矩阵的标准型 (2)精选PPT.ppt

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1、关于矩阵的标准型(2)第1页，讲稿共68张，创作于星期二 标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相似矩阵有许多相标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相似矩阵有许多相似不变量：特征多项式、特征值（包括代数重数和几何重数）、似不变量：特征多项式、特征值（包括代数重数和几何重数）、行列式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相似变换行列式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集合中的矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集合中的“代表矩阵代表矩阵”的问题。的问题。“代表矩阵代表矩阵”当然越简单越好。对于可对角化矩阵，当然越简单越好。对于可对角化矩阵，“

2、代表代表矩阵矩阵”就是特征值组成的对角矩阵。但是令人非常遗憾的是：就是特征值组成的对角矩阵。但是令人非常遗憾的是：一一般矩阵未必与对角矩阵相似！般矩阵未必与对角矩阵相似！第2页，讲稿共68张，创作于星期二预备知识：预备知识：v若存在多项式若存在多项式h()，使得，使得f()=d()h()，称称d()整除整除f()，用用d()|f()表示；表示；v设f()与g()为数域P上的两个一元多项式，若存在d()满足d()|f()，d()|g()，称，称d()为为f()与与g()的的公因式公因式；v若若f()与与g()的任一公因式都是的任一公因式都是d()的因式；称的因式；称d()为f()与与g()的的最

3、大公因式，并用（f()，g()）表示）表示f()与与g()的的首项系首项系数为数为1的最大公因式的最大公因式.第3页，讲稿共68张，创作于星期二2 矩阵及其在相抵下的标准型矩阵及其在相抵下的标准型 由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们“退而求其退而求其次次”，寻找，寻找“几乎对角的几乎对角的”矩阵。这就引出了矩阵在相似矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题，其中下的各种标准型问题，其中Jordan标准型是标准型是最接近对角的最接近对角的矩阵矩阵，只在第只在第1条对角线上取条对角线上取1或或0。弄清楚了矩阵相似。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算上

4、以及应用上的许多问题就容易的本质，理论上、计算上以及应用上的许多问题就容易处理了，当然花费也大了。处理了，当然花费也大了。第4页，讲稿共68张，创作于星期二定义定义1 1 元素为元素为 的多项式的矩阵称为的多项式的矩阵称为-矩矩阵阵，记为，记为A()。即即A()=(aij()m n(i=1,2,m;j=1,2,.n),其中其中aij()是数域是数域P上的多项式。多项式上的多项式。多项式aij()的最高次数称为的最高次数称为A()的的次数次数，数域数域P上全体上全体m n的-矩阵记为记为P m n.注：注：数字矩阵是数字矩阵是-矩矩阵的特例。阵的特例。数字矩阵数字矩阵A的特征矩阵的特征矩阵 I-

5、A是是1次次-矩矩阵。阵。1.矩阵的基本概念矩阵的基本概念第5页，讲稿共68张，创作于星期二 矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵的对应运算矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵的对应运算有相同的运算定律。有相同的运算定律。数字矩阵行列式的定义也可应用到数字矩阵行列式的定义也可应用到 矩阵，且性质相同矩阵，且性质相同。n阶阶 矩阵的行列式是矩阵的行列式是 的多项式，且满足的多项式，且满足|A()B()|=|A()|B()|第6页，讲稿共68张，创作于星期二定义定义2 设A()P m n，如果A()中有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式全为零，称A()的秩为r，记为rank(A()

6、=rv数字矩阵数字矩阵A的特征矩阵的特征矩阵 I-A是是 的的n次行列式，所以是次行列式，所以是满秩的。满秩的。矩阵的秩矩阵的秩第7页，讲稿共68张，创作于星期二 定义3 设A()P m n，如果存在一个存在一个n阶阶 矩阵B()使得 A()B()=B()A()=I 则称A()可逆，B()为A()的逆矩阵记作的逆矩阵记作A()-1。定理1 设设A()P m n，A()可逆的充要条件是可逆的充要条件是|A()|是非零是非零常数常数。矩阵的逆矩阵的逆第8页，讲稿共68张，创作于星期二 矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定义4 4 初等变换初等变换(1)对换两行（列）；对换两行（列）；(2)某行（列）

7、乘上非零的常数某行（列）乘上非零的常数k；(3)某一行某一行(列列)的的()倍加到另一行，其中倍加到另一行，其中()是是 的多项式的多项式对应三种初等变换，有三种初等矩阵对应三种初等变换，有三种初等矩阵P(i,j).P(i(k),P(i,j()(1)做一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵做一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵;(2)初等矩阵都是可逆的：初等矩阵都是可逆的：P(i,j)-1=P(i,j).P(i(k)-1=P(i(k-1)，P(i,j()-1=P(i,j(-)第9页，讲稿共68张，创作于星期二相抵（等价）相抵（等价）定义定义5 设设A(),B()P

8、 m n，若若A()经有限次行、列初等变换经有限次行、列初等变换化为化为B(),称称A()与与B()相抵相抵（等价）（等价），记为，记为A()B()定理定理2 设设A(),B()P m n，A()与与B()相抵的充要条件是存在相抵的充要条件是存在m阶初等矩阵阶初等矩阵P1(),P2(),Pl(),与与n阶初等矩阵阶初等矩阵 Q1(),Q2(),Qt(),，使得，使得 A()=Pl()P1()B()Q1()Q2()Qt()第10页，讲稿共68张，创作于星期二3.矩阵在相抵下的标准型矩阵在相抵下的标准型定义定义6 该标准型称为该标准型称为A()在在相抵下的标准型或相抵下的标准型或Smith标准型；

9、标准型；称称smith标准型标准型“主对角线主对角线”上非零元上非零元d1(),d2(),dr()为为A()的的不变因不变因子子定理定理 对任意一个秩为对任意一个秩为r的的m n 阶阶-阵阵A()，都相抵于一个标准型，都相抵于一个标准型di()为首项系数为为首项系数为1的的 多项式，且多项式，且di()|di+1()第11页，讲稿共68张，创作于星期二例例1 求求矩阵矩阵的Smith标准形 解题思路：经过一系列初等行变换或初等列变换使得左上角的元素次数逐渐降低，最后降低到可以整除其余所有的元素。第12页，讲稿共68张，创作于星期二 解解:第13页，讲稿共68张，创作于星期二 不变因子：不变因子

10、：第14页，讲稿共68张，创作于星期二将其化成将其化成Smith标准形标准形。例例2第15页，讲稿共68张，创作于星期二解：解：第16页，讲稿共68张，创作于星期二第17页，讲稿共68张，创作于星期二3 矩阵的行列式因子和初等因子定义1 设A()P m n，且rank(A()=r，对于正整数k(1k r),A()中的全部k阶子式的最大公因式称为A()的k阶行列式因子，记为Dk().定理定理1 相抵的相抵的 矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子子第18页，讲稿共68张，创作于星期二例1 求求 矩阵矩阵的各阶行列式因子。第19页，讲稿共68张，创作于星期二解 由于

11、由于(+1)2,)=1,所以所以D1()=1最后最后 D3()=det(A()=2(+1)3第20页，讲稿共68张，创作于星期二 行列式因子和不变因子的关系设 矩阵A()的Smith标准形为其中其中di()(i=1,2r)是首项系数是是首项系数是1的不变因子，的不变因子，第21页，讲稿共68张，创作于星期二则A()的各阶行列式因子如下：于是Di()|Di+1()，(i=1,2,r-1)di+1()=Di+1()/Di(),(i=1,2,r-1)定理2 矩阵A()的Smith标准型唯一。定理3 设A(),B()P m n，A()与B()相抵的充要条件是它们有相同的行列式因子，或它们有相同的不变因

12、子。第22页，讲稿共68张，创作于星期二例2 求下列 矩阵的行列式因子和不变因子 一般来说应用行列式因子求不变因子较复杂，但对一些特殊的矩阵先求行列式因子再求不变因子反而简单。其中 i是数域P中的常数。第23页，讲稿共68张，创作于星期二解 由于由于A()的一个的一个m-1阶子式阶子式 故故Dm-1()=1,根据行列式因子的依次整除性，有根据行列式因子的依次整除性，有 D1()=D2()=Dm-2()=1 而而Dm()=(-i)m，因此，因此A()的不变因子为的不变因子为 d1()=d2()=dm-1()=1,dm()=(-i)m第24页，讲稿共68张，创作于星期二 设设 矩阵矩阵A()的不变

13、因子为的不变因子为d1(),d2(),dr()，在复数域内将它们，在复数域内将它们分解成一次因式的乘积分解成一次因式的乘积其中，其中，1 s是互异的复数，是互异的复数，eij是非负整数，满足是非负整数，满足初等因子初等因子第25页，讲稿共68张，创作于星期二定义定义2 在不变因子的分解式中，所有指数大于在不变因子的分解式中，所有指数大于0的因子的因子称为称为 矩阵矩阵A()的初等因子。的初等因子。注：注：在在A()的秩已知的情况下，不变因子和初等因子相互确定的秩已知的情况下，不变因子和初等因子相互确定第26页，讲稿共68张，创作于星期二例3 如果如果 矩阵矩阵A()的不变因子为的不变因子为则则

14、A()的初等因子为的初等因子为,2,-1,(-1)2,(-1)3,(+1)2,(+1)3,-2第27页，讲稿共68张，创作于星期二 反过来，如果知道了A()的秩和初等因子，因为A()的秩确定了不变因子的个数，则同一个一次因式的方幂做成的初等因子中，方次最高的必在dr()的分解中，方次次高的必在dr-1()的分解中，如此顺推，可知属于同一一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中唯一确定。第28页，讲稿共68张，创作于星期二例如 如果A()的秩为4，且其初等因子为则A()的不变因子依次不变因子依次为为d4()=2(-1)3(-i)3(+i)3d3()=(-1)2,d2()=(-1),d1()=

15、1,2,-1,(-1)2,(-1)3,(-i)2,(+i)3第29页，讲稿共68张，创作于星期二定理定理7 设设 矩阵矩阵为块对角形矩阵，则B()与C()的初等因子的全体是A()的全部初等因子。v该定理可以推广到n个分块的情形定理定理6 设设A(),B()P m n，A()与与B()相抵的充要条件是相抵的充要条件是它们有相同的秩和相同的初等因子。它们有相同的秩和相同的初等因子。第30页，讲稿共68张，创作于星期二例4 求的Smith标准型第31页，讲稿共68张，创作于星期二解 记那么第32页，讲稿共68张，创作于星期二因为 A1()的初等因子为 ,+1;A2()的初等因子为 ,A3()的初等因

16、子为,-1,+1；由上面的定理可知A()的初等因子为 所以A()的不变因子为,-1,+1,+1d4()=(-1)(+1),d3()=(+1)d2()=,d1()=1第33页，讲稿共68张，创作于星期二因此A()的Smith标准形为第34页，讲稿共68张，创作于星期二4 矩阵相似的条件矩阵相似的条件.定理定理1 数字方阵数字方阵A与与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 E-A与与 E-B相抵。相抵。定义定义1 n阶数字方阵阶数字方阵A的特征矩阵的特征矩阵 E-A的行列式因子，不变因子的行列式因子，不变因子和初等因子分别称为和初等因子分别称为矩阵矩阵A的行列式因

17、子，不变因子和初等因子。的行列式因子，不变因子和初等因子。第35页，讲稿共68张，创作于星期二4 矩阵相似的条件矩阵相似的条件.定理定理2 n阶数字方阵阶数字方阵A与与B相似的充分必要条件是他们满足如相似的充分必要条件是他们满足如下条件之一：下条件之一：（1）它们有相同的）它们有相同的行列式因子，行列式因子，（2）它们有相同的不变因子）它们有相同的不变因子,（3）它们有相同的初等因子。）它们有相同的初等因子。第36页，讲稿共68张，创作于星期二5 矩阵的矩阵的Jordan标准型标准型定义定义1 称方阵称方阵为为 阶阶Jordan 块。块。由若干个由若干个Jordan 块组成的块对角矩阵块组成的

18、块对角矩阵称为称为Jordan 形矩阵。形矩阵。第37页，讲稿共68张，创作于星期二ni 阶阶Jordan 块块Ji的性质：的性质：（1）Ji由有唯一的特征值由有唯一的特征值 i（2）特征值）特征值 i的几何重数为的几何重数为1，代数重数为，代数重数为ni（3）Ji 有唯一的初等因子有唯一的初等因子 ；Jordan 块块Ji的性质的性质对应于特征值对应于特征值 仅有一个仅有一个线性无关的特征向量线性无关的特征向量第38页，讲稿共68张，创作于星期二（4）Jordan 块块Ji的性质的性质v可使用归纳法证明可使用归纳法证明第39页，讲稿共68张，创作于星期二设Jordan形矩阵其中，Ji=Ji(

19、i)是ni阶阶Jordan块，则块，则（1）J的初等因子为的初等因子为（2）J恰有恰有s个线性无关的特征向量；个线性无关的特征向量；注：注：Jordan形矩阵的全部初等因子由它的全部形矩阵的全部初等因子由它的全部Jordan块的初等因子块的初等因子决定决定，因此，因此Jordan形矩阵除去其中形矩阵除去其中Jordan块的排列次序外被它的块的排列次序外被它的初初等因子等因子唯一决定。唯一决定。第40页，讲稿共68张，创作于星期二定理定理1 设设 ，则则A可经过相似变换可化成唯一的可经过相似变换可化成唯一的 Jordan形形矩阵矩阵(不计不计Jordan块的排列次序块的排列次序)，称该，称该Jo

20、rdan形矩阵形矩阵为为A的的Jordan标准型标准型.Ji(i)为为A的对应的对应初等因子初等因子 -i的的Jordan块块第41页，讲稿共68张，创作于星期二求方阵求方阵的的Jordan标准形。标准形。例例1第42页，讲稿共68张，创作于星期二解：首先用初等变换法求其首先用初等变换法求其Jordan标准形：标准形：故故 A 的初等因子为的初等因子为-1,(-1)2从而从而A的的Jordan标准形为标准形为 或v初等因子法的缺点是初等因子法的缺点是不能求出相似变换矩阵不能求出相似变换矩阵。第43页，讲稿共68张，创作于星期二定理定理2 设设T是复数域上是复数域上n维线性空间维线性空间V的线性

21、变换，则在的线性变换，则在V中存中存在一组基使得在一组基使得T在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是 Jordan形矩阵。形矩阵。定理定理3 设设A Cn n，则，则A于一个对角阵相似的充要条件是于一个对角阵相似的充要条件是A的的初等因子都是一次的。初等因子都是一次的。第44页，讲稿共68张，创作于星期二求相似变换矩阵的步骤求相似变换矩阵的步骤 由由定定理理1知知道道，方方阵阵与与标标准准型型J 是是相相似似的的，即即存存在在可可逆逆矩矩阵阵P，使得：，使得：A=PJP-1，即，即AP=PJ,求法如下：求法如下：设即即第45页，讲稿共68张，创作于星期二所以所以：解方程并选择适当的解方程并选择适

22、当的 即得。即得。第46页，讲稿共68张，创作于星期二求方阵求方阵的相似变换矩阵的相似变换矩阵。例例2第47页，讲稿共68张，创作于星期二解：解：由例由例1知，矩阵的知，矩阵的Jordan标准型为标准型为求相似变换矩阵：求相似变换矩阵：设所求矩阵为设所求矩阵为P，则，则AP=PJ，对于，对于P 按列分块记为按列分块记为第48页，讲稿共68张，创作于星期二从而：从而：第49页，讲稿共68张，创作于星期二整理后得三个方程组为：整理后得三个方程组为：前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：解系：第50页，讲稿共68张，创作于星期二 这

23、是因为如果这是因为如果p2 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。令：选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。令：p2=k1 1+k2 2将将 其代入第三个方程，选取适当的其代入第三个方程，选取适当的k1，k2使使(I-A)p3=-(k1 1+k2 2)有解。有解。可以取可以取p1=1,但不能简单取但不能简单取p2=2.第51页，讲稿共68张，创作于星期二根据非齐次方程有解的条件：根据非齐次方程有解的条件：系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，容易计算出其系数矩阵的秩为系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵的秩为，从而应该使得增广矩阵的秩为1 令令k1=

24、k2=1，由此得，由此得第52页，讲稿共68张，创作于星期二那么所求相似变换矩阵为那么所求相似变换矩阵为第53页，讲稿共68张，创作于星期二三、三、Jordan标准形的某些应用标准形的某些应用对于方阵对于方阵A，求，求An,若若A=P-1JP,An=P-1JnP应用：应用：1）一阶差分方程）一阶差分方程Uk+1=AUk=AkU0,例如：例如：Fibonacci数列数列Fk+2=Fk+1+Fk,写成写成Uk+1=AUk形式形式第54页，讲稿共68张，创作于星期二三、三、Jordan标准形的某些应用标准形的某些应用这是一个动态问题，特征值决定增长速度，是无限增长这是一个动态问题，特征值决定增长速度

25、，是无限增长还是趋于稳定还是趋于稳定An0，称，称A是稳定的，是稳定的，如果所有的特征值如果所有的特征值1,且且A有有n个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，则则A是稳定的。是稳定的。第55页，讲稿共68张，创作于星期二三、三、Jordan标准形的某些应用标准形的某些应用例例3 对于方阵对于方阵求A10解：解：由例由例1知，矩阵的知，矩阵的Jordan标准型为标准型为第56页，讲稿共68张，创作于星期二由例由例2知，矩阵的相似变换矩阵为知，矩阵的相似变换矩阵为第57页，讲稿共68张，创作于星期二从而从而第58页，讲稿共68张，创作于星期二6 Cayley-Hamilton定理与最小多项式

26、定理与最小多项式定义1 任给数域 P 上一个n 级矩阵 A，若存在数域 P 上一个多项式 f(x)，使 f(A)=0，则称 f(x)是以 A 为根的多项式.（或称为A的化零多项式）定理1 Cayley-Hamilton定理定理设 A 是数域 P 上一个 n n 矩阵，f()=|E-A|是 A 的特征多项式，则f(A)=An-(a11+a22+ann)An-1+(-1)n|A|E=0 第59页，讲稿共68张，创作于星期二最小多项式最小多项式定义3 首项系数为 1、次数最低的以 A 为根的多项式称为 A 的最小多项式.注意：1.1.矩阵矩阵A A的特征多项式就是的特征多项式就是A A的化零多项式；

27、的化零多项式；2.2.化零多项式不唯一化零多项式不唯一3.3.矩阵矩阵A A的特征多项式未必是最小多项式的特征多项式未必是最小多项式第60页，讲稿共68张，创作于星期二最小多项式最小多项式定理2 设 A 是数域 P 上一个 n 阶矩阵，设 m()是A的最小多项式，()是 A 的任一化零多项式,则1.A的最小多项式唯一；2.m()能整除能整除()，特别地，m()能整除A的特征多项式f();3.3.0是A的特征值的充要条件是m(0)=0;第61页，讲稿共68张，创作于星期二事实上，如果矩阵 A 与 B 相似：B=T-1AT，那么对任一多项式 f(x)，f(B)=T-1f(A)T.因此，f(B)=0

28、f(A)=0这说明相似矩阵有相同的最小多项式.vv 反之不然；即，最小多项式相同的矩阵不一定是相似；反之不然；即，最小多项式相同的矩阵不一定是相似；定理3 相似矩阵有相同的最小多项式相似矩阵有相同的最小多项式.第62页，讲稿共68张，创作于星期二求矩阵求矩阵A A的最小多项式的步骤：的最小多项式的步骤：步骤1 写出矩阵 A的特征多项式f f(x x)=|)=|xExE-A A|;|;步骤2 找出f f(x x)的所有因式；步骤3 得出矩阵 A的最小多项式.第63页，讲稿共68张，创作于星期二例1 设求 A 的最小多项式.第64页，讲稿共68张，创作于星期二解因为 A 的特征多项式为|xE-A|

29、=(x-1)3.所以 A 的最小多项式为(x-1)3 的因式.因此 A 的最小多项式为(x-1)2.又又 第65页，讲稿共68张，创作于星期二定理4 设设 A A 是一个准对角矩阵是一个准对角矩阵并设并设 A Ai i 的最小多项式为的最小多项式为 g gi i(x x)，i i=1,2,=1,2,s s，那么，那么 A A 的最小多项式为的最小多项式为 g g1 1(x x)g gs s(x x)的最小公倍式的最小公倍式 g g1 1(x x)，g gs s(x x).).第66页，讲稿共68张，创作于星期二定理5 n 阶复矩阵阶复矩阵A的最小多项式就是的最小多项式就是A的最后一个不变因的最后一个不变因子子dn()。定理6 n 阶复矩阵阶复矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是与对角矩阵相似的充分必要条件是 A 的最小多项式没有重根。的最小多项式没有重根。例2 设n级复矩阵A满足：A2=A,称A为幂等矩阵证明：A必与对角阵相似.证：证：A的化零多项式()=2-，由定理2，A的最小多项式m()整除()，()没有重根，所以m()=0 也没有重根，由定理6，A相似于对角阵。第67页，讲稿共68张，创作于星期二感谢大家观看第68页，讲稿共68张，创作于星期二