高数多元函数基本概念课件.ppt

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1、高数多元函数基本概念高数多元函数基本概念第1页，此课件共64页哦8.1 多元函数的的基本概念多元函数的的基本概念一、平面点集与n维空间二、多元函数的概念三、习题8.1第2页，此课件共64页哦1.1.邻域邻域例如例如,在平面上在平面上,(圆邻域圆邻域)在空间中在空间中,(球邻域球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 ,也可写成也可写成点点 P P0 0 的去心邻域记为的去心邻域记为点集点集称为点称为点 P P0 0 的的 邻域邻域.8.1.1平面点集平面点集 n维空间维空间第3页，此课件共64页哦2.n 维空间n 元有序数组元有序数组的全体称为的全体称为 n 维空间维空间,

2、n 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中的称为空间中的称为该点的第称为该点的第 k 个坐标个坐标.记作记作即即一个点一个点,当所有坐标当所有坐标称该元素为称该元素为 中的零元中的零元,记作记作O.第4页，此课件共64页哦机动 目录 上页 下页 返回 结束 的的距离距离记作记作规定为规定为 与与零元零元 O 的距离的距离为为中点中点 a 的的 邻域为邻域为第5页，此课件共64页哦第6页，此课件共64页哦第7页，此课件共64页哦第8页，此课件共64页哦第9页，此课件共64页哦第10页，此课件共64页哦第11页，此课件共64页哦第12页，此课件共64页哦第13页，此课件共64页哦区域要

3、点:(1)(1)内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集设有点集 E E 及一点及一点 P P:若存在点若存在点 P P 的某邻域的某邻域 U(P)U(P)E E,若存在点若存在点 P P 的某邻域的某邻域 U(P)U(P)E=E=,若对点若对点 P P 的任一邻域的任一邻域 U(P)U(P)既含既含 E E中的内点也含中的内点也含 E E则称则称 P P 为为 E E 的的内点；内点；则称则称 P P 为为 E E 的的外点外点 ;则称则称 P P 为为 E E 的的边界点边界点 .的外点的外点 ,显然显然,E E 的内点必属于的内点必属于 E E,E E 的外点必不属于的外点必不属于

4、E E,E E 的的边界点可能属于边界点可能属于 E,E,也可能不属于也可能不属于 E E.第14页，此课件共64页哦(2)聚点若对任意给定的若对任意给定的 ,点点P P 的去心的去心邻域邻域内总有内总有E E 中的点中的点 ,则则称称 P P 是是 E E 的的聚点聚点.所有聚点所成的点集成为所有聚点所成的点集成为 E E 的的导集导集 .第15页，此课件共64页哦 内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：说明：说明：边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E例如例如,(0

5、,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合第16页，此课件共64页哦D(3)开区域及闭区域 若点集若点集 E E 的点都是内点，则称的点都是内点，则称 E E 为为开集开集；若点集若点集 E E E E ,则称则称 E E 为为闭集闭集；若集若集 D D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D D 的折线相连的折线相连 ,开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域.则称则称 D D 是连通的是连通的 ;连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域 ,简称简称区域区域 ;。E E 的边界点的

6、全体称为的边界点的全体称为 E E 的边界的边界,记作记作 E E;第17页，此课件共64页哦例如，在平面上开区域开区域闭区域闭区域第18页，此课件共64页哦 整个平面整个平面是最大的开域是最大的开域,点集点集 是开集是开集，也是最大的闭域；也是最大的闭域；但非区域但非区域 .o 对区域对区域 D D,若存在正数若存在正数 K K,使一切点使一切点 P P D D 与某定点与某定点 A A 的距离的距离|AP|AP K K,则称则称 D D 为为有界域有界域 ,界域界域 .否则称为否则称为无无第19页，此课件共64页哦二、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定

7、量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页，此课件共64页哦定义1.设非空点集点集点集 D D 称为函数的定义域称为函数的定义域 ;数集数集称为函数的值域称为函数的值域 .特别地特别地 ,当当 n=2n=2 时时,有二元函数有二元函数当当 n=3n=3 时时,有三元函数有三元函数映射映射称为定义称为定义在在 D 上上的的 n n 元函数元函数 ,记作记作第21页，此课件共64页哦类似地可定义三元以上函数类似地可定义三元以上函数第22页，此课件共64页哦例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为第23页，此课件共64

8、页哦二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）第24页，此课件共64页哦二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.第25页，此课件共64页哦例如,二元函数定义域为定义域为圆域圆域图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面.三元函数三元函数 定义域为定义域为单位闭球单位闭球图形为图形为 空间中的超曲面空间中的超曲面.第26页，此课件共64页哦例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:第27页，此课件共64页哦第28页，此课件共64页哦P6第29页，此课件共64页哦8.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续一、多元函数

9、的极限第30页，此课件共64页哦说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似第31页，此课件共64页哦例例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立第32页，此课件共64页哦例例3 3 求极限求极限 解解其中其中第33页，此课件共64页哦例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在第34页，此课件共64页哦不存在不存在.观察观察播放第35页，此课件共64页

10、哦确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：第36页，此课件共64页哦利用点函数的形式有利用点函数的形式有第37页，此课件共64页哦第38页，此课件共64页哦第39页，此课件共64页哦三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性第40页，此课件共64页哦第41页，此课件共64页哦类似地类似地,第42页，此课件共64页哦例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性解解取取第43页，此课件共64页哦故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.当当 时时第44页，此课件共64页哦例例6 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极

11、限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续第45页，此课件共64页哦闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取得介于上取得介于这两值之间的任何值至少一次这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理第46页，此课件共64页哦（3）

12、一致连续性定理）一致连续性定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数必定在上的多元连续函数必定在D D上上一致连续一致连续多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域第47页，此课件共64页哦例例解解第48页，此课件共64页哦多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义第49页，此课件共64页哦思考题思考题第50页，此课件共64页哦思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取第51页，此课件共64页哦练练 习习 题题第52页，此课件共64页哦第53页，此课件共64页哦第54页，此课件共64页哦练习题答案练习题答案第55页，此课件共64页哦