微积分函数精选PPT.ppt

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1、关于微积分函数第1页，讲稿共40张，创作于星期日第2页，讲稿共40张，创作于星期日悖论定义悖论定义l l“悖悖悖悖论论论论”这这这这个个个个词词词词的的的的意意意意义义义义比比比比较较较较丰丰丰丰富富富富，它它它它包包包包括括括括一一一一切切切切与与与与人人人人们们们们直直直直觉觉觉觉和和和和日日日日常常常常经经经经验验验验相相相相矛矛矛矛盾盾盾盾的的的的数数数数学学学学结结结结论论论论。那那那那些些些些结结结结论论论论会会会会使使使使我我我我们们们们惊惊惊惊讶讶讶讶无比。无比。无比。无比。l l悖论主要有三种形式：悖论主要有三种形式：悖论主要有三种形式：悖论主要有三种形式：1 1、一一一一种

2、种种种论论论论断断断断看看看看起起起起来来来来好好好好象象象象肯肯肯肯定定定定错错错错了了了了，实实实实际际际际上上上上却却却却是是是是对对对对的的的的（佯佯佯佯谬）；谬）；谬）；谬）；2、一一一一种种种种论论论论断断断断看看看看起起起起来来来来好好好好象象象象肯肯肯肯定定定定对对对对了了了了，实实实实际际际际却却却却错错错错了了了了（似似似似是是是是而而而而非）；非）；非）；非）；3、一一一一系系系系列列列列理理理理论论论论看看看看起起起起来来来来好好好好象象象象无无无无懈懈懈懈可可可可击击击击，却却却却导导导导致致致致逻逻逻逻辑辑辑辑上上上上自相矛盾。自相矛盾。自相矛盾。自相矛盾。第3页，

3、讲稿共40张，创作于星期日各种各样的悖论各种各样的悖论l l说谎者悖论说谎者悖论说谎者悖论说谎者悖论l l我我我我们们们们陷陷陷陷入入入入了了了了著著著著名名名名的的的的说说说说谎谎谎谎者者者者悖悖悖悖论论论论之之之之中中中中。下下下下面面面面是是是是它它它它的的的的最最最最简简简简单单单单的形式。的形式。的形式。的形式。这句话是错的这句话是错的l l上面这个句子对吗上面这个句子对吗上面这个句子对吗上面这个句子对吗?l l如果是对的，这句话就是错的！如果是对的，这句话就是错的！如果是对的，这句话就是错的！如果是对的，这句话就是错的！l如果这句话是错的，那这个句子就对了！如果这句话是错的，那这个

4、句子就对了！如果这句话是错的，那这个句子就对了！如果这句话是错的，那这个句子就对了！l l像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。第4页，讲稿共40张，创作于星期日理发师悖论理发师悖论l l著名的理发师悖论是伯特纳德著名的理发师悖论是伯特纳德著名的理发师悖论是伯特纳德著名的理发师悖论是伯特纳德罗素提出的。罗素提出的。l l一个理发师的招牌上写着：一个理发师的招牌上写着：一个理发师的招牌上写着：一个理发师的招牌上写着：告示告示告示告示:城城城城里里里里所所所所有

5、有有有不不不不自自自自己己己己刮刮刮刮脸脸脸脸的的的的男男男男人人人人都都都都由由由由我我我我给给给给他他他他们们们们刮刮刮刮脸脸脸脸，我我我我也只给这些人刮脸。也只给这些人刮脸。也只给这些人刮脸。也只给这些人刮脸。l l谁给这位理发师刮脸呢？谁给这位理发师刮脸呢？谁给这位理发师刮脸呢？谁给这位理发师刮脸呢？l如如如如果果果果他他他他自自自自己己己己刮刮刮刮脸脸脸脸，那那那那他他他他就就就就属属属属于于于于自自自自己己己己刮刮刮刮脸脸脸脸的的的的那那那那类类类类人人人人。但但但但是是是是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。他的招

6、牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。第5页，讲稿共40张，创作于星期日理发师悖论理发师悖论l l如如如如果果果果另另另另外外外外一一一一个个个个人人人人来来来来给给给给他他他他刮刮刮刮脸脸脸脸，那那那那他他他他就就就就是是是是不不不不自自自自己己己己刮刮刮刮脸脸脸脸的的的的人人人人。但但但但是是是是，他他他他的的的的招招招招牌牌牌牌说说说说他他他他要要要要给给给给所所所所有有有有这这这这类类类类人人人人刮刮刮刮脸脸脸脸。因因因因此此此此其其其其他他他他任任任任何何何何人人人人也也也也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！不

7、能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！l l伯伯伯伯特特特特纳纳纳纳德德德德 罗罗罗罗素素素素提提提提出出出出这这这这个个个个悖悖悖悖论论论论，为为为为的的的的是是是是把把把把他他他他发发发发现现现现的的的的关关关关于于于于集集集集合合合合的的的的一一一一个个个个著著著著名名名名悖悖悖悖论论论论用用用用故故故故事事事事通通通通俗俗俗俗地地地地表表表表述述述述出出出出来来来来。某某某某些些些些集集集集合合合合看看看看起起起起来来来来是是是是它它它它自自自自己己己己的的的的元元元元素

8、素素素。例例例例如如如如，所所所所有有有有不不不不是是是是苹苹苹苹果果果果的的的的东东东东西西西西的的的的集集集集合合合合、它它它它本本本本身身身身就就就就不不不不是是是是苹苹苹苹果果果果，所所所所以以以以它它它它必必必必然然然然是是是是此此此此集集集集合合合合自自自自身身身身的的的的元元元元素素素素。现现现现在在在在来来来来考考考考虑虑虑虑一一一一个个个个由由由由一一一一切切切切不不不不是是是是它它它它本本本本身身身身的的的的元元元元案案案案的的的的集集集集合合合合组组组组成成成成的的的的集集集集合合合合。这这这这个个个个集集集集合合合合是是是是它它它它本本本本身身身身的的的的元元元元素素素

9、素吗吗吗吗？无无无无论论论论你你你你作作作作何何何何回回回回答，你都自相矛盾。答，你都自相矛盾。答，你都自相矛盾。答，你都自相矛盾。第6页，讲稿共40张，创作于星期日l l帕帕帕帕特特特特先先先先生生生生沿沿沿沿着着着着一一一一条条条条小小小小路路路路向向向向山山山山顶顶顶顶进进进进发发发发。他他他他早早早早晨晨晨晨七七七七点点点点动动动动身身身身，当当当当晚晚晚晚七七七七点点点点到到到到达达达达山山山山顶顶顶顶。他他他他在在在在山山山山顶顶顶顶做做做做了了了了一一一一夜夜夜夜的的的的考考考考察察察察工工工工作作作作，第第第第二二二二天天天天早晨七点沿同一条小路下山。早晨七点沿同一条小路下山。

10、早晨七点沿同一条小路下山。早晨七点沿同一条小路下山。l l那那那那天天天天晚晚晚晚上上上上七七七七点点点点钟钟钟钟，他他他他到到到到达达达达山山山山脚脚脚脚。在在在在那那那那里里里里，他他他他遇遇遇遇到到到到了了了了他他他他的的的的拓拓拓拓扑学老师克莱因夫人。扑学老师克莱因夫人。扑学老师克莱因夫人。扑学老师克莱因夫人。l克克莱莱因因：帕帕帕帕特特特特！你你你你可可可可曾曾曾曾知知知知道道道道你你你你今今今今天天天天下下下下山山山山时时时时走走走走过过过过这这这这样样样样一一一一个个个个地地地地点点点点，你你你你通通通通过过过过这这这这点点点点的的的的时时时时刻刻刻刻恰恰恰恰好好好好与与与与你你

11、你你昨昨昨昨天天天天上上上上山山山山时时时时通通通通过过过过这这这这点点点点的的的的时时时时刻刻刻刻完完完完全全全全相相相相同同同同？帕帕特特：您您您您一一一一定定定定是是是是在在在在开开开开我我我我的的的的玩玩玩玩笑笑笑笑！这这这这绝绝绝绝对对对对不不不不可能。我走路时快时慢，有时还停下来吃饭和休息。可能。我走路时快时慢，有时还停下来吃饭和休息。可能。我走路时快时慢，有时还停下来吃饭和休息。可能。我走路时快时慢，有时还停下来吃饭和休息。l尽管这样，克莱因夫人还是对的。尽管这样，克莱因夫人还是对的。尽管这样，克莱因夫人还是对的。尽管这样，克莱因夫人还是对的。不可逃遁的点不可逃遁的点第7页，讲稿

12、共40张，创作于星期日l的的的的排排排排列列列列无无无无规规规规则则则则，可可可可是是是是让让让让我我我我们们们们看看看看从从从从第第第第710154710154710154710154个个个个数数数数以以以以下下下下的的的的数数数数字是怎样排列的：一连串排有字是怎样排列的：一连串排有字是怎样排列的：一连串排有字是怎样排列的：一连串排有7 7 7 7个个个个3 3 3 3。l的的的的数数数数字字字字从从从从它它它它是是是是随随随随机机机机产产产产生生生生的的的的这这这这一一一一点点点点来来来来讲讲讲讲，它它它它不不不不是是是是没没没没有有有有规规规规律律律律的的的的，可可可可是是是是从从从从它

13、它它它的的的的数数数数字字字字排排排排列列列列规规规规律律律律是是是是“无无无无章章章章可可可可循循循循”这这一一点点来来讲讲，又又是是没没有有规规律律的的。数数学学家家对对的的小小数数位位不不断断增加作了很多试增加作了很多试 验，看是有什么验，看是有什么验，看是有什么验，看是有什么“规律性规律性”，可是毫无结果。可是毫无结果。可是毫无结果。可是毫无结果。的小数位的小数位 数字就像一个旋转圆盘可以数字就像一个旋转圆盘可以数字就像一个旋转圆盘可以数字就像一个旋转圆盘可以 旋到旋到0 0 0 0至至至至9 9任何一个数字那样任何一个数字那样 毫无规律。毫无规律。毫无规律。毫无规律。圆周率圆周率中的

14、数字结构中的数字结构第8页，讲稿共40张，创作于星期日时间机器时间机器l布布布布朗朗朗朗教教教教授授授授刚刚刚刚刚刚刚刚返返返返回回回回到到到到了了了了30303030年年年年前前前前，他他他他正正正正注注注注视视视视着着着着还还还还是是是是婴婴婴婴儿儿儿儿的的的的自己。自己。自己。自己。l l布布布布朗朗朗朗：假假假假定定定定我我我我把把把把这这这这婴婴婴婴儿儿儿儿杀杀杀杀死死死死，那那那那他他他他不不不不会会会会有有有有长长长长大大大大起起起起来来来来而而而而变变变变成布朗教授！我会突然消失吗？成布朗教授！我会突然消失吗？成布朗教授！我会突然消失吗？成布朗教授！我会突然消失吗？l现现现现在

15、在在在布布布布朗朗朗朗教教教教授授授授又又又又跑跑跑跑到到到到未未未未来来来来30303030年年后后。他他正正在在他他实实验验室室外外的橡树上刻他的名字。的橡树上刻他的名字。l教教授授又又回回到到离离去去的的那那个个时时间间。几几年年以以后后，他他决决定定砍砍掉掉他那颗橡树。他砍完以后，一下变得困窘起来。他那颗橡树。他砍完以后，一下变得困窘起来。l布布朗朗：呣呣三三三三年年年年前前前前，我我我我曾曾曾曾漫漫漫漫游游游游未未未未来来来来的的的的3030年年年年后后后后，并并并并在在在在这这这这颗颗颗颗树树树树上上上上刻刻刻刻下下下下了了了了我我我我的的的的名名名名字字字字。2727年年年年以以

16、以以后后后后，当当当当我我我我到到到到了了了了我我我我过过过过去去去去曾曾曾曾经经经经到到到到过过过过的的的的地地地地方方方方时时时时，将将将将会会会会出出出出现现现现什什什什么么么么情情情情景景景景呢呢呢呢？什什什什么么么么树树树树也也也也没没没没有有有有了。我要把名字刻在其上的树从哪儿来呢？了。我要把名字刻在其上的树从哪儿来呢？了。我要把名字刻在其上的树从哪儿来呢？了。我要把名字刻在其上的树从哪儿来呢？第9页，讲稿共40张，创作于星期日神秘的悖论神秘的悖论l悖悖悖悖论论论论是是是是属属属属于于于于领领领领域域域域广广广广阔阔阔阔、定定定定义义义义严严严严格格格格的的的的数数数数学学学学分分

17、分分支支支支的的的的一一一一个个个个组组组组成成成成部部部部分分分分，这这这这一一一一分分分分支支支支以以以以“趣趣趣趣味味味味数数数数学学学学”知知知知名名名名于于于于世世世世。这这这这就就就就是是是是说说说说它它它它带带带带有有有有强强强强烈烈烈烈的的的的游游游游戏戏戏戏色色色色彩彩彩彩。然然然然而而而而，切切切切莫莫莫莫以以以以为为为为大大大大数数数数学学学学家家家家都都都都看看看看不不不不起起起起“趣味数学趣味数学趣味数学趣味数学”问题。问题。问题。问题。l欧欧拉拉就就就就是是是是通通通通过过过过对对对对bridge-crossingbridge-crossing之之之之谜谜谜谜的的的

18、的分分分分析析析析打打打打下下下下了了了了拓拓拓拓扑扑扑扑学学学学的的的的基基基基础础础础。莱莱莱莱布布布布尼尼尼尼茨茨茨茨也也也也写写写写到到到到过过过过他他他他在在在在独独独独自自自自玩玩玩玩插插插插棍棍棍棍游游游游戏戏戏戏（一一一一种种种种在在在在小小小小方方方方格格格格中中中中插插插插小小小小木木木木条条条条的的的的游游游游戏戏戏戏）时时时时分分分分析析析析问问问问题题题题的的的的乐乐乐乐趣趣趣趣。希希希希尔尔尔尔伯伯伯伯特特特特证证证证明明明明了了了了切切切切割割割割几几几几何何何何图图图图形形形形中中中中的的的的许许许许多多多多重重重重要要要要定定定定理理理理。冯冯冯冯 诺诺诺诺易

19、易易易曼曼曼曼奠奠奠奠基基基基了了了了博博博博弈弈弈弈论论论论。最最最最受受受受大大大大众众众众欢欢欢欢迎迎迎迎的的的的计计计计算算算算机机机机游游游游戏戏戏戏生生生生命命命命是是是是英英英英国国国国著著著著名名名名数数数数学学学学家家家家康康康康威威威威发发发发明明明明的的的的。爱爱爱爱因因因因斯斯斯斯坦坦坦坦也也也也收收收收藏藏藏藏了了了了整整整整整整整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。一书架关于数学游戏和数学谜的书。一书架关于数学游戏和数学谜的书。一书架关于数学游戏和数学谜的书。第10页，讲稿共40张，创作于星期日l什么是悖论？什么是悖论？l笼笼统统地地说说，是是指指这这样样的的推推理理

20、过过程程：它它看看上上去去是是合合理理的的，但结果却得出了矛盾。但结果却得出了矛盾。l l悖悖悖悖论论论论在在在在很很很很多多多多情情情情况况况况下下下下表表表表现现现现为为为为能能能能得得得得出出出出不不不不符符符符合合合合排排排排中中中中律律律律的的的的矛矛矛矛盾盾盾盾命命命命题题题题：由由由由它它它它的的的的真真真真，可可可可以以以以推推推推出出出出它它它它为为为为假假假假；由由由由它它它它的的的的假假假假，则则则则可可可可以以以以推推推推出出出出它它它它为为为为真真真真。由由由由于于于于严严严严格格格格性性性性被被被被公公公公认认认认为为为为是是是是数数数数学学学学的的的的一一一一个个

21、个个主主主主要要要要特特特特点点点点，因因因因此此此此如如如如果果果果数数数数学学学学中中中中出出出出现现现现悖悖悖悖论论论论会会会会造造造造成成成成对对对对数数数数学学学学可可可可靠靠靠靠性性性性的的的的怀怀怀怀疑疑疑疑。如如如如果果果果这这这这一一一一悖悖悖悖论论论论涉涉涉涉及及及及面面面面十十十十分分分分广广广广泛泛泛泛的的的的话话话话，这这这这种种种种冲冲冲冲击击击击波波波波会会会会更更更更为为为为强强强强烈烈烈烈，由由由由此此此此导导导导致致致致的的的的怀怀怀怀疑疑疑疑还还还还会会会会引引引引发发发发人人人人们们们们认认认认识识识识上上上上的的的的普普普普遍遍遍遍危危危危机机机机感感

22、感感。在在在在这这这这种种种种情情情情况下，悖论往往会直接导致况下，悖论往往会直接导致况下，悖论往往会直接导致况下，悖论往往会直接导致“数学危机数学危机数学危机数学危机”的产生。的产生。的产生。的产生。l按按按按照照照照西西西西方方方方习习习习惯惯惯惯的的的的说说说说法法法法，在在在在数数数数学学学学发发发发展展展展史史史史上上上上迄迄迄迄今今今今为为为为止止止止出出出出现现现现了了了了三次这样的数学危机。三次这样的数学危机。三次这样的数学危机。三次这样的数学危机。神秘的悖论神秘的悖论第11页，讲稿共40张，创作于星期日希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯悖论与第一次数学危机l希希帕帕索索斯斯

23、悖悖论论的的提提出出与与勾勾股股定定理理的的发发现现密密切切相相关关。因因此，我们从勾股定理谈起。此，我们从勾股定理谈起。l l勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。l天天文文学学家家开开普普勒勒曾曾称称其其为为欧欧氏氏几几何何两两颗颗璀璀璨璨的的明明珠珠之之一。一。l它它它它在在在在数数数数学学学学与与与与人人人人类类类类的的的的实实实实践践践践活活活活动动动动中中中中有有有有着着着着极极极极其其其其广广广广泛泛泛泛的的的的应应应应用用用用，同同同同时也是人类最早认识到的平面几何

24、定理之一。在我国时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国.l l最最最最早早早早的的的的一一一一部部部部天天天天文文文文数数数数学学学学著著著著作作作作周周周周髀髀髀髀算算算算经经经经中中就就已已有有了了关关于于这一定理的初步认识。这一定理的初步认识。第12页，讲稿共40张，创作于星期日l l不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。l l一直到三国时期的赵

25、爽才用面积割补给出它的第一种证明。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。l在在在在国国国国外外外外，最最最最早早早早给给给给出出出出这这这这一一一一定定定定理理理理证证证证明明明明的的的的是是是是古古古古希希希希腊腊腊腊的的的的毕毕毕毕达达达达哥哥哥哥拉拉拉拉斯。因而国外一般称之为斯。因而国外一般称之为斯。因而国外一般称之为斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”。l据据据据说说说说毕毕毕毕达达达达哥哥哥哥拉拉拉拉斯斯斯斯在在在在完完完

26、完成成成成这这这这一一一一定定定定理理理理证证证证明明明明后后后后欣欣欣欣喜喜喜喜若若若若狂狂狂狂，而而而而杀杀杀杀牛百只以示庆贺。牛百只以示庆贺。牛百只以示庆贺。牛百只以示庆贺。l因因此此这这一一定定理理还还又又获获得得了了一一个个带带神神秘秘色色彩彩的的称称号号：“百牛定理百牛定理”。l l神奇的毕达哥拉斯学派神奇的毕达哥拉斯学派神奇的毕达哥拉斯学派神奇的毕达哥拉斯学派.毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派第13页，讲稿共40张，创作于星期日l l毕毕毕毕达达达达哥哥哥哥拉拉拉拉斯斯斯斯是是是是公公公公元元元元前前前前五五五五世世世世纪纪纪纪古古古古希希希希腊腊腊腊的的的的著著著著名名名名数数数数

27、学学学学家家家家与与与与哲哲哲哲学学学学家家家家。他他他他曾曾曾曾创创创创立立立立了了了了一一一一个个个个合合合合政政政政治治治治、学学学学术术术术、宗宗宗宗教教教教三三三三位位位位一一一一体体体体的的的的神神神神秘秘秘秘主主主主义义义义派派派派别别别别：毕毕毕毕达达达达哥哥哥哥拉拉拉拉斯斯斯斯学学学学派派派派。由由由由毕毕毕毕达达达达哥哥哥哥拉拉拉拉斯斯斯斯提提提提出出出出的的的的著著著著名名名名命命命命题题题题“万万万万物物物物皆皆皆皆数数数数”是是是是该该该该学学学学派派派派的的的的哲哲哲哲学学学学基基基基石石石石。而而而而“一一一一切切切切数数数数均均均均可可可可表表表表成成成成整整整

28、整数数数数或或或或整整整整数数数数之之之之比比比比”则则则则是是是是这这这这一一一一学学学学派派派派的的的的数数数数学学学学信信信信仰仰仰仰。然然然然而而而而，具具具具有有有有戏戏戏戏剧剧剧剧性性性性的的的的是是是是由由由由毕毕毕毕达达达达哥哥哥哥拉拉拉拉斯斯斯斯建建建建立立立立的的的的毕毕毕毕达达达达哥哥哥哥拉拉拉拉斯斯斯斯定定定定理理理理却却却却成成成成了了了了毕毕毕毕达达达达哥哥哥哥拉拉拉拉斯斯斯斯学派数学信仰的学派数学信仰的学派数学信仰的学派数学信仰的“掘墓人掘墓人掘墓人掘墓人”。毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派第14页，讲稿共40张，创作于星期日 Pythagoras 毕达哥拉斯毕达哥拉

29、斯lPythagoras Pythagoras（约约-569-569？），生生于于Samos岛岛，卒卒于于意意大大利利。毕毕氏氏学学派派的的创创始始人人。由由于于他他万万物物皆皆数数的的信念，为希腊数学的昌盛奠下基本的思想质素。信念，为希腊数学的昌盛奠下基本的思想质素。lPythagoras生生生生于于于于爱爱爱爱琴琴琴琴海海海海东东东东岸岸岸岸靠靠靠靠近近近近安安安安那那那那托托托托利利利利亚亚亚亚半半半半岛岛岛岛的的的的SamosSamos岛岛岛岛，母母母母亲亲亲亲是是是是本本本本岛岛岛岛人人人人，父父父父亲亲亲亲则则则则是是是是来来来来自自自自于于于于地地地地中中中中海海海海东东东东岸岸

30、岸岸TyreTyre的商人。的商人。的商人。的商人。l lPythagorasPythagoras一一一一生生生生的的的的事事事事迹迹迹迹由由由由于于于于历历历历史史史史久久久久远远远远，近近近近于于于于传传传传奇奇奇奇，在在在在事事事事件的年代考证差别颇大，不过若不计较确定的时间，件的年代考证差别颇大，不过若不计较确定的时间，件的年代考证差别颇大，不过若不计较确定的时间，件的年代考证差别颇大，不过若不计较确定的时间，第15页，讲稿共40张，创作于星期日Pythagoras 毕达哥拉斯毕达哥拉斯第16页，讲稿共40张，创作于星期日Pythagoras 毕达哥拉斯毕达哥拉斯第17页，讲稿共40张

31、，创作于星期日Pythagoras 毕达哥拉斯毕达哥拉斯第18页，讲稿共40张，创作于星期日Pythagoras 毕达哥拉斯毕达哥拉斯第19页，讲稿共40张，创作于星期日 Pythagoras 的一生的一生 l青青年年时时期期的的Pythagoras随随商商人人父父亲亲四四处处游游历历，到到过过叙叙利利亚亚游游学学，也也到到过过意意大大利利。他他的的教教育育良良好好，有有三三个个影影响响他他很很大大的的老老师师：Pherekydes、Thales、Anaximander，后后者者尤尤其其在在数数学学、几几何何、天天文文上对他多有启发。上对他多有启发。l卅卅岁岁后后，Pythagoras到到埃埃

32、及及待待了了约约十十年年，他他四四处处拜拜访访神神庙庙僧僧侣侣，研研究究宗宗教教仪仪式式，许许多多埃埃及及宗宗教教的的特特色色与与戒戒律律，后后来来在在毕毕氏氏学学派派的的生生活活里里都都可以看得出来。可以看得出来。l后后来来波波斯斯入入侵侵埃埃及及，Pythagoras 被被俘俘，送送往往巴巴比比伦，他在这里学习了算术、音乐与其它数学。伦，他在这里学习了算术、音乐与其它数学。第20页，讲稿共40张，创作于星期日 Pythagoras 的一生的一生l l五五五五十十十十岁岁岁岁左左左左右右右右，PythagorasPythagoras回回回回到到到到SamosSamos岛岛岛岛，在在在在短短短

33、短暂暂暂暂地地地地到到到到 Crete 岛学习法律，并在岛学习法律，并在岛学习法律，并在岛学习法律，并在SamosSamos岛建立一个短命学派后，岛建立一个短命学派后，岛建立一个短命学派后，岛建立一个短命学派后，l l他他他他在在在在两两两两年年年年之之之之后后后后到到到到意意意意大大大大利利利利南南南南边边边边的的的的Croton建建立立了了影影响响重重大大的的毕毕氏氏学学派派，这这是是一一个个哲哲学学宗宗教教团团体体，以以数数学学的的秘秘密密知识为中心。知识为中心。l l它它它它的的的的核核核核心心心心圈圈圈圈称称称称为为为为mathematikoimathematikoi，有有有有点点点

34、点像像像像今今今今日日日日所所所所谓谓谓谓的的的的僧僧僧僧团团团团，必必必必须须须须放放放放弃弃弃弃财财财财产产产产、持持持持戒戒戒戒、素素素素食食食食，另另另另外外外外还还还还有有有有像像像像是是是是居居居居士士士士的的的的外外外外围围围围团团团团体。体。体。体。l l而教主就是而教主就是而教主就是而教主就是Pythagoras。第21页，讲稿共40张，创作于星期日Pythagoras 学派的信念学派的信念l 宗派弟兄必须绝对的忠实与守密。宗派弟兄必须绝对的忠实与守密。l 实在最深刻的本性是数学。实在最深刻的本性是数学。l 哲学可以使精神纯净。哲学可以使精神纯净。l 灵魂可以与上天契合。灵魂

35、可以与上天契合。l 符号有神秘的力量。符号有神秘的力量。第22页，讲稿共40张，创作于星期日l毕毕达达哥哥拉拉斯斯定定理理提提出出后后，其其学学派派中中的的一一个个成成员员希希帕帕索索斯考虑了一个问题：斯考虑了一个问题：边长为边长为边长为边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？的正方形其对角线长度是多少呢？的正方形其对角线长度是多少呢？的正方形其对角线长度是多少呢？他他他他发发发发现现现现这这这这一一一一长长长长度度度度既既既既不不不不能能能能用用用用整整整整数数数数，也也也也不不不不能能能能用用用用分分分分数数数数表表表表示示示示，而而而而只能用一个新数来表示。只能用一个新数来表示。只能用一个

36、新数来表示。只能用一个新数来表示。l l希希希希帕帕帕帕索索索索斯斯斯斯的的的的发发发发现现现现导导导导致致致致了了了了数数数数学学学学史史史史上上上上第第第第一一一一个个个个无无无无理理理理数数数数sqrt(2)sqrt(2)的的的的诞诞诞诞生生生生。小小小小小小小小sqrt(2)sqrt(2)的的的的出出出出现现现现，却却却却在在在在当当当当时时时时的的的的数数数数学学学学界界界界掀掀掀掀起起起起了了了了一一一一场场场场巨大风暴。巨大风暴。巨大风暴。巨大风暴。l l它它它它直直直直接接接接动动动动摇摇摇摇了了了了毕毕毕毕达达达达哥哥哥哥拉拉拉拉斯斯斯斯学学学学派派派派的的的的数数数数学学学

37、学信信信信仰仰仰仰，使使使使毕毕毕毕达达达达哥哥哥哥拉拉拉拉斯斯斯斯学派为之大为恐慌。学派为之大为恐慌。学派为之大为恐慌。学派为之大为恐慌。毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派第23页，讲稿共40张，创作于星期日l这这一一结结论论的的悖悖论论性性表表现现在在它它与与常常识识的的冲冲突突上上：任任何何量量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。l这这这这不不不不但但但但在在在在希希希希腊腊腊腊当当当当时时时时是是是是人人人人们们们们普普普普遍遍遍遍接接接接受受受受的的的的信信信信仰仰仰仰，就就就就是是是是在在在在今今今今天天天天，测测测测量量量量技技技技术术术术

38、已已已已经经经经高高高高度度度度发发发发展展展展时时时时，这这这这个个个个断断断断言言言言也也也也毫毫毫毫无无无无例例例例外外外外是是是是正正正正确确确确的的的的！可可可可是是是是为为为为我我我我们们们们的的的的经经经经验验验验所所所所确确确确信信信信的的的的，完完完完全全全全符符符符合合合合常常常常识识识识的的的的论论论论断断断断居居居居然然然然被被被被小小小小小小小小的的的的sqrt(2)sqrt(2)的的存存在在而而推推翻翻了了！这这应应该该是是多多么么违违反反常常识识，多多么么荒荒谬谬的的事事！它它简简直直把把以以前前所所知知道道的的事事情情根根本本推推翻翻了了。更更糟糟糕糕的的是是，

39、面面对对这这一一荒荒谬谬人人们们竟竟然然毫无办法。毫无办法。l这这就就直直接接导导致致人人们们认认识识上上的的危危机机，从从而而导导致致了了西西方方数数学史上一场大的风波，史称学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机第一次数学危机”。希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯悖论与第一次数学危机第24页，讲稿共40张，创作于星期日第一次数学危机的解决第一次数学危机的解决l l二二二二百百百百年年年年后后后后，大大大大约约约约在在在在公公公公元元元元前前前前370370年年年年，才才才才华华华华横横横横溢溢溢溢的的的的欧欧多多克克索索斯斯建立起一套完整的比例论。建立起一套完整的比例论。建立起一套完整的

40、比例论。建立起一套完整的比例论。l欧欧多多克克索索斯斯的的巧巧妙妙方方法法可可以以避避开开无无理理数数这这一一“逻逻辑辑上上的的丑丑闻闻”，并并保保留留住住与与之之相相关关的的一一些些结结论论，从从而而解解决决了了由由无无理理数数出出现现而而引引起起的的数数学学危危机机。但但欧欧多多克克索索斯斯的的解解决决方方式式，是是借借助助几几何何方方法法，通通过过避避免免直直接接出出现现无无理理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。l l在在在在这这这这种种种种解解解解决决决决方方方方案案案案下下下下，对对对对无无无无理理理理数数数数的的的的使使使使用用用用只只

41、只只有有有有在在在在几几几几何何何何中中中中是是是是允允允允许许许许的的的的，合合合合法法法法的的的的，在在在在代代代代数数数数中中中中就就就就是是是是非非非非法法法法的的的的，不不不不合合合合逻逻逻逻辑辑辑辑的的的的。或或或或者者者者说说说说无无无无理理理理数数数数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。第25页，讲稿共40张，创作于星期日l l直直直直到到到到1818世世纪纪，当当数数学学家家证证明明了了基基本本常常

42、数数如如圆圆周周率率是是无无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。理数时，拥护无理数存在的人才多起来。l l到到到到十十十十九九九九世世世世纪纪纪纪下下下下半半半半叶叶叶叶，现现现现在在在在意意意意义义义义上上上上的的的的实实实实数数数数理理理理论论论论建建建建立立立立起起起起来来来来后后后后，无无无无理理理理数数数数本本本本质质质质被被被被彻彻彻彻底底底底搞搞搞搞清清清清，无无无无理理理理数数数数在在在在数数数数学学学学园园园园地地地地中中中中才才才才真真真真正正正正扎扎扎扎下下下下了根。了根。了根。了根。l l无理数在数学中合法地位的确立：无理数在数学中合法地位的确立：无理数在数学中合法地位

43、的确立：无理数在数学中合法地位的确立：一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。第一次数学危机的解决第一次数学危机的解决第26页，讲稿共40张，创作于星期日l l第二次数学危机导源于微积分工具的使用。第二次数学危机导源于微积分工具的使用。第二次数学危机导源于微积分工具的使用。第二次

44、数学危机导源于微积分工具的使用。l l伴伴伴伴随随随随着着着着人人人人们们们们科科科科学学学学理理理理论论论论与与与与实实实实践践践践认认认认识识识识的的的的提提提提高高高高，十十十十七七七七世世世世纪纪纪纪几几几几乎乎乎乎在在在在同同同同一一一一时时时时期期期期，微微微微积积积积分分分分这这这这一一一一锐锐锐锐利利利利无无无无比比比比的的的的数数数数学学学学工工工工具具具具为为为为牛牛牛牛顿顿顿顿、莱莱莱莱布布布布尼兹各自独立发现。尼兹各自独立发现。尼兹各自独立发现。尼兹各自独立发现。l l这这这这一一一一工工工工具具具具一一一一问问问问世世世世，就就就就显显显显示示示示出出出出它它它它的的

45、的的非非非非凡凡凡凡威威威威力力力力。许许许许许许许许多多多多多多多多疑疑疑疑难难难难问问问问题运用这一工具后变得易如翻掌。题运用这一工具后变得易如翻掌。题运用这一工具后变得易如翻掌。题运用这一工具后变得易如翻掌。l l但但但但是是是是不不不不管管管管是是是是牛牛牛牛顿顿顿顿，还还还还是是是是莱莱莱莱布布布布尼尼尼尼兹兹兹兹所所所所创创创创立立立立的的的的微微微微积积积积分分分分理理理理论论论论都都都都是是是是不不不不严格的。严格的。严格的。严格的。l l两两两两人人人人的的的的理理理理论论论论都都都都建建建建立立立立在在在在无无无无穷穷穷穷小小小小分分分分析析析析之之之之上上上上，但但但但他

46、他他他们们们们对对对对作作作作为为为为基基基基本本本本概概概概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。贝克莱悖论与第二次数学危机贝克莱悖论与第二次数学危机第27页，讲稿共40张，创作于星期日l l从从从从微微微微积积积积分分分分诞诞诞诞生生生生时时时时就就就就遭遭遭遭到到到到了了了了一一一一些些些些人人人人的的的的反反反反对对对对与与与与攻攻攻攻击击击击。其其其其中中中中攻攻攻攻击最猛烈的是英国大主教击最猛烈的是英国大主教击最猛烈的是英国大主教击最猛烈的是英国大主教贝克莱贝克莱。l l贝贝贝

47、贝克克克克莱莱莱莱指指指指责责责责牛牛牛牛顿顿顿顿，为为为为计计计计算算算算比比比比如如如如说说说说 x x2 2 的的的的导导导导数数数数，先先先先将将将将 x x 取取取取一一一一个个个个不不不不为为为为0的的的的增增增增量量量量x，由由由由(x+x)2 2-x-x2 2，得得得得到到到到2xx+(x2 2)，后再被，后再被x 除，得到除，得到除，得到除，得到2x+x;l l最后突然令最后突然令最后突然令最后突然令x=0 x=0，求得导数为，求得导数为2x2x。l这是这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。l因因因因为为为为无无无无穷穷穷穷小小小小

48、量量量量在在在在牛牛牛牛顿顿顿顿的的的的理理理理论论论论中中中中一一一一会会会会儿儿儿儿说说说说是是是是零零零零，一一一一会会会会儿儿儿儿又又又又说不是零。说不是零。说不是零。说不是零。l数学史上把贝克莱的问题称之为数学史上把贝克莱的问题称之为数学史上把贝克莱的问题称之为数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论贝克莱悖论贝克莱悖论贝克莱悖论”。贝克莱悖论贝克莱悖论第28页，讲稿共40张，创作于星期日第二次数学危机的解决第二次数学危机的解决l l贝贝贝贝克克克克莱莱莱莱悖悖悖悖论论论论可可可可以以以以表表表表述述述述为为为为“无无无无穷穷穷穷小小小小量量量量究究究究竟竟竟竟是是是是否否否否为为为

49、为0”的的的的问问问问题题题题：就就就就无无无无穷穷穷穷小小小小量量量量在在在在当当当当时时时时实实实实际际际际应应应应用用用用而而而而言言言言，它它它它必必必必须须须须既既既既是是是是0 0，又又又又不不不不是是是是0 0。l l但但但但从从从从形形形形式式式式逻逻逻逻辑辑辑辑而而而而言言言言，这这这这无无无无疑疑疑疑是是是是一一一一个个个个矛矛矛矛盾盾盾盾。这这这这一一一一问问问问题题题题的的的的提提提提出出出出在在在在当当当当时时时时的的的的数数数数学学学学界界界界引引引引起起起起了了了了一一一一定定定定的的的的混混混混乱乱乱乱，由由由由此此此此导导导导致致致致了了了了第第第第二二二二次

50、数学危机的产生。次数学危机的产生。次数学危机的产生。次数学危机的产生。l柯柯西西开开开开始始始始用用用用不不不不等等等等式式式式来来来来刻刻刻刻画画画画极极极极限限限限，使使使使无无无无穷穷穷穷的的的的运运运运算算算算化化化化为为为为一一一一系系系系列列列列不不不不等等等等式式式式的的的的推推推推导导导导。这这这这就就就就是是是是所所所所谓谓谓谓极极极极限限限限概概概概念念念念的的的的“算算算算术术术术化化化化”。后后后后来来来来，德德德德国国国国数数数数学学学学家家家家魏魏魏魏尔尔尔尔斯斯斯斯特特特特拉拉拉拉斯斯斯斯给给出出更更为为完完善善的的我我们们目目前前所所使使用的用的“-”方法。方法