线性代数PPT全集精选PPT.ppt

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1、关于线性代数PPT全集第1页，讲稿共291张，创作于星期三它的特点是研究的它的特点是研究的变量数量量数量较多，关系复多，关系复杂，方法上，方法上既有既有严谨的的逻辑推推证、又有巧妙的、又有巧妙的归纳综合，也有繁合，也有繁琐和技巧性很和技巧性很强的数字的数字计算，在学算，在学习中，需要特中，需要特别加加强这些方面的些方面的训练。第2页，讲稿共291张，创作于星期三第一章第一章 行列式行列式第二章第二章 矩矩阵及其运算及其运算第三章第三章 矩矩阵的初等的初等变换 及及线性方程性方程组第四章第四章 向量向量组的的线性相关性性相关性基础基本内容用向量的观点讨论基本问题并介绍向量空间的有关内容第五章第五

2、章 相似矩相似矩阵及二次型及二次型矩阵理论第3页，讲稿共291张，创作于星期三一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元用消元法解二元(一次一次)线性方程组线性方程组:第一章第一章 行列式行列式(1)(2)(1)a22:a11a22x1+a12a22x2=b1a22,(2)a12:a12a21x1+a12a22x2=b2a12,两式相减消去两式相减消去x2,得得(a11a22 a12a21)x1=b1a22 b2a12;1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式第4页，讲稿共291张，创作于星期三方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定

3、.第5页，讲稿共291张，创作于星期三 由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）的数由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）的数表表定义定义定义定义即即第6页，讲稿共291张，创作于星期三主对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式第7页，讲稿共291张，创作于星期三第8页，讲稿共291张，创作于星期三第9页，讲稿共291张，创作于星期三第10页，讲稿共291张，创作于星期三则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为第11页，讲稿共291张，创作于星期三例例例例1 1解解第12页，讲稿共291张，创作于星期三

4、二、三阶行列式定义定义定义定义记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.第13页，讲稿共291张，创作于星期三(1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标第14页，讲稿共291张，创作于星期三(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式第15页，讲稿共291张，创作于星期三 如果三

5、元线性方程组如果三元线性方程组的系数行列式的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.第16页，讲稿共291张，创作于星期三若记若记或或第17页，讲稿共291张，创作于星期三记记即即第18页，讲稿共291张，创作于星期三第19页，讲稿共291张，创作于星期三得得第20页，讲稿共291张，创作于星期三得得第21页，讲稿共291张，创作于星期三则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的

6、解为:第22页，讲稿共291张，创作于星期三例例 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有第23页，讲稿共291张，创作于星期三例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端第24页，讲稿共291张，创作于星期三例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式第25页，讲稿共291张，创作于星期三同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:第26页，讲稿共291张，创作于星期三 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算三、小结第27页，

7、讲稿共291张，创作于星期三思考题思考题第28页，讲稿共291张，创作于星期三思考题解答思考题解答解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为由题意得由题意得得一个关于未知数得一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,又又得得第29页，讲稿共291张，创作于星期三故所求多项式为故所求多项式为第30页，讲稿共291张，创作于星期三1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 引例引例:用用1,2,3三个数字三个数字,可以组成多少个没有重复数可以组成多少个没有重复数字的三位数？字的三位数？这是一个大家熟知的问题这是一个大家熟知的问题,答案是答案是:3!=6.将此问题将此问题推广推广:把把n个不同的元素

8、按先后次序排成一列个不同的元素按先后次序排成一列,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法.定义定义:把把 n 个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列,叫做这叫做这 n 个元素的个元素的全排列全排列(或或排列排列).n 个不同的元素的所有排列的种数个不同的元素的所有排列的种数,通常用通常用 Pn 表示表示,称为称为排列数排列数.Pn=n (n1)(n2)2 1=n!一、全排列一、全排列第31页，讲稿共291张，创作于星期三二、排列的逆序数二、排列的逆序数 定义定义:在一个排列在一个排列 i1 i2 is it in 中中,若数若数 isit,则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序.

9、例如例如:排列排列32514 中中,我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序.以以 n 个不同的个不同的自然数为例自然数为例,规定规定由小到大为标准次序由小到大为标准次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序 定义定义:一个排列中所有一个排列中所有逆序逆序的总数称为此的总数称为此排列的排列的逆序逆序数数.前面的数比后面的数大第32页，讲稿共291张，创作于星期三3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31故此排列的逆序数为故此排列的逆序数为:3+1+0+1+0=0+1+0+3+1=5.例如例如:排列排列32514 中中,计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法逆序数为奇

10、数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.方法方法1:分别计算出排在分别计算出排在1,2,n 前面比它大的数码的前面比它大的数码的个数并求和个数并求和,即先分别算出即先分别算出 1,2,n 这这 n 个元素的逆序数个元素的逆序数,则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.第33页，讲稿共291张，创作于星期三 方法方法2:依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素前面比它大前面比它大的数码的的数码的个数并求和个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的逆序数,

11、则所有元素的则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法方法3:依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素后面比它小后面比它小的数码的数码的个数并求和的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.第34页，讲稿共291张，创作于星期三例例1:求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解:在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,则则3的逆序为的逆序为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故故2的逆序为的逆序为1;

12、3 2 5 1 4没有比没有比5大的数大的数,故其逆序为故其逆序为0;个个,故其逆序为故其逆序为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序为故逆序为1.5的前面的前面1的前面比的前面比1大的数有大的数有3即即于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为 t=0+1+0+3+1=5.第35页，讲稿共291张，创作于星期三解解:此排列为此排列为偶排列偶排列.例例2:计算下列排列的逆序数计算下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性并讨论其奇偶性.(1)217986354.2 1 7 9 8 6 3 5 4010 01 3445于是排列于是排列217986354的逆序数为的逆序数为:t=0+1+

13、0+0+1+3+4+4+5=18.(2)n(n1)(n2)21解解:n(n1)(n2)2 1012(n1)(n2)t=0+1+2+(n2)+(n1)于是排列于是排列n(n1)(n2)21的逆序数为的逆序数为:第36页，讲稿共291张，创作于星期三 此排列当此排列当 n=4k,4k+1 时为偶排列时为偶排列;当当 n=4k+2,4k+3 时时为奇排列为奇排列.(3)(2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3)(k1)(k+1)k.(2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3)(k1)(k+1)k解解:0121233(k1)(k1)kt=0+1+1+2+2+(k1)+(k1)+k于是排列于是排列(2

14、k)1(2k1)2(2k2)(k1)(k+1)k的逆序数为的逆序数为:此排列当此排列当 k 为偶数时为偶排列为偶数时为偶排列,当当 k为奇数时为奇排为奇数时为奇排列列.第37页，讲稿共291张，创作于星期三1.n个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为n!个个;2.排列具有奇偶性排列具有奇偶性;3.计算排列逆序数常用的方法计算排列逆序数常用的方法.三、小结三、小结第38页，讲稿共291张，创作于星期三1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式三阶行列式说明说明(1)三阶行列式共有三阶行列式共有6项项,即即3!项项.说明说明(2)每项都是位于不

15、同行不同列的三个元素的每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积.说明说明(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排列的逆序数三个元素的列标排列的逆序数(行标为标准排列行标为标准排列).第39页，讲稿共291张，创作于星期三 例如例如 a13a21a32,将行下标标准排列将行下标标准排列,列下标排列列下标排列312的逆的逆序数为序数为t(312)=1+1=2,偶排列偶排列.a13a21a32 的前面取的前面取+号号.例如例如 a11a23a32,将行下标标准排列将行下标标准排列,列下标排列列下标排列132的逆的逆序数为序数为t(132)

16、=0+1=1,奇排列奇排列.a11a23a32的前面取的前面取号号.其中其中是对列下标的所有排列求和是对列下标的所有排列求和(3!项项),t 是列下标排列是列下标排列 p1p2p3 的逆序数的逆序数.第40页，讲稿共291张，创作于星期三二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义:设由设由 n2 个数排成一个个数排成一个 n 行行 n 列的数表列的数表作出表中位于不同行不同列的作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积个数的乘积,并冠以符号并冠以符号(1)t,得到形如得到形如 其中其中 p1p2 pn 为自然数为自然数1,2,n 的一个排列的一个排列,t为排为排列列p1p2 pn的逆序数

17、的逆序数.的项的项,第41页，讲稿共291张，创作于星期三所有这所有这 n!项的代数和项的代数和称为称为(由上述数表构成的由上述数表构成的)n 阶行列式阶行列式.记作记作简记作简记作 det(aij).数数 aij 称为行列式称为行列式 det(aij)(第第 i 行第行第 j 列列)的元的元素素.即即第42页，讲稿共291张，创作于星期三 说明说明1.行列式是一种特定的算式行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的;说明说明2.n 阶行列式是阶行列式是 n!项的代数和项的代数和;说明说明

18、3.n 阶行列式的每项都是位于不同行阶行列式的每项都是位于不同行,不同列不同列 n 个个元素的乘积元素的乘积,的符号为的符号为(1)t;说明说明4.一阶行列式的符号一阶行列式的符号|a|=a,不要与绝对值符号不要与绝对值符号相混淆相混淆,一般不使用此符号一般不使用此符号.第43页，讲稿共291张，创作于星期三例例1:计算对角行列式计算对角行列式解解:分析分析.展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零从而这个项为零,同理可得同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.所以只能所以只能 p1=4;若若p1 4,则则即行列式中非零的项为即行列式中非零的项为:(1)t(4321)a14

19、a23 a32 a41即即第44页，讲稿共291张，创作于星期三例例2:计算计算上三角行列式上三角行列式解解:分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以非零的项只可能是所以非零的项只可能是:a11 a22 ann.从最后一行开始讨论非零项从最后一行开始讨论非零项.显然显然pn=n,pn1=n1,pn2=n2,p2=2,p1=1,即即第45页，讲稿共291张，创作于星期三显然显然=1 4 5 8同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式第46页，讲稿共291张，创作于星期三对角行列式对角行列式第47页，讲稿共291张，创作于星期三例例5:设设证明证明:D1=D2.中中b的指数正好是的

20、指数正好是a的行标与列标的差的行标与列标的差第48页，讲稿共291张，创作于星期三证证:由行列式定义有由行列式定义有第49页，讲稿共291张，创作于星期三第50页，讲稿共291张，创作于星期三由于由于 p1+p2+pn=1+2+n,所以所以故故第51页，讲稿共291张，创作于星期三 行列式是一种根据特殊需要而定义的行列式是一种根据特殊需要而定义的特定算式特定算式.n 阶行列阶行列式共有式共有n!项项,每项都是位于不同行每项都是位于不同行,不同列的不同列的 n 个元素的乘个元素的乘积积,正负号由下标排列的逆序数决定正负号由下标排列的逆序数决定.三、小结三、小结第52页，讲稿共291张，创作于星期

21、三思考题思考题已知多项式已知多项式求求 x3 的系数的系数.思考题解答思考题解答含含 x3 的项有仅两项的项有仅两项,即即对应于对应于=x3+(2x3)故故 x3 的系数为的系数为(1).(1)t(1234)a11a22a33a44+(1)t(1243)a11a22a34a43第53页，讲稿共291张，创作于星期三一、对换的定义一、对换的定义1.4 对对 换换 定义定义:在排列中在排列中,将任意两个元素对调将任意两个元素对调,其余元素不动其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做这种作出新排列的手续叫做对换对换 将相邻两个元素对调将相邻两个元素对调,叫做叫做相邻对换相邻对换.a1 a2 al a

22、b b1 bma1 a2 al b a b1 bma1 a2 al a b1 bm b c1 cna1 a2 al b b1 bm a c1 cn例如例如第54页，讲稿共291张，创作于星期三二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系 定理定理1:一个排列中的任意两个元素对换一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇排列改变奇偶性偶性.对换对换 a与与b即除即除 a,b 外外,其它元素的逆序数不改变其它元素的逆序数不改变.证明证明:先考虑相邻对换的情形先考虑相邻对换的情形.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bm例如例如因此因此,相邻对换排列改变奇偶性相

23、邻对换排列改变奇偶性.当当 ab 时时,对换后对换后 a 的逆序数不变的逆序数不变,b 的逆序数增加的逆序数增加1;第55页，讲稿共291张，创作于星期三次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性奇偶性奇偶性.对一般对换的情形对一般对换的情形,例如例如a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn对换对换 a与与b第57页，讲稿共291张，创作于星期三 推论推论:奇排列调成标准排列

24、的对换次数为奇数奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排偶排列调成标准排列的对换次数为偶数列调成标准排列的对换次数为偶数.证明证明:由定理由定理1知知,对换的次数就是排列奇偶性的对换的次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数,而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0),论成立论成立.因此因此,推推第58页，讲稿共291张，创作于星期三下面讨论下面讨论行列式的另一种定义行列式的另一种定义形式形式.对于行列式的任一项对于行列式的任一项其中其中12ijn为自然排列为自然排列,其逆序数其逆序数0,t 为列标排列为列标排列p1p2pipjpn的逆序数的逆序数,对换元素对换元素第59页，讲稿共

25、291张，创作于星期三 此时此时,行标排列行标排列12jin的逆序为奇数的逆序为奇数,而列标排列而列标排列p1p2pjpipn的逆序也改变了一次奇偶性的逆序也改变了一次奇偶性.换后换后行标排列逆序与列标排列逆序之和行标排列逆序与列标排列逆序之和的的奇偶性不变奇偶性不变,即即t(1jin)+t(p1pjpipn)与与t(p1pipjpn)具有相同具有相同的奇偶性的奇偶性.因此因此,对对故故第60页，讲稿共291张，创作于星期三 一般地一般地,经过若干次对换行列式的任一项乘积元素的位经过若干次对换行列式的任一项乘积元素的位置后得到的符号仍为置后得到的符号仍为(1)t.因此因此,总可以经过总可以经过

26、若干次对换行列式的任一项若干次对换行列式的任一项,得得其中其中 s 为行下标排列为行下标排列 q1q2 qn 的逆序数的逆序数.第61页，讲稿共291张，创作于星期三定理定理2:n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中s为行标排列为行标排列q1q2qn的逆序数的逆序数,并按行标排列求和并按行标排列求和.定理定理3:n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 t 为行标排列为行标排列 p1p2pn与列标排列与列标排列 q1q2qn的逆序数的逆序数之和之和.并按行标排列并按行标排列(或列标排列或列标排列)求和求和.因此因此,我们可以得到行列式的另一种定义形式我们可以得到行列式的另一种

27、定义形式:根据以上讨论根据以上讨论,还可以如下定义还可以如下定义第62页，讲稿共291张，创作于星期三 例例1:试判断试判断 a14a23a31a42a56a65 和和a32a43a14a51a25a66是否是否六阶行列式中的项六阶行列式中的项.解解:a14a23a31a42a56a65的行标为顺序排列的行标为顺序排列,列标排列的逆序列标排列的逆序数为数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数偶数)所以所以 a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.将将a32a43a14a51a25a66的行标按标准次序排列的行标按标准次序排列,则其列标则其列标

28、排列的逆序数为排列的逆序数为:t(452316)=0+0+2+2+4+0=8(偶数偶数)所以所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.第63页，讲稿共291张，创作于星期三 解解:将将a23a31a42a56a14a65的行标按标准次序排列的行标按标准次序排列,则其列则其列标排列的逆序数为标排列的逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数偶数)所以所以 a23a31a42a56a14a65 的前边应带正号的前边应带正号.例例2:在六阶行列式中在六阶行列式中,下列两项各应带什么符号下列两项各应带什么符号.(1)a23a31a42a5

29、6a14a65;(2)a32a43a14a51a66a25.第64页，讲稿共291张，创作于星期三 项项a32a43a14a51a66a25的行下标与列下标的逆序数之和为的行下标与列下标的逆序数之和为 t(341562)+t(234165)=(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)=6+4=10(偶数偶数)所以所以 a32a43a14a51a66a25的前边应带正号的前边应带正号.第65页，讲稿共291张，创作于星期三例例3:用行列式的定义计算用行列式的定义计算解解:由于行列式由于行列式Dn每行每列中仅有一个非零元素每行每列中仅有一个非零元素,所以所以Dn=(1)t a1 n-1

30、 a2 n-2 an-1 1 an nDn=(1)t 12(n1)n=(1)t n!即即而而t=t(n1)(n2)21 n =0+1+2+(n3)+(n2)+0=(n1)(n2)/2所以所以第66页，讲稿共291张，创作于星期三三、小结三、小结1.对换排列中的任意两个元素对换排列中的任意两个元素,排列改变奇偶性排列改变奇偶性.2.行列式的三种定义方法行列式的三种定义方法:其中其中 r 为行标排列为行标排列 p1p2pn与列标排列与列标排列 q1q2qn的逆序数之的逆序数之和和.并按行标排列并按行标排列(或列标排列或列标排列)求和求和.第67页，讲稿共291张，创作于星期三思考题思考题证明在全部

31、证明在全部 n 阶排列中阶排列中(n 2),奇偶排列各占一半奇偶排列各占一半.思考题解答思考题解答 证证:设在全部设在全部 n阶排列中有阶排列中有s个奇排列个奇排列,t 个偶排列个偶排列,则则 s+t=n！现来证！现来证 s=t.若若将所有将所有 s个奇排列的前两个数作对换个奇排列的前两个数作对换,则这则这 s 个奇排个奇排列全变成偶排列列全变成偶排列,故必有故必有s=t=若若将所有将所有 t 个偶排列的前两个数作对换个偶排列的前两个数作对换,则这则这 t 个偶排列个偶排列全变成奇排列全变成奇排列,如此产生的如此产生的 s 个偶排列不会超个偶排列不会超过所有的过所有的 s 个奇排列个奇排列,所

32、以所以 t s.过所有的过所有的 t 个偶排列个偶排列,所以所以 s t.如此产生的如此产生的 t 个奇排列不会超个奇排列不会超第68页，讲稿共291张，创作于星期三1.5 行列式的性质行列式的性质 一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式DT称为行列式称为行列式D的的转置行列式转置行列式.记记将将D的行列互换就得到的行列互换就得到第69页，讲稿共291张，创作于星期三证明证明:记行列式记行列式 D=det(aij)的转置行列式为的转置行列式为:性质性质1:1:行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等,即即DT=D.按定义按定义即即 bij=aji(i,j=1,2,n),第70

33、页，讲稿共291张，创作于星期三又由行列式的另一种表示得又由行列式的另一种表示得,所以所以,DT=D,结论成立结论成立 说明说明:性质性质1行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式因此行列式的性质凡是对行成立的结论的性质凡是对行成立的结论,对列也同样成立对列也同样成立.第71页，讲稿共291张，创作于星期三性质性质性质性质2:2:互换行列式的两行互换行列式的两行(列列),行列式变号行列式变号.证明证明证明证明:设行列式设行列式第72页，讲稿共291张，创作于星期三是由行列式是由行列式互换互换 i,j(i j)两列得到两列得到.即即,当当 k i,j 时时,bpk=a

34、pk;当当 k=i,j 时时,bpi=apj,bpj=api;第73页，讲稿共291张，创作于星期三于是于是其中其中 t 为排列为排列 p1 pi pj pn的逆序数的逆序数,设设 s 为排列为排列p1 pj pi pn的逆序数的逆序数.显然显然 t 与与 s 的奇偶性不同的奇偶性不同,即即(1)t=(1)s,所以所以,第74页，讲稿共291张，创作于星期三例如例如第75页，讲稿共291张，创作于星期三 推论推论:如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)完全相同完全相同,则此行列式为则此行列式为零零.证明证明:互换互换相同的两行相同的两行,则有则有D=D,所以所以D=0.性质性质3:3:行列式

35、的某一行行列式的某一行(列列)中所有的元素都乘以同一中所有的元素都乘以同一数数k,等于用数等于用数k乘此行列式乘此行列式.即即第76页，讲稿共291张，创作于星期三 推论推论推论推论:行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有元素的公因子可以提中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面到行列式符号的外面.性质性质4:行列式中如果有两行行列式中如果有两行(列列)元素成比例元素成比例,则此行列则此行列式为零式为零证明证明:第77页，讲稿共291张，创作于星期三 性质性质5:若行列式的某一列若行列式的某一列(行行)的元素都是两数之和的元素都是两数之和,例例如如则则D等于下列两个行列式之和等于下列两个

36、行列式之和:第78页，讲稿共291张，创作于星期三证明证明:故结论成立故结论成立.第79页，讲稿共291张，创作于星期三 性质性质6:把行列式的某一列把行列式的某一列(行行)的各元素乘以同一数然的各元素乘以同一数然后加到另一列后加到另一列(行行)对应的元素上去对应的元素上去,行列式不变行列式不变.例如例如第80页，讲稿共291张，创作于星期三 引入记号引入记号:用用 ri 表示第表示第 i 行行,ci 表示第表示第 i 列列.在计算行列式时在计算行列式时,我们经常利用我们经常利用性质性质2,3,6对行列式进对行列式进行变换行变换.利用利用性质性质2交换行列式的第交换行列式的第 i,j 两行两行

37、(列列),记作记作ri rj (ci cj);利用利用性质性质6把行列式的第把行列式的第 j 行行(列列)的各元素乘以同一的各元素乘以同一数数 k 然后加到第然后加到第 i 行行(列列)对应的元素上去对应的元素上去,记作记作ri+rj k(ci+cj k);利用利用性质性质3行列式的第行列式的第 i 行行(列列)乘以数乘以数k,记作记作ri k(ci k);第81页，讲稿共291张，创作于星期三二、行列式计算二、行列式计算 计算行列式常用方法计算行列式常用方法:利用性质利用性质2,3,6,特别是性质特别是性质6把把行列式化为行列式化为上上(下下)三角形行列式三角形行列式,从而从而,得到行列式的

38、值得到行列式的值结论：上（下）三角行列式、主对角线行列式的值结论：上（下）三角行列式、主对角线行列式的值 等于其主对角元的乘积等于其主对角元的乘积.第82页，讲稿共291张，创作于星期三例例1:计算计算5阶行列式阶行列式解解:Dr2+3r1第83页，讲稿共291张，创作于星期三r3 2r1r4 3r1第84页，讲稿共291张，创作于星期三r5 4r1r2 r3第85页，讲稿共291张，创作于星期三r4+r2r4+r3第86页，讲稿共291张，创作于星期三r5+2r3r5+2r4第87页，讲稿共291张，创作于星期三例例2 计算计算解：解：第88页，讲稿共291张，创作于星期三第89页，讲稿共2

39、91张，创作于星期三解解:将第将第2,3,n 列都加到第一列得列都加到第一列得:例例3:计算计算 n 阶行列式阶行列式第90页，讲稿共291张，创作于星期三第第2,3,n 行都减去第一行得行都减去第一行得:第91页，讲稿共291张，创作于星期三例例4:设设证明证明:D=D1D2.证明证明:对对D1作行运算作行运算 ri+t rj,把把D1化为下三角形行列化为下三角形行列式式:第92页，讲稿共291张，创作于星期三对对D2作列运算作列运算 ci+kcj,把把D2化为下三角形行列式化为下三角形行列式:先对先对D的前的前k行作行运算行作行运算 ri+trj,然后对然后对D的后的后n列作列列作列运算运

40、算 ci+kcj,把把D化为下三角形行列式化为下三角形行列式:故故,D=p11 pkk q11 qnn=D1D2.第93页，讲稿共291张，创作于星期三例例5 计算计算2n阶行列式阶行列式其中未写出的元素为其中未写出的元素为0.解：解：将将D2n中的第中的第2n行依次与前面的行对换，行依次与前面的行对换，换至换至第二行；第二行；再将再将D2n中的第中的第2n列依次与前面的列对换，列依次与前面的列对换，换至第二列，共做换至第二列，共做2(2n-2)次对换，得次对换，得第94页，讲稿共291张，创作于星期三第95页，讲稿共291张，创作于星期三例例6 在在n阶行列式阶行列式中，中，若若则称则称D为

41、为对称行列式；对称行列式；若若则称则称D为为反对称行列式；反对称行列式；证明：证明：奇数阶反对称行列式的值为奇数阶反对称行列式的值为0.反反对称行列式的主称行列式的主对角元全角元全为0 0第96页，讲稿共291张，创作于星期三证明：证明：设设 n 阶反对称行列式为：阶反对称行列式为：由行列式的性质由行列式的性质1可知：可知：第97页，讲稿共291张，创作于星期三每行提取（每行提取（1 1）n为奇数奇数所以所以D0.第98页，讲稿共291张，创作于星期三 行列式的行列式的6个性质个性质.行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,行列行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质

42、凡是对行成立的对列也同样成立.计算行列式常用方法计算行列式常用方法:(1)利用定义利用定义;(2)利用性质把行列利用性质把行列式化为上式化为上(下下)三角形行列式三角形行列式,从而算得行列式的值从而算得行列式的值.三、小结三、小结思考题思考题其中已知其中已知 abcd=1.计算行列式计算行列式,第99页，讲稿共291张，创作于星期三思考题解答思考题解答第100页，讲稿共291张，创作于星期三第101页，讲稿共291张，创作于星期三1.6 行列式按行行列式按行(列列)展开展开 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式引例引例,考察三阶行列式考察三阶行列式第102页，讲稿共291张，创作于星期

43、三 在在 n 阶行列式阶行列式D中中,把元素把元素 aij 所在的第所在的第 i 行和第行和第 j 列列元素划去后元素划去后,留下来的留下来的 n1 阶行列式叫做阶行列式叫做(行列式行列式D的关于的关于)元素元素aij 的的余子式余子式,记作记作 Mij.即即第103页，讲稿共291张，创作于星期三记记 Aij=(1)i+j Mij,称称 Aij 为元素为元素 aij 的的代数余子式代数余子式.第104页，讲稿共291张，创作于星期三例如例如第105页，讲稿共291张，创作于星期三 行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子

44、式和唯一的一个代数余子式.第106页，讲稿共291张，创作于星期三 引理引理:如果一个如果一个 n 阶行列式阶行列式D的第的第 i 行元素除行元素除 aij 外都为外都为零零,那么那么,行列式行列式 D 等于等于 aij 与它的代数余子式与它的代数余子式 Aij的乘积的乘积,即即 D=aij Aij.=aij Aij.第107页，讲稿共291张，创作于星期三证证:当当 aij 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,又由于又由于 A11=(1)1+1M11=M11,由上节例由上节例4,即教材中的例即教材中的例10得得:D=a11M11.从而从而 D=a11A11,即结论成立即结论成立.第108页

45、，讲稿共291张，创作于星期三再证一般情形再证一般情形,此时此时 把把D的第的第 i 行依次与第行依次与第 i 1行行,第第 i 2行行,第第1行交换行交换,得得第109页，讲稿共291张，创作于星期三 再再 把把D的第的第 j 列依次与第列依次与第 j 1列列,第第 j 2列列,第第1列交列交换换,得得第110页，讲稿共291张，创作于星期三=(1)i+j aij M 11,显然显然,M 11恰好是恰好是aij在在D中的余子式中的余子式Mij,即即M 11=Mij,因此因此,D=(1)i+j aij Mij=aij Aij,故引理结论成立故引理结论成立.第111页，讲稿共291张，创作于星期

46、三 定理定理3:行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素与其对的各元素与其对应的代数余子式乘积之和应的代数余子式乘积之和,即即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1,2,n);D=a1iA1i+a2iA2i+aniAni (i=1,2,n).二、行列式按行二、行列式按行(列列)展开法则展开法则第112页，讲稿共291张，创作于星期三证证:第113页，讲稿共291张，创作于星期三D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1,2,n).由引理得由引理得:引理的结论常用如下表达式引理的结论常用如下表达式:(i=1,2,n)第114页，讲稿共291张，创作于星

47、期三 推论推论:行列式任一行行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应元的对应元素的代数余子式乘积之和等于零素的代数余子式乘积之和等于零,即即ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0,i j;a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0,i j.证证:把行列式把行列式D=det(aij)按第按第 j 行展开行展开,得得把把 ajk 换成换成 aik(k=1,2,n),当当 i j 时时,可得可得第115页，讲稿共291张，创作于星期三第 j 行第 i 行相同相同同理同理 a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0,i j 所以所以,ai1Aj1+ai2Aj2+ainA

48、jn=0,i j 第116页，讲稿共291张，创作于星期三关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质其中其中第117页，讲稿共291张，创作于星期三说明：说明：由证明过程可知由证明过程可知第118页，讲稿共291张，创作于星期三第119页，讲稿共291张，创作于星期三例例1:计算行列式计算行列式解解:第120页，讲稿共291张，创作于星期三例例2:计算行列式计算行列式解解:D第122页，讲稿共291张，创作于星期三例例3:证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式说明：（说明：（1）范德蒙德）范德蒙德(Vandermonde)行列式的特点是：行列式的特点是：每列（行）

49、元素都是分别是同一个数的不同每列（行）元素都是分别是同一个数的不同方幂，方幂的次数从上到下（自左至右）按方幂，方幂的次数从上到下（自左至右）按递升次序排列递升次序排列,从从0到到 n1次次.第123页，讲稿共291张，创作于星期三（2）范德蒙德）范德蒙德(Vandermonde)行列式的结果是行列式的结果是满足条件满足条件的所有因子的所有因子的连乘积，共有的连乘积，共有个因子个因子.第124页，讲稿共291张，创作于星期三证证:用数学归纳法用数学归纳法所以所以,当当 n=2 时时,(1)式成立式成立.假设对假设对 n-1 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式,(1)式成立式成立.对对 n 阶范德蒙

50、德行列式阶范德蒙德行列式,作如下变换作如下变换,ri x1ri-1 (i=n,n1,2,1).得得第125页，讲稿共291张，创作于星期三按第一列展开按第一列展开,并把每列的公因子并把每列的公因子(xi x1)提出提出,就就有有:n1阶范德蒙德行列式则根据归纳假设得证则根据归纳假设得证:第126页，讲稿共291张，创作于星期三例例4:计算计算 解解:Dn中各行元素分别是同一个数的不同方幂中各行元素分别是同一个数的不同方幂,方幂的方幂的次数自左至右按递升次序排列次数自左至右按递升次序排列,但不是从但不是从0到到 n1,而是从而是从1递升至递升至 n.若提出各行的公因子若提出各行的公因子,则方幂的