常微分方程精选PPT.ppt

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1、关于常微分方程1第1页，讲稿共43张，创作于星期日26.1 线性微分方程组的一般理论线性微分方程组的一般理论第2页，讲稿共43张，创作于星期日3一阶线性微分方程组一阶线性微分方程组:称式称式(2)为一阶为一阶齐次线性微分方程组齐次线性微分方程组.非齐次线性微分方程组非齐次线性微分方程组(1)则式（则式（1 1）变为）变为(2)称式（称式（1 1）为）为第3页，讲稿共43张，创作于星期日4一一 齐次线性微分方程组齐次线性微分方程组1 1 1 1 叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理定理定理1证明证明:则有则有所以所以如果如果是方程（是方程（2 2）的）的m个解个解,则它们的线性组合则它们的线性组合也

2、是方程也是方程(2)(2)的解，这里的解，这里 是任意常数。是任意常数。由于由于是方程（是方程（2）的）的m个解个解第4页，讲稿共43张，创作于星期日52 2 函数向量组线性相关与线性无关函数向量组线性相关与线性无关函数向量组线性相关与线性无关函数向量组线性相关与线性无关定义定义 设设是一组定义在区间是一组定义在区间a,b上上的函数列向量，如果存在一组不的函数列向量，如果存在一组不全为零的常数全为零的常数使得对所有使得对所有 ，有恒等式，有恒等式则称则称在区间在区间a,b上上线性相关线性相关；否则就称这组向量函数在区间否则就称这组向量函数在区间a,b上上线性无关线性无关。第5页，讲稿共43张，

3、创作于星期日6证明证明:例例1证明证明:函数向量组函数向量组在任何区间都是线性相关的在任何区间都是线性相关的.第6页，讲稿共43张，创作于星期日7例例2证明证明:函数向量组函数向量组证明证明:要使要使第7页，讲稿共43张，创作于星期日8则需则需因为因为所以所以故故线性无关线性无关.第8页，讲稿共43张，创作于星期日93 3 3 3 函数向量组线性相关与无关的判别准则函数向量组线性相关与无关的判别准则函数向量组线性相关与无关的判别准则函数向量组线性相关与无关的判别准则(1)Wronsky(1)Wronsky行列式行列式行列式行列式由这由这n个向量函数所构成的行列式个向量函数所构成的行列式称为这称

4、为这n个向量函数所构成的个向量函数所构成的Wronsky行列式行列式第9页，讲稿共43张，创作于星期日10(2)定理定理2证明证明:第10页，讲稿共43张，创作于星期日11(3)定理定理3证明证明:“反证法反证法”则则现在考虑函数向量现在考虑函数向量由定理由定理1知知,如果（如果（2 2）的解）的解线性无关，线性无关，则它们的则它们的Wronsky行列式行列式第11页，讲稿共43张，创作于星期日12由由(3)知知,因此因此,由解的存在唯一性定理知由解的存在唯一性定理知,即有即有矛盾矛盾注注1:注注2:第12页，讲稿共43张，创作于星期日13(4)定理定理4一阶微分方程组一阶微分方程组(2)一定

5、存在一定存在n个线性无关的解个线性无关的解.证明证明:由解的存在唯一性定理知由解的存在唯一性定理知,(2)一定存在满足初始条件一定存在满足初始条件且且第13页，讲稿共43张，创作于星期日144 4 通解结构及基本解组通解结构及基本解组通解结构及基本解组通解结构及基本解组定理定理5证明证明:由已知条件由已知条件,第14页，讲稿共43张，创作于星期日15又因为又因为第15页，讲稿共43张，创作于星期日16即它们构成即它们构成n维线性空间的基维线性空间的基,现在考虑函数向量现在考虑函数向量由定理由定理1知知,由由(4)知知,因此因此,由解的存在唯一性定理由解的存在唯一性定理,应有应有即即第16页，讲

6、稿共43张，创作于星期日17推论推论1(2)的线性无关解的最大个数等于的线性无关解的最大个数等于n。基本解组基本解组:一个基本解组。一个基本解组。注注1:齐次微分方程组齐次微分方程组(2)的基本解组不唯一。的基本解组不唯一。注注2:齐次微分方程组齐次微分方程组(2)的所有解的集合构成一个的所有解的集合构成一个n维线性空间。维线性空间。注注3:由由n阶线性微分方程的初值问题与线性微分方程组的初阶线性微分方程的初值问题与线性微分方程组的初值问题的等价性描述值问题的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到本节所有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去。阶线性微分方程去。第17页，讲稿共43张，创作于星期

7、日18推论推论2第18页，讲稿共43张，创作于星期日195 5 解矩阵与基解矩阵及性质解矩阵与基解矩阵及性质解矩阵与基解矩阵及性质解矩阵与基解矩阵及性质(1)定义定义则称这个矩阵为齐次微分方程组则称这个矩阵为齐次微分方程组(2)的的解矩阵解矩阵。则称该解矩阵为则称该解矩阵为(2)的的基解矩阵基解矩阵。基解矩阵基解矩阵以基本解组为列构成的矩阵。以基本解组为列构成的矩阵。第19页，讲稿共43张，创作于星期日20注注:这里这里C是确定的是确定的N维向量空间维向量空间第20页，讲稿共43张，创作于星期日21例例3验证验证是方程组是方程组基解矩阵基解矩阵.解解:由于由于又由于又由于第21页，讲稿共43张

8、，创作于星期日22证明证明:第22页，讲稿共43张，创作于星期日23证明证明:于是有于是有由此可得由此可得第23页，讲稿共43张，创作于星期日24即有即有例例4验证验证是方程组是方程组的基解矩阵的基解矩阵,并求其通解。并求其通解。解解:第24页，讲稿共43张，创作于星期日25又由于又由于其通解为其通解为第25页，讲稿共43张，创作于星期日26二二 非齐次线性微分方程组非齐次线性微分方程组1 1 非齐线性微分方程组解的性质非齐线性微分方程组解的性质非齐线性微分方程组解的性质非齐线性微分方程组解的性质性质性质1性质性质2第26页，讲稿共43张，创作于星期日27性质性质32 2 通解结构定理通解结构

9、定理通解结构定理通解结构定理定理定理6这里这里C是确定的常数列向量。是确定的常数列向量。证明证明:由性质由性质2知知,即即这里这里C是确定的常数列向量。是确定的常数列向量。第27页，讲稿共43张，创作于星期日283 3 常数变易公式常数变易公式常数变易公式常数变易公式则则(2)的通解为的通解为其中其中C是任意的常数列向量是任意的常数列向量,下面寻求下面寻求(1)形如形如的解的解,把把(7)代入代入(1),得得(1)一阶线性微分方程组的常数变易公式一阶线性微分方程组的常数变易公式第28页，讲稿共43张，创作于星期日29从而从而反之反之,可验证可验证(8)是方程组是方程组(1)满足初始条件满足初始

10、条件的特解。的特解。因此因此,(7)变为变为第29页，讲稿共43张，创作于星期日30定理定理7 向量函数向量函数是是(1)的解的解,且满足初始条件且满足初始条件 方程组方程组(1)的通解为的通解为注注1:注注2:公式公式(8)或或(9)称为称为(1)的的常数变易公式常数变易公式。第30页，讲稿共43张，创作于星期日31例例5求方程组求方程组的通解的通解.解解:由例由例4知知是对应齐次方程的基解矩阵是对应齐次方程的基解矩阵,由由(8)得方程的特解为得方程的特解为第31页，讲稿共43张，创作于星期日32所以所以,原方程的通解为原方程的通解为第32页，讲稿共43张，创作于星期日33例例6试求初值问题

11、试求初值问题解解:由例由例3知知是对应齐次方程的基解矩阵是对应齐次方程的基解矩阵,第33页，讲稿共43张，创作于星期日34故方程满足初始条件故方程满足初始条件的解是的解是第34页，讲稿共43张，创作于星期日35(2)n阶线性微分方程的常数变易公式阶线性微分方程的常数变易公式则线性微分方组的初值问题的基本解组为则线性微分方组的初值问题的基本解组为从而其基解矩阵为从而其基解矩阵为第35页，讲稿共43张，创作于星期日36第36页，讲稿共43张，创作于星期日37推论推论3的基本解组的基本解组,那么非齐线性方程那么非齐线性方程的满足初始条件的满足初始条件解为解为第37页，讲稿共43张，创作于星期日38公式公式(13)称为称为(12)的的常数变易公式常数变易公式.方程方程(12)的通解的通解可表为可表为第38页，讲稿共43张，创作于星期日39但是但是第39页，讲稿共43张，创作于星期日40而通解是而通解是第40页，讲稿共43张，创作于星期日41例例7 试求方程试求方程的一个解。的一个解。解解:易知对应齐线性方程的基本解组为易知对应齐线性方程的基本解组为由由(15)求方程的一个解求方程的一个解,这时这时故故第41页，讲稿共43张，创作于星期日42所以所以也是原方程的一个解。也是原方程的一个解。第42页，讲稿共43张，创作于星期日4/2/2023感谢大家观看第43页，讲稿共43张，创作于星期日