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1、关于有限元基础第1页，讲稿共51张，创作于星期二教学参考资料教学参考资料第三节第三节 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定第二节第二节 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念第一节第一节 弹性力学的内容弹性力学的内容第2页，讲稿共51张，创作于星期二1-1 弹性力学的内容 弹性力学弹性力学研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。第一章第一章 绪绪 论论定义研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下：第3页，讲稿共51张，创作于星期二材料力学材料力学研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组 合变形等问题。弹性

2、力学弹性力学研究各种形状的弹性体，如杆 件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等问题。第一节第一节 弹性力学的内容弹性力学的内容 结构力学结构力学在材料力学基础上研究杆系结构 （如 桁架、刚架等）。研究对象第4页，讲稿共51张，创作于星期二 在研究方法上，弹力和材力也有区别：弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程;在边界s上考虑受力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。第一节第一节 弹性力学的内容弹性力学的内容研究方法研究方法第5页，讲稿共51张，创作于星期二 材力也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设（如平面截

3、面假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。第一节第一节 弹性力学的内容弹性力学的内容研究方法研究方法 因此材力建立的是近似理论，得出的是近似的解答。从其精度来看，材力解法只能适用于杆件形状的结构。第6页，讲稿共51张，创作于星期二 弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力方法进行分析。第一节第一节 弹性力学的内容弹性力学的内容 弹性力学在力学学科和工程学科中,具有重要的地位：地位第7页，讲稿共51张，创作于星期二第一节第一节 弹性力学的内容弹性力学的内容 工科学生工科学生学习弹力的目的：学习弹力的

4、目的：学习目的（4 4）为进一步学习其他固体力学分支学）为进一步学习其他固体力学分支学 科打下基础。科打下基础。（3 3）能用弹力近似解法（变分法、差分法）能用弹力近似解法（变分法、差分法 和有限单元法）解决工程实际问题；和有限单元法）解决工程实际问题；（2 2）能阅读和应用弹力文献；）能阅读和应用弹力文献；（1 1）理解和掌握弹力的基本理论；）理解和掌握弹力的基本理论；第8页，讲稿共51张，创作于星期二思考题1.弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？2.弹性力学和材料力学相比，其研究方 法有什么区别？3.试考虑在土木、水利工程中有哪些非 杆件和杆系的结构？第9页，讲稿共51张，创作于

5、星期二 外力外力其他物体对研究对象（弹性体）的 作用力。第一章第一章 绪绪 论论12 弹性力学中的 几个基本概念外力第10页，讲稿共51张，创作于星期二体力体力（定义）作用于物体体积内的力。（表示）以单位体积内所受的力来量 度，（量纲）第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 （符号）坐标正向为正。第11页，讲稿共51张，创作于星期二（表示）以单位面积所受的力来量 度，面力面力（定义）作用于物体表面上的力。第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 （符号）坐标正向为正坐标正向为正。（量纲）第12页，讲稿共51张，创作于星期二例：表示出下图中正的体力和面力

6、第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 第13页，讲稿共51张，创作于星期二内力内力假想切开物体，截面两边互相作用假想切开物体，截面两边互相作用 的力（合力和合力矩的力（合力和合力矩)，称为内力。，称为内力。第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 应力第14页，讲稿共51张，创作于星期二应力应力截面上某一点处，单位截面面积上的 内力值。第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 （量纲）（表示）面上沿 向正应力，面上沿 向切应力。（符号）应力成对出现，坐标面上的应 力以正面正向，负面负向为正。第15页，讲稿共51张，创作于星期二例：

7、正的应力第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 第16页，讲稿共51张，创作于星期二应力应力与与面力面力，在正面上，两者正方向一致，在负面上，两者正方向相反。第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 第17页，讲稿共51张，创作于星期二弹力弹力与材力材力相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同材力：以拉为正材力：以拉为正材力：顺时针向为正材力：顺时针向为正第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 第18页，讲稿共51张，创作于星期二 由微分体的平衡条件 得：第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 在弹力中，与

8、不仅数值相同，符号也相同。在材力中，与 数值相同，符号相反。因此，弹力与材力中的符号规定不完全相同。切应力互等定理切应力互等定理：第19页，讲稿共51张，创作于星期二正应变 ，以伸长为正。形变形变 形状的改变。以通过一点的沿坐标 正向微分线段的正应变 和切应 变 来表示。切应变 ,以直角减小为正,用弧度表示。第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 形变第20页，讲稿共51张，创作于星期二 正的正应力对应于正的线应变,正的切应力对应于正的切应变。第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 第21页，讲稿共51张，创作于星期二位移位移 一点位置的移动，用 ,

9、表示,量纲为 L。以坐标正向为正。变形前 变形后第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 位移第22页，讲稿共51张，创作于星期二 思考题1.试画出正负 y 面上正的应力和正的面力 2.的方向。2.在 的六面体上，试问x面和y面上切应力的合力是否相等？第23页，讲稿共51张，创作于星期二 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；由应力与形变之间的物理关系,建立物理方程；弹力的研究方法，在体积弹力的研究方法，在体积V 内内：由微分线段上形变与位移的几何关系，建立几何方程；第一章第一章 绪绪 论论 研究方法研究方法13 弹性力学中基本假定弹性力学中基本假定 第24页，讲稿共51张

10、，创作于星期二在给定约束的边界 上，建立位移边界条件。位移边界条件。在给定面力的边界 上，建立应力边界条件应力边界条件;第三节第三节 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 研究方法研究方法 在边界S面上:然后在边界条件下求解上述方程，得出应力、形变和位移。第25页，讲稿共51张，创作于星期二 任何学科的研究，都要略去影响很小的次要因素，抓住主要因素 建立计算模型 归纳为学科的基本假定。第三节第三节 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 基本假定基本假定 为什么要提出基本假定？第26页，讲稿共51张，创作于星期二（1）连续性 假定物体是连续的。各物理量可用连续函数表示。第三节第三节 弹性

11、力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 材料性质假定材料性质假定 弹性力学中的五个基本假定弹性力学中的五个基本假定。关于材料性质的假定材料性质的假定及其在建立弹力理论中的作用：第27页，讲稿共51张，创作于星期二 （2）完全弹性 假定物体是,即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。第三节第三节 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 材料性质假定材料性质假定 a.完全弹性外力取消，变形恢复，无 残余变形。b.线性弹性应力与应变成正比。第28页，讲稿共51张，创作于星期二（3）均匀性 假定物体由同种材料组成。E、等与位置 无关。（4）各向同性 假定物体各向同性。E、等与方向无关。符合（1）

12、-（4）假定的称为理想弹性体。第三节第三节 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 材料性质假定材料性质假定 （3）,（4）E、等为常数第29页，讲稿共51张，创作于星期二（5）小变形假定 假定位移和形变为很 小。第三节第三节 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 变形状态假定变形状态假定 变形状态假定：变形状态假定：例：梁的 103 1,1弧度（57.3）.a.位移物体尺寸,例：梁的挠度v梁高h.第30页，讲稿共51张，创作于星期二 a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。b.简化几何方程：在几何方程中，由于 可略去 等项,使几何方程成为线性方程。

13、第三节第三节 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 变形状态假定变形状态假定 第31页，讲稿共51张，创作于星期二 弹力基本假定，确定了弹力的研究范围:第三节第三节 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 变形状态假定变形状态假定 理想弹性体的小变形问题。理想弹性体的小变形问题。第32页，讲稿共51张，创作于星期二 第一章第一章 教学参考资料教学参考资料第一章第一章 绪绪 论论 (一)本章的学习要求及重点 1、弹性力学的研究内容，及其研究对象和 研究方法，认清他们与材料力学的区别。2、弹性力学的几个主要物理量的定义、量 纲、正负方向及符号规定等，及其与材料力学相 比的不同之处。3、弹性力

14、学的几个基本假定，及其在建立 弹性力学基本方程时的应用。第33页，讲稿共51张，创作于星期二 (二二)本章内容提要本章内容提要 1、弹性力学的内容弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。2、弹性力学中的几个基本物理量：体力体力分布在物体体积内的力、记号为 、，量纲为L-2MT-2，以坐标 正向为正。第一章教学参考资料第一章教学参考资料第34页，讲稿共51张，创作于星期二面力面力 分布在物体表面上的力，记号为 。量纲为L-1MT-2，以坐 标正向为正。应力应力 单位截面面积上的内力，记号 ，量纲为L-1MT-2，以正 面正向为正，负面负向为正；反之 为

15、负。第一章教学参考资料第一章教学参考资料第35页，讲稿共51张，创作于星期二 形变形变用线应变 和切应变 表示，量纲为1，线应变以伸长为正，切 应变以直角减小为正。第一章教学参考资料第一章教学参考资料位移位移一点位置的移动，记号为、，量纲为L，以坐标正向为正。第36页，讲稿共51张，创作于星期二第一章教学参考资料第一章教学参考资料 3 3、弹性力学中的基本假定、弹性力学中的基本假定 理想弹性体假定连续性，完全弹性，均匀性，各向同性。小变形假定。4 4、弹性力学问题的研究方法、弹性力学问题的研究方法 已知：物体的边界形状，材料性质，体力,边界上的面力或约束。求解：应力、形变和位移。第37页，讲稿

16、共51张，创作于星期二第一章教学参考资料第一章教学参考资料 解法：在弹性体区域V 内，根据微分体上力的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件，建立物理方程。在弹性体边界s上，根据面力条件，建立应力边界条件，根据约束条件，建立位移边界条件。然后在边界条件下，求解区域内的微分方程，得出应力、形变和位移。第38页，讲稿共51张，创作于星期二第一章教学参考资料第一章教学参考资料 (三三)弹力的发展简史弹力的发展简史 与其他任何学科一样，从这门力学的发展史中，我们可以看出人们认识自然的不断深化的过程：从简单到复杂，从粗糙到精确，从错误到

17、正确的演变历史。许多数学家、力学家和实验工作者做了幸勤的探索和研究工作，使弹性力学理论得以建立，并且不断地深化和发展。第39页，讲稿共51张，创作于星期二第一章教学参考资料第一章教学参考资料 1、发展初期（约于16601820）这段时期主要是通过实验探索了物体的受力与变形之间的关系。1678年，胡克通过实验，发现了弹性体的变形与受力之间成比例的规律。1807年，杨做了大量的实验，提出和测定了材料的弹性模量。伯努利（1705）和库仑（1776）研究了梁的弯曲理论。一些力学家开始了对杆件等的研究分析。第40页，讲稿共51张，创作于星期二第一章教学参考资料第一章教学参考资料 2、理论基础的建立（约于

18、18211855）这段时间建立了线性弹性力学的基本理论，并对材料性质进行了深入的研究。纳维（1820）从分子结构理论出发，建立了各向同性弹性体的方程，但其中只含一个弹性常数。柯西（18201822）从连续统模型出发，建立了弹性力学的平衡（运动）微分方程、几何方程和各向同性的广义胡克定律。第41页，讲稿共51张，创作于星期二第一章教学参考资料第一章教学参考资料格林（1838）应用能量守衡定律，指出各向异性体只有21个独立的弹性常数。此后，汤姆逊由热力学定理证明了上述结果。同时拉梅等再次肯定了各向同性体只有两个独立的弹性常数。至此，弹性力学建立了完整的线性理论，弹性力学问题已经化为在给定边界条件下

19、求解微分方程的数学问题。第42页，讲稿共51张，创作于星期二 3、线性理论的发展时期（约于18541907）在这段时期，数学家和力学家应用已建立的线性弹性理论，去解决大量的工程实际问题，并由此推动了数学分析工作的进展。第一章教学参考资料第一章教学参考资料第43页，讲稿共51张，创作于星期二第一章教学参考资料第一章教学参考资料圣维南（18541856）发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，并提出了圣维南原理。艾里（1862）提出了应力函数，以求解平面问题。赫兹（1882）求解了接触问题。克希霍夫（1850及以后）解决了平板的平衡和震动问题。还有，爱隆对薄壳作了一系列工作等等。弹性力学在这段时期得到了飞

20、跃的发展。第44页，讲稿共51张，创作于星期二第一章教学参考资料第一章教学参考资料 4 4、弹弹性性力力学学更更深深入入的的发发展展时时期期（1907-至今）1907年以后，非线性弹性力学迅速地发展起来。卡门（1907）提出了薄板的大挠度问题；卡门和钱学森提出了薄壳的非线性稳定问题；力学工作者还提出了大应变问题，非线性材料问题（如塑性力学等）等等。同时，线线性性弹弹性性力力学学也也得得到到进进一一步步的的发发展展，出现了许多分支学科，如薄壁构件力学、薄壳力学、热弹性力学、粘弹性力学、各向异性弹性力学等。第45页，讲稿共51张，创作于星期二第一章教学参考资料第一章教学参考资料 弹弹性性力力学学的

21、的解解法法也在不断地发展。首先是变分法（能量法）及其应用的迅速发展。贝蒂（1872）建立了功的互等定理，卡斯蒂利亚诺（18731879）建立了最小余能原理，以后为了求解变分问题出现了瑞利里茨（1877，1908）法，伽辽金法（1915）。此外，赫林格和瑞斯纳（1914，1950）提出了两类变量的广义变分原理，胡海昌和鹫津（1954，1955）提出了三类变量的广义变分原理。第46页，讲稿共51张，创作于星期二第一章教学参考资料第一章教学参考资料 其次，数数值值解解法法也广泛地应用于弹性力学问题。迈可斯（1932）提出了微分方程的差差分分解法，解法，并得到广泛应用。在20世纪30年代及以后，出现了

22、用复变函数的实部和虚部分别表示弹性力学的物理量，并用复复变变函函数数理理论论求求解解弹弹性性力力学学问问题题的的方方法法，萨文和穆斯赫利什维利作了大量的研究工作，解决了许多孔口应力集中等问题。第47页，讲稿共51张，创作于星期二第一章教学参考资料第一章教学参考资料 1946年之后，又出现了有限单元法有限单元法，并且得到迅速的发展和应用，成为现在解决工程结构分析的强有力的工具。弹性力学及有关力学分支的发展，为解决现代复杂工程结构的分析创造了条件，并促进了技术的进步和发展。第48页，讲稿共51张，创作于星期二 (四四)弹力的主要解法弹力的主要解法 1 1、解解析析法法根据弹性体的静力学、几何学、物

23、理学等条件，建立区域内的微分方程组和边界条件，并应用数学分析方法求解这类微分方程的边值问题，得出的解答是精确的函数解。第一章教学参考资料第一章教学参考资料第49页，讲稿共51张，创作于星期二第一章教学参考资料第一章教学参考资料 2 2、变变分分法法（能能量量法法）根据变形体的能量极值原理，导出弹性力学的变分方程，并进行求解。这也是一种独立的弹性力学问题的解法。由于得出的解答大多是近似的，所以常将变分法归入近似的解法。3 3、差差分分法法是微分方程的近似数值解法。它将弹力中导出的微分方程及其边界条件化为差分方程（代数方程）进行求解。第50页，讲稿共51张，创作于星期二感谢大家观看第51页，讲稿共51张，创作于星期二