高等数学有理式的不定积分方法课件.ppt

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1、高等数学有理式的不定积分方法第1页，此课件共30页哦部分分式部分分式:第2页，此课件共30页哦 有理函数积分法有理函数积分法第3页，此课件共30页哦第4页，此课件共30页哦如果如果 有一个有一个 重实根重实根 ,则则 的部分分式中一定包含下列形式的的部分分式中一定包含下列形式的 项部分分式项部分分式之和之和:如果如果 中包含因子中包含因子 时时,则则 的部分分式中一定包的部分分式中一定包含下列形式的含下列形式的 项部分分式之和项部分分式之和:第5页，此课件共30页哦 例如例如 将真分式 分解成部分分式部分分式.第6页，此课件共30页哦四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:变分子为 再分

2、项积分 第7页，此课件共30页哦第8页，此课件共30页哦而最后一个积分可以用上上一节例6中的递推公式.第9页，此课件共30页哦说明说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,第10页，此课件共30页哦例例1 求解解第一种方法第一种方法:待定系数法，可以用如下的方法求出待定系数.上式通分后得比较恒等式两端同次幂的系数，得一方程组：第11页，此课件共30页哦 从而解得故有 于是第12页，此课件共30页哦 化简并约去两端的公因子 后为得例例 2 求第二种方法第二种方法(赋值法)第13页，此课件共30页哦两端去分母,得或比较两端的各同次幂的系数及常数项，有解之得解解第14页，此课件共30页哦第15页，此

3、课件共30页哦补例补例解解第16页，此课件共30页哦例例 3 求解解即有即第17页，此课件共30页哦用递推公式求用递推公式求或或第18页，此课件共30页哦第19页，此课件共30页哦 总之总之,有理函数分解为多项式及部分分式之和以后有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,各个部分各个部分都能积出都能积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.此外此外,由代数学知道由代数学知道,从理论上说从理论上说,多项式多项式Q(x)总可以在实数范围内分解成为一次因式及二次因式的总可以在实数范围内分解成为一次因式及二次因式的乘积乘积,从而把有理函数从而把有理函数 分解为多项式与部分分式之和分解为多项式与部分

4、分式之和.因此因此,有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.但是但是,用部分分式法求有理函数的积分用部分分式法求有理函数的积分,一般说来计算比较繁一般说来计算比较繁,只是在没有其它方法的情况下只是在没有其它方法的情况下,才用此方法才用此方法.例例4 求解解第20页，此课件共30页哦补例补例 求求解解 原式注意本题技巧注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法较繁第21页，此课件共30页哦(1)(1)三角有理式：三角有理式：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数三角函数有理式可记为的函数三角函数有理式可记为 2.三角函数有理式的不定积分三角

5、函数有理式的不定积分(2)(2)三角有理式的积分法：三角有理式的积分法：第22页，此课件共30页哦令令万能替换公式：万能替换公式：第23页，此课件共30页哦例例 4 求解解令，则第24页，此课件共30页哦注注（1）用万能代换用万能代换一定能一定能将三角函数有理式的积分化将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分；为有理函数的积分；（2）万能代换不一定是最好的；万能代换不一定是最好的；（3）常用的将三角函数有理式的积分化为有理函数的积常用的将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分的代换方法（非分的代换方法（非“万能的万能的”）：）：1）若）若 R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)

6、，可取，可取 u=cosx 为积分为积分变量；变量；2）若）若 R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)，可取，可取 u=sinx 为积分为积分变量；变量；3）若）若 R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)，可取，可取 u=tanx 为积分为积分变量变量.第25页，此课件共30页哦例例 5 求解解第26页，此课件共30页哦例例 6 求解解第27页，此课件共30页哦例例 7 求解解注注第28页，此课件共30页哦 3.某些根式的不定积分某些根式的不定积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换 化为有理函数的积分.例如:令第29页，此课件共30页哦例例 8 求解解 令则原式第30页，此课件共30页哦