高等数学曲面积分与曲线积分之格林公式课件.ppt

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1、高等数学曲面积分与曲线积分之格林公式第1页，此课件共32页哦若L是平面区域D的边界曲线，规定L的正向如下：例如:D为复连通区域，其边界曲线为L与l.作为D的正向边界，Ll我们沿L的方向行走时，D内在我们近处的那一部分总在我们的左边.L的正向是逆时针方向，l的正向是顺时针方向.第2页，此课件共32页哦定理1 (格林公式)设平面有界闭区域D由分段光滑闭曲线L围成，P(x,y)、Q(x,y)在D上有一阶连续偏导数，则其中L为D的取正向的边界曲线.证明:(1)先证D是X型又是Y型的情形.设平面域D:(x,y)|axb,y1(x)yy2(x)，因 连续，故Dy2(x)y1(x)yABCEFxab第3页，

2、此课件共32页哦第4页，此课件共32页哦同理，设D:(x,y)|cyd，x1(y)xx2(y)，可证明两式同时成立,合并后得到格林公式.(2)若D是一般单连通区域,这时可用几段光滑曲线将D分成若干个既是X型又是Y型的区域.(3)若D为复连通区域，这时可用光滑曲线将D分成若干个单连通区域从而变成(2)的情形.第5页，此课件共32页哦在公式中取，即得第6页，此课件共32页哦例1 求椭圆的面积S.解：第7页，此课件共32页哦例2 设C是任意一条分段光滑的闭曲线,计算解：记则第8页，此课件共32页哦ABYx1O解:的三角形闭区域.例3 求其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点第9页，

3、此课件共32页哦解法一:方向是顺时针方向.例4 计算其中L是圆周0yx第10页，此课件共32页哦解法二:利用圆的参数方程转化为定积分计算第11页，此课件共32页哦解法三：利用格林公式计算第12页，此课件共32页哦例5 计算其中C是一条不经过原点的分段光滑的不自相交的简单闭曲线，方向取逆时针方向.DxyC解:下面分两种情况计算.第13页，此课件共32页哦D1xCYL选取适当小的r0，作位于D内的圆周对C和L所围成的闭区域应用格林公式，得第14页，此课件共32页哦例6 计算其中A(a,0),o(0,0),ANO是沿x2+y2=ax的上半圆.解:A(a,0)oNxy第15页，此课件共32页哦第16页

4、，此课件共32页哦二二 平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分与路径无关的条件 在计算对坐标的曲线积分时,有的曲线积分和积分曲线的路径无关而只与曲线的起点和终点有关.这时我们可以取简单的积分路径处理.现在我们来讨论这个问题.设P(x,y),Q(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，在D内任意指定两点A、B，从A到B任取两条在D内的路线C1和C2，若有则称该曲线积分在D内与积分路径无关.第17页，此课件共32页哦如果与路径无关,再注意一下曲线积分的方向,可把上式写成其中C1+C2-形成一个通过A,B两点的闭路,而且是任意的闭路,DC1ABC2C-2xy任意闭曲线积分为零;反过来若沿D内

5、的任意闭路曲线积分因此我们得到:如果在D内曲线积分与路径无关,那么沿D内为零,则该曲线积分在D内与路径无关.第18页，此课件共32页哦定理2 设G一个单连通区域,P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续的偏导数,则曲线积分在G内与路线无关(或是沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是在G内恒成立.第19页，此课件共32页哦证明：(充分性)在G内任取一闭曲线C,因为G是不带“洞”的单连通区域,所以由C围成的闭区域D完全包含在G内,由于在G内有所以由格林公式第20页，此课件共32页哦(必要性)作以M0为中心,足够小的0为半径的小圆域:(x-x0)2+(y-y0)2 2再由格林公式:用反

6、证法,假设在M0(x0,y0)处记这小圆域为k,由dP/dy和dQ/dx的连续性,那么在k内处处有第21页，此课件共32页哦其中L是k的边界,这样就与在G内任意闭曲线积分为零的假设矛盾.因此G内的这样的点M0不可能存在,即证明了在G内处处有注:定理中要求平面区域G内不能有“洞”(即一定要单连通区域),且P,Q在G内具有一阶连续偏导数,这两个条件缺一不可.第22页，此课件共32页哦例1 设有曲线积分判断它是否与路径有关?其中C是平面区域D的边界曲线(取正向)(1)D为圆域(x-3)2+y21;(2)D为1x2+y24的圆环域.解：(1)在此区域内,dP/dy,dQ/dx连续且处处相等.由定理2可

7、知,积分和路径无关.第23页，此课件共32页哦(2)此时的区域D为1x2+y24,是一个带“洞”的环形域,虽然在D内有但是它得不出积分与路线无关的结果.我们取C:则：第24页，此课件共32页哦三三 二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积现在讨论：函数P(x,y),Q(x,y)满足什么条件时,表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy才是某个二元函数u(x,y)的全微分；当u(x,y)存在时,求出u(x,y).定理3 设G为单连通区域.函数P(x,y)和Q(x,y)在G内有一阶连续偏导数,则在G内Pdx+Qdy是某一函数u(x,y)的全微分的充分必要条件是第25页，此课件共32页哦证明 先证必要

8、性.因为du=Pdx+Qdy，则由于P,Q偏导数的连续性，所以它们的二阶偏导数也连续，第26页，此课件共32页哦再证明充分性：由于在G内有恒成立,所以曲线积分在G内和路线无关,如果点M0(x0,y0)已经取定,那么这曲线积分将取决于终点M(x,y),所以是终点M(x,y)的函数.记事实上这个函数就是我们要找的.即证明第27页，此课件共32页哦又按偏导数的定义起点是M0(x0,y0),终点是N(x+x,y),由于该积分与路线无关,于是取MM0和MN两段路线,使MN平行于x轴.于是有第28页，此课件共32页哦M0(x0,y0)M(x,y)N(x+x,y)xy第29页，此课件共32页哦即两边除以x,并令x0,得到极限同理可得第30页，此课件共32页哦现在我们知道u(x,y)的全微分是du=Pdx+Qdy,如何求出原函数u(x,y)?此原函数的值就是求积分由讨论知道,该积分与路线无关,那么可以取特殊的路线使积分简单.第31页，此课件共32页哦M0(x0,y0)R(x,y0)M(x,y)S(x0,y)xy第32页，此课件共32页哦