等比数列教案——经典847.pdf

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1、等比数列教学设计（共 2 课时）第一课时 1、创设情境，提出问题（阅读本章引言并打出幻灯片）情境 1：本章引言内容 提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为：1，2，,2,2,2432 ，632 （1）于是发明者要求的麦粒总数是 情境 2：某人从银行贷款 10000 元人民币，年利率为 r，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，还款数额依次满足什么规律？10000(1+r),100002)1(r,100003)1(r,（2）情境 3：将长度为 1 米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，各次取得的木棒长度依次为多少？

2、,81,41,21 （3）问：你能算出第 7 次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得7)21(2、自主探究，找出规律：学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q)0(q表示，即1:(,2,0)nnaaq nN nq。如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是 2，1+r,21 点评：等比

3、数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。23631+2+2+2+23、观察判断，分析总结：观察以下数列，判断它是否为等比数列，若是，找出公比，若不是，说出理由，然后回答下面问题：1，3，9，27，,81,41,21,1 1，-2，4，-8，-1，-1，-1，-1，1，0，1，0，思考：公比q能为 0 吗？为什么？首项能为0 吗？公比1q是什么数列？0q数列递增吗？0q数列递减吗？等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式：这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。选题分析；因为等差数

4、列公差d可以取任意实数，所以学生对公比q往往忘却它不能取 0 和能取 1 的特殊情况，以致于在不为具体数字（即为字母运算）时不会讨论以上两种情况，故给出问题以揭示学生对公比q有防患意识，问题是让学生明白0q时等比数列的单调性不定，而0q时数列为摆动数列，要注意与等差数列的区别。备选题：已知Rx则,32xxxnx，成等比数列的从要条件是什么？4、观察猜想，求通项：方法 1：由定义知道,3134212312qaqaaqaqaaqaa归纳得：等比数列的通项公式为：11nnqaa)(Nn （说明：推得结论的这一方法称为归纳法，不是公式的证明，要想对这一方式的结论给出严格的证明，需在学习数学归纳法后完成

5、，现阶段我们只承认它是正确的就可以了）方法 2：迭代法 根据等比数列的定义有 23123nnnnaaqaqaq2121nnaqaq 方法 3：由递推关系式或定义写出：,342312qaaqaaqaaqaann1，通过观察发现342312aaaaaaqqqaann11nqq 11nnqaa，即：11nnqaa)(Nn （此证明方法称为“累商法”，在以后的数列证明中有重要应用）公式11nnqaa)(Nn的特征及结构分析：（1）公式中有四个基本量：naqna,1，可“知三求一”，体现方程思想。（2）1a的下标与的1nq上标之和nn)1(1，恰是na的下标，即q的指数比项数少 1。5、问题探究：通项公

6、式的应用 例、已知数列 na是等比数列，64,283aa，求14a的值。备选题：已知数列 na满足条件：nnpa)54(，且2544a。求8a的值 6、课堂演练：教材138 页 1、2 题 备选题 1：已知数列 na为等比数列，45,106431aaaa，求4a的值 备选题 2：公差不为 0 的等差数列 na中，632,aaa依次成等比数列，则公比等于 7、归纳总结：（1）等比数列的定义，即11nnaqa)0(q （2）等比数列的通项公式11nnqaa)(Nn及推导过程。选作：1、已知数列 na为等比数列，且1231237,8aaaa a a，求na 2、已知数列 na满足111,21nnaa

7、a （1）求证：1na 是等比数列；。（2）求 na的通项na。第二课时 1、复习回顾：上节课，我们学习了（打出幻灯片）（1）等比数列定义：1:(,2,0)nnaaq nN nq（2）通项公式：11nnqaa(,0)nNq （3）若11nnanan，数列 na是等比数列吗？111()nnnaan对不对？（注意：考虑公比q为常数）2、尝试练习：在等比数列 na中 （1）2418,8aa，求1,a q （2）514215,6,aaaa求na （3）在2 与8 之间插入一个数 A，使2，A，8 成等比数列，求 A（鼓励学生尝试用不同的方法求解，相互讨论分析不同的解法，然后归纳出等比数列的性质）3、性

8、质探究：（1）若 a,G,b 成等比数列，则2Gab有，称 G 为 a,b 的等比中项，即Gab(ab与 同号）；思考：2a是谁的等比中项？3a呢？na呢？总结归纳得到性质（2）（2）211(2)nnnaaan 逆向思考：若数列 na满足211(2)nnnaaan，它一定是等比数列吗？（3）若mnpq，则(,mnpqaaaam n p q为正整数）（4）(,)n mnmaaqnm n mN 4、灵活运用：下面我们来看应用等比数列性质可以解决那些问题。例1、在等比数列 na中，35100aa，求4a 变式 1、等比数列 na中，若262,162aa，则10a 变式 2、等比数列 na中，若712

9、5aa，则891011aaaa 变式 3、等比数列 na中，若1231237,8aaaa aa，则na 例2、已知数列 ,nnab是项数相同的等比数列，求证：nnab是等比数列。变式 1、已知数列 ,nnab是项数相同的等比数列，问数列nnab是等比数列吗？变式 2、已知数列 na是等比数列，若取出所有偶数项组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？变式 3、已知数列 na是等比数列，若取出102030,aaa组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？变式 4、已知数列 na是等比数列，若每一项乘以非零常数 C 组成一个新数列，此数列还是

10、等比数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？（通过上述问题的讨论求解，归纳、总结、推广得出等比数列的一些性质）例3、三个数成等比数列，它们的和为 14，它们的积为 64，求这三个数。备选题、有四个数，前三个数成等比数列，其和为 19，后三个数成等差数列，其和为 12，求这四个数。5、课堂演练：教材 138 页 3、4、5 备选题：已知数列 na为等比数列，且2435460,225naa aa aa a则35aa 备选题：有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为 21，中间两项的和为 18，求这四个数。6、归纳总结：（1）等比中项的概念 （2）等比数列有关性质 7、课后作业：必作：教材 139 页习题 6、7、10、11 选作：1、在数列 ,nnab中，0,0nnab，且1,nnna b a成等差数列，11,nnnb ab成等比数列，1121,2,3aba，求:nnab的值。2、设2xy，且,yxy xy xyx能按某种顺序构成等比数列，求这个等比数列。