcdsyxfcdsyxgcyxfcLLL),(),(),(),(2121 性质 2 若积分弧段 L 可分成两段光滑曲线弧 L1和 L2 则 dsyxfdsyxfdsyxfLLL),(),(),(21 性质 3 设在 L 上 f(x y)g(x y)则 LLdsyxgdsyxf),(),(特别地 有 LLdsyxfdsyxf|),(|),(|二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密度为f(x y)则曲线形构件 L 的质量为 Ldsyxf),(另一方面 若曲线 L 的参数方程为 x(t)y(t)(t)则质量元素为 dtttttfdsyxf)(

6、)()(),(),(22 曲线的质量为 dtttttf)()()(),(22 即 dtttttfdsyxfL)()()(),(),(22 第十章 曲线积分 4/26 教 学 内 容 批注 定理 设 f(x y)在曲线弧 L 上有定义且连续 L 的参数方程为 x(t)y(t)(t)其中(t)、(t)在 上具有一阶连续导数 且2(t)2(t)0 则曲线积分dsyxfL),(存在 且 dtttttfdsyxfL)()()(),(),(22()证明（略）应注意的问题 定积分的下限一定要小于上限 讨论 (1)若曲线 L 的方程为 y(x)(axb)则dsyxfL),(?提示 L 的参数方程为 xx y(

7、x)(axb)dxxxxfdsyxfbaL)(1)(,),(2 (2)若曲线 L 的方程为 x(y)(cyd)则dsyxfL),(?提示 L 的参数方程为 x(y)yy(cyd)dyyyyfdsyxfdcL1)(),(),(2 (3)若曲的方程为 x(t)y(t)z(t)(t)则dszyxf),(?提示 dtttttttfdszyxf)()()()(),(),(),(222 例1 计算dsyL 其中L是抛物线yx2上点O(0 0)与点B(1 1)之间的一段弧 解 曲线的方程为 yx2(0 x1)因此 10222)(1dxxxdsyL10241dxxx)155(121 第十章 曲线积分 5/26

8、 教 学 内 容 批注 例 2 计算半径为 R、中心角为 2的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I(设线密度为1)解 取坐标系如图所示 则LdsyI2 曲线 L 的参数方程为 xRcos yRsin()于是 LdsyI2dRRR2222)cos()sin(sin dR23sinR3(sin cos)例 3 计算曲线积分dszyx)(222 其中为螺旋线 xacost、yasint、zkt 上相应于 t 从 0 到达 2的一段弧 解 在曲线上有 x2y2z2(a cos t)2(a sin t)2(k t)2a2k 2t 2 并且 dtkadtktatads22222)cos()sin(于是

9、dszyx)(2222022222)(dtkatka )43(3222222kaka 小结 用曲线积分解决问题的步骤 (1)建立曲线积分 (2)写出曲线的参数方程(或直角坐标方程)确定参数的变化范围 (3)将曲线积分化为定积分 (4)计算定积分 10 2 对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功 第十章 曲线积分 6/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 7/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 8/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 9/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 10/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 1

10、1/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 12/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 13/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 14/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 15/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 16/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 17/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 18/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 19/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 20/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 21/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 22/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 23/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 24/26 第十章 曲线积分 25/26 教 学 内 容 批注 第十章 曲线积分 26/26