微积分中值定理与导数的应用讲稿.ppt

《微积分中值定理与导数的应用讲稿.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分中值定理与导数的应用讲稿.ppt（70页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、微积分中值定理与导数的应用1节节1第一页，讲稿共七十页哦1节节24.1 中值定理中值定理一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理第二页，讲稿共七十页哦罗尔中值定理罗尔中值定理则则 在闭区间在闭区间a,b上连续上连续;在开区间在开区间(a,b)上可导上可导;f(a)=f(b).若若 f(x)满足：满足：一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理几何意义几何意义几何意义几何意义注：注：1.定理的条件：三个缺一不可定理的条件：三个缺一不可.2.定理的应用：导函数零点定理的应用：导函数零点(根根)的存在问题的存在问题.1111-111例例1例例2R

2、olle,(法法)1652-1719 3第三页，讲稿共七十页哦例例1.1.验证验证 f(x)x2 2x 3 在在-1,3 上满足罗尔定理条件，上满足罗尔定理条件，找出满足找出满足 f ()=0 的的 .注意到注意到 f(x)(x 1)(x 3),在在-1,3上显然连续上显然连续;f (x)2x 2 2(x 1)在在(-1,3)上显然可导；上显然可导；f(1)f(3)0 存在存在 1(1,3)使使 f (1)0 解解解解 故故 f(x)满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件 其中其中a 1 b 3 返回返回罗尔定理肯定了罗尔定理肯定了 的存在性的存在性,一般没必要知道一般没必要知道究竟等于什么数究

3、竟等于什么数,只要知道只要知道 存在即可存在即可.4第四页，讲稿共七十页哦例例例例2 2 不求导不求导 判断函数判断函数 f(x)(x 1)(x 2)(x 3)的导数有几个的导数有几个 实根、及其所在范围实根、及其所在范围 解解 而而 f (x)是二次多项式是二次多项式 仅有上述两个根仅有上述两个根 f(1)f(2)f(3)0 f(x)在在 1,2 2,3 上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件 f(x)在在 R 上连续、可导上连续、可导 且且根据罗尔定理，有：根据罗尔定理，有：罗尔定理是其他微分中值定理的罗尔定理是其他微分中值定理的基础基础，该定，该定理对理对判别方程根的存在性判别方程根的存在

4、性特别有效特别有效.5第五页，讲稿共七十页哦所以最值不可能同时在端点取得所以最值不可能同时在端点取得.使使有有证证对于对于有有 由极限的保号性由极限的保号性6第六页，讲稿共七十页哦7第七页，讲稿共七十页哦拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理则则 使得使得 在闭区间在闭区间a,b上连续上连续;在开区间在开区间(a,b)上可导上可导.若若 f(x)满足：满足：二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理几何意义几何意义几何意义几何意义注：注：注：注：2.拉格朗日公式拉格朗日公式 的等价形式：的等价形式：拉格朗日公式拉格朗日公式1.拉氏定理是罗尔定理的推广拉氏定理是罗尔定理的推广.Lagrange(法法)1

5、736-1813 8第八页，讲稿共七十页哦分析分析定理的结论就转化为函数定理的结论就转化为函数利用利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数找出一个满足罗尔定理条件的函数.将将变为变为使使的问题的问题.微分中值定理微分中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理9第九页，讲稿共七十页哦过街天桥上的微分中值定理过街天桥上的微分中值定理北京的珠市口天桥北京的珠市口天桥 三个公式：万有引力定律、质能公式、三个公式：万有引力定律、质能公式、拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式微分中值定理讲的是这么一个故事微分中值定理讲的是这么一个故事 摘自摘自“过路人的空间过路人的空间”在一个遥远的曲线的世界，所有的

6、一在一个遥远的曲线的世界，所有的一切都是一条条漂亮的紫色曲线。每条切都是一条条漂亮的紫色曲线。每条曲线的起止点曲线的起止点a、b之间连接着一条漂之间连接着一条漂亮的橙色直线。微分中值定理告诉我亮的橙色直线。微分中值定理告诉我们：在每条紫色曲线上都有一个神奇们：在每条紫色曲线上都有一个神奇的点，从它那里做出的绿色切线，与的点，从它那里做出的绿色切线，与橙色的橙色的ab连线平行。连线平行。ba10第十页，讲稿共七十页哦它表明了函数在两点处的函数值它表明了函数在两点处的函数值的单调性及某些等式与不等式的证明的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有在微分学中占有极重要的地位极重要的地位.与导数

7、间的关系与导数间的关系.今后要多次用到它今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数尤其可利用它研究函数11第十一页，讲稿共七十页哦证证 例例例例3 证明不等式证明不等式 arctan x2 arctan x1 x2 x1(x1 x2)设设 f(x)arctan x arctan x2 arctan x1 x2 x1 在在 x1,x2 上应用拉格朗日定理，有上应用拉格朗日定理，有 如果如果f(x)在某区间上可导在某区间上可导,要分析函数在该要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理通常就想到微分中值定理.12第十二页，讲稿共七十页哦例例例例4

8、证证由上式得由上式得设设由由 关键关键 满足拉格朗日中值定理的条件满足拉格朗日中值定理的条件,证明证明函数不等式函数不等式的惯用手段！的惯用手段！13第十三页，讲稿共七十页哦推论推论2设设 f 和和 g 在区间在区间 I上可导，且上可导，且 ,则则在区间在区间 I 上上 f(x)和和 g(x)只差一个常数，即只差一个常数，即是是 I 上的常值函数上的常值函数.推论推论1 1设设 f(x)在区间在区间 I上可导，且上可导，且 ,则则 f(x)例例5.证明：证明：证明证明函数恒等式函数恒等式的的惯用手段！惯用手段！14第十四页，讲稿共七十页哦注意AB的斜率的斜率切线斜率切线斜率15第十五页，讲稿共

9、七十页哦柯西中值定理柯西中值定理 在闭区间在闭区间a,b上连续上连续;在开区间在开区间(a,b)上可导上可导;若函数若函数 f 和和 g满足：满足：g(x)0,x(a,b).则则 使使三、柯西中值定理三、柯西中值定理几何意义几何意义几何意义几何意义注：注：几何意义：几何意义：考虑参变量方程考虑参变量方程v=f(x)u=g(x)例例例例6.6.设函数设函数 f 在区间在区间a,b(a0)上连续上连续,在在(a,b)上可导，上可导，则存在则存在(a,b),使使Cauchy(法法)1789-185916第十六页，讲稿共七十页哦 前面对拉格朗日中值定理的证明前面对拉格朗日中值定理的证明,构造了构造了

10、现在对现在对两个两个给定的函数给定的函数 f(x)、g(x),构构造造即可证明柯西定理即可证明柯西定理.辅助函数辅助函数辅助函数辅助函数 分析分析上式写成上式写成 用用类类比比法法17第十七页，讲稿共七十页哦拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理柯柯 西西中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日定理及柯西中值定理之间的关系；罗尔定理、拉格朗日定理及柯西中值定理之间的关系；罗尔定理、拉格朗日定理及柯西中值定理之间的关系；罗尔定理、拉格朗日定理及柯西中值定理之间的关系；f ()=0.罗尔罗尔定理定理问题：问题：问题：问题：证明存在证明存在(a,b),使得使得H(a,b,)=0化为求根问题化为求根问题化为求根问

11、题化为求根问题将将将将a a,b b与与与与 分离，找匹配形式分离，找匹配形式分离，找匹配形式分离，找匹配形式18第十八页，讲稿共七十页哦与题设矛盾！与题设矛盾！例例例例7*.设设 p(x)是一个多项式是一个多项式,且方程且方程 p(x)=0 没有实根，没有实根，证证证证:则方程则方程 p(x)=0 至多有一个实根，且这个至多有一个实根，且这个根的重数为根的重数为1.1)设设 p(x)有两个实根有两个实根 x1,x2，且，且 x1 0 时时,故故 f 在在 0,+)单调递增单调递增；当当 x 0 时时,在在(-,0 单调递减单调递减；即即 当当x0时时,有有则则 f(0)=0.例例(另证另证)

12、.注意到注意到 及及 f(0)=0.37第三十七页，讲稿共七十页哦定义定义 若函数若函数 f 在某在某U(x0)有定义，且有定义，且对一切对一切 xUo(x0)有有则称则称 f 在在 x0 处取得处取得极大极大 值值,称点称点 x0为为极大极大 值点值点.(小小)(小小)例：例：x3,x5x1,x2,x4注：注：极值极值极值极值 vs.最值最值最值最值1.局部局部vs.整体，整体，2.极值不在端点，最值可以极值不在端点，最值可以3.区间内的最值点是极值点区间内的最值点是极值点多值多值vs.唯一唯一极大值点：极大值点：极小值点：极小值点：非极值点：非极值点：x64.4 函数的极值函数的极值38第

13、三十八页，讲稿共七十页哦极值的必要条件极值的必要条件设设 f 在在U(x0)有定义有定义,且在且在 x0 可导可导.若点若点 x0是是 f 的极值点，则必有的极值点，则必有驻点驻点注：注：极值点极值点 vs.驻点驻点1.可导的极值点是驻点可导的极值点是驻点,“可导可导”条件不可去，条件不可去，2.驻点不一定是极值点，驻点不一定是极值点，例例:f(x)=|x|;例：例：f(x)=x3 .求极值点的步骤：求极值点的步骤：求极值点的步骤：求极值点的步骤：求不可导点、驻点求不可导点、驻点检查上述点左右的取值，根据极值定义做判断检查上述点左右的取值，根据极值定义做判断39第三十九页，讲稿共七十页哦定理定

14、理（极值的第一充分条件（极值的第一充分条件）设设 f(x)在点在点 x0 连续，在某连续，在某 上可导，上可导，(1)若当若当 时时 ,当当 时时 ，则则 x0 是是 f 的极小值点；的极小值点；(2)若当若当 时时 ,当当 时时 ，则则 x0 是是 f 的极大值点；的极大值点；(3)若若 f 在在 内不变号内不变号，则则 x0 不是不是 f 的极值点的极值点.（左减右增（左减右增（左减右增（左减右增极小极小极小极小）（左增右减（左增右减（左增右减（左增右减极大极大极大极大）40第四十页，讲稿共七十页哦 令令f (x)0 得驻点得驻点 x 1 不可导点为不可导点为 x 0 列表列表 f(x)f

15、 (x)无无0 0极大值极大值x(0)01(1 )(0 1)解解:例例1.求函数求函数 的极值点与极值的极值点与极值.即即是极小值是极小值.41第四十一页，讲稿共七十页哦(1)若若则则 x0 是是 f 的极小值点；的极小值点；设设 定理定理（极值的第二充分条件（极值的第二充分条件）(2)若若则则 x0 是是 f 的极大值点；的极大值点；则则 若若 常无法判断常无法判断,注注:例例1(续续).判断判断 x=1 是否函数是否函数 的极值点的极值点.例如，例如，y=x3 或或 x4，其中，其中 x0=0.42第四十二页，讲稿共七十页哦设设是方程是方程的一的一解解,若若且且则则在在(A)取得极大值取得

16、极大值(B)取得极小值取得极小值(C)在某邻域内单调增加在某邻域内单调增加(D)在某邻域内单调减少在某邻域内单调减少提示提示得得A利用方程利用方程,代入代入43第四十三页，讲稿共七十页哦区间端点区间端点（区间内）（区间内）极值点极值点不可导点不可导点驻点驻点最值点最值点 4.5 最大值与最小值，极值的应用问题最大值与最小值，极值的应用问题已知：已知：已知：已知：若若 f 在在a,b上连续上连续,则则 f 在在a,b上有最大上有最大(小小)值值.问题：问题：问题：问题：如何找出最大如何找出最大(小小)值点值点?求求求求 f f 在在在在 a a,b b 上最值的步骤：上最值的步骤：上最值的步骤：

17、上最值的步骤：列出列出区间端点区间端点、区间内不可导点区间内不可导点及及驻点驻点，求对应点函数值；，求对应点函数值；以上函数值之最大以上函数值之最大(小小)者，即者，即 f 在在a,b上的最大上的最大(小小)值。值。44第四十四页，讲稿共七十页哦解解解解:例例1.1.求求 在在 上的最大值与最小值上的最大值与最小值.函数的驻点函数的驻点 x 1,不可导点为不可导点为 x 0,所以所以 f 在在 处取得最大值处取得最大值 0 ，在在 处取得最小值处取得最小值 .45第四十五页，讲稿共七十页哦问剪去小正方形的边长为何值时，可使盒子的容积最大？问剪去小正方形的边长为何值时，可使盒子的容积最大？剪去正

18、方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，例例2.解解:设正方形的边长为设正方形的边长为 a,每个小正方形的边长为每个小正方形的边长为 x.而而则盒子的容积为则盒子的容积为 又又所以所以 为为V(x)在区间内唯一驻点在区间内唯一驻点,所以所以 为为唯一的极大值点，唯一的极大值点，此时盒子容积最大此时盒子容积最大.46第四十六页，讲稿共七十页哦问题问题如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向 4.6 曲线的凹向与拐点曲线的凹向与拐点47第四十七页，讲稿共七十页哦 4.6 曲线的凹向与拐点曲线的凹向与拐点定义定义若函数若函数 f 在区间在区间

19、 I 上满足上满足:(1)曲线曲线总总在在曲线上点的曲线上点的切线切线的的上方上方，则称，则称 f 在在 I 上上上凹上凹(凹凹)；(2)曲线曲线总总在在曲线上点的曲线上点的切线切线的的下方下方，则称，则称 f 在在 I 上上下凹下凹(凸凸).48第四十八页，讲稿共七十页哦定理定理若函数若函数 f 在区间在区间 I 上二阶可导，上二阶可导，(1)若若 则则 f 在在 I 上上 上凹上凹(凹凹)；(2)若若 则则 f 在在 I 上上 下凹下凹(凸凸).定义定义 曲线上凹、下凹的分界点称作曲线上凹、下凹的分界点称作 拐点拐点.注注:1.二阶导为零、或二阶二阶导为零、或二阶 不可导的点不可导的点可能

20、可能是拐点是拐点.2.二阶导为零不一定是拐二阶导为零不一定是拐 点点，例：例：y=x4,x0=0.49第四十九页，讲稿共七十页哦 解解 例例1 1 求曲线求曲线 y x4 2x3 1 的凹向与拐点的凹向与拐点 y 4x3 6x2 y 12x2 12x 12x(x 1)得得 x1 0 x2 1 令令 y 0 列表列表 所以曲线在所以曲线在(0)(1 )上是凹的上是凹的,在在(0 1)上是凸的上是凸的.y yx(-,0)0(0,1)1(1,+)0 0 1(拐点拐点)0(拐点拐点)(0 1)和和(1 0)是拐点是拐点 50第五十页，讲稿共七十页哦 解解解解 当当 x 2 时时 y 0 y 不存在不存

21、在 列表列表 因此曲线在因此曲线在(,2)上是凸的上是凸的,在在(2,)上是凹的上是凹的,拐点拐点(2,0)y y x(-,2)2(2,+)不存在不存在 0(拐点拐点)例例例例2 求曲线求曲线 y (x 2)5/3 的凹向与拐点的凹向与拐点 51第五十一页，讲稿共七十页哦上周内容回顾上周内容回顾函数单调性函数单调性单调递增：单调递增：单调递减：单调递减：（分界点（分界点:驻点驻点、导数不存在导数不存在的点）的点）凹凸性与拐点凹凸性与拐点凹：凹：凸：凸：拐点：拐点：两侧二阶导数两侧二阶导数异号异号（可疑拐点（可疑拐点:二阶导数二阶导数为为0或或不存在不存在的点）的点）52第五十二页，讲稿共七十页

22、哦上周内容回顾上周内容回顾(1)极值可疑点极值可疑点:使使导数为导数为0 或或不存在不存在的点的点(2)第一充分条件第一充分条件过过由由正正变变负负为极为极大大值值过过符号不变符号不变为极为极小小值值(3)第二充分条件第二充分条件为极为极大大值值为极为极小小值值极值极值最值最值极值可疑点极值可疑点和和边界点边界点中验证中验证过过由由负负变变正正不是极值不是极值 4.7 函数图形的作法函数图形的作法第五十三页，讲稿共七十页哦点点M M与某一直线与某一直线L L的的距离距离距离距离趋于趋于0,0,曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义定义定义.若曲线若曲线C C上的点上的点M M沿着曲线无限地沿着曲线无

23、限地远离原点远离原点远离原点远离原点时时,则称直线则称直线L L为为曲线曲线C C的的渐近线渐近线.或或“纵坐标差纵坐标差纵坐标差纵坐标差”思考：思考：求曲线求曲线的渐近线？的渐近线？54第五十四页，讲稿共七十页哦水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若若则曲线则曲线有有水平渐近线水平渐近线若若则曲线则曲线有有垂直渐近线垂直渐近线例例例例 求曲线求曲线的渐近线的渐近线.解解解解:为水平渐近线为水平渐近线;为垂直渐近线为垂直渐近线.(垂直于垂直于x轴的轴的渐近线渐近线)(平行于平行于x轴的轴的渐近线渐近线)55第五十五页，讲稿共七十页哦 斜渐近线斜渐近线 斜渐近线斜渐近线若若则曲线则曲线56第五十六页

24、，讲稿共七十页哦注注如果如果57第五十七页，讲稿共七十页哦例例 求曲线求曲线的渐近线的渐近线.解解解解:所以有铅直渐近线所以有铅直渐近线及及又因又因为曲线的斜渐近线为曲线的斜渐近线.58第五十八页，讲稿共七十页哦一、曲线的渐近线一、曲线的渐近线 4.7 函数图形的作法函数图形的作法定义定义如果曲线如果曲线 y=f(x)上的点沿着曲线趋于无穷远时上的点沿着曲线趋于无穷远时 该该点与直线点与直线 L 的距离趋于的距离趋于0 则称则称 L 为曲线的为曲线的渐近线渐近线.1)若若 或或称称 y b 为为水平渐近线水平渐近线 称称 x c 为为铅垂渐近线铅垂渐近线 2)若若 或或称称 y=kx+b 为为

25、斜渐近线斜渐近线，3)若若其中其中，注注:水平渐近线是斜渐近线的特例水平渐近线是斜渐近线的特例.59第五十九页，讲稿共七十页哦 解解 因为因为 所以所以 x 1 是曲线的铅垂渐近线是曲线的铅垂渐近线 因为因为 所以所以 y x 1 是曲线的斜渐近线是曲线的斜渐近线 例例1.求曲线求曲线 的渐近线的渐近线 所以曲线没有水平渐近线所以曲线没有水平渐近线 60第六十页，讲稿共七十页哦函数作图基本步骤：函数作图基本步骤：函数作图基本步骤：函数作图基本步骤：1.求函数的定义域；求函数的定义域；3.求函数的某些特殊点，比如：求函数的某些特殊点，比如：4.确定函数的确定函数的单调区间、极值点单调区间、极值点

26、,凹向区间、拐点凹向区间、拐点；5.考察考察渐近线渐近线；6.综合上述结果综合上述结果,列表并作图列表并作图.与坐标轴的交点、不连续点、不可导点；与坐标轴的交点、不连续点、不可导点；二、函数图形的作法二、函数图形的作法2.考察函数的奇偶性、周期性；考察函数的奇偶性、周期性；61第六十一页，讲稿共七十页哦例例例例2.2.解解解解:f 的定义域为的定义域为 x0，且知且知 f 无不可导点无不可导点.令令得得故函数图象过点故函数图象过点 与与令令 =0,得驻点得驻点 x=-2，令令 =0,得特殊点得特殊点 x=-3.f 是非奇、非偶、非周期的连续函数是非奇、非偶、非周期的连续函数.凹凹/减减凹凹/增

27、增极小值点极小值点凹凹/减减拐点拐点凸凸/减减+0-+0-f(0,+)(-2,0)-2(-3,-2)-3(-,-3)x列表确定函数单调区间、凹向及极值点和拐点：列表确定函数单调区间、凹向及极值点和拐点：62第六十二页，讲稿共七十页哦f 的图象过点：的图象过点：例例例例2.2.解解解解(续续续续):):由由 及及得斜渐近线得斜渐近线 y=-2；由由 得铅垂渐近线得铅垂渐近线 x=0.补充函数图象上的点：补充函数图象上的点：根据以上结果绘制函数图象根据以上结果绘制函数图象(左图左图).凹减凹减凹增凹增凹减凹减凸减凸减f(0,+)(-2,0)(-3,-2)(-,-3)x63第六十三页，讲稿共七十页哦

28、真实图象：真实图象：真实图象：真实图象：草图：草图：草图：草图：64第六十四页，讲稿共七十页哦眼睛眼睛1.8 m,问观察者在距墙多远处看图才最清楚问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角视角 最大最大)?例例.一张一张 1.4 m 高的图片挂在墙上高的图片挂在墙上,它的底边高于观察者的它的底边高于观察者的解解:设观察者与墙的距离为设观察者与墙的距离为 x m,则则令令得驻点得驻点根据问题的实际意义根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在观察者最佳站位存在,驻点又唯一驻点又唯一,因此观察者站在距离墙因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚。处看图最清楚。65第六十五页，讲稿共七十页哦定义定义

29、若函数若函数 f(x)可导，称可导，称 f (x)为为边际函数边际函数.C(Q)-边际成本边际成本,4.8 边际分析与弹性分析介绍边际分析与弹性分析介绍R(Q)-边际收益边际收益,例：例：设设Q为产量为产量.C=C(Q),R=R(Q),L=L(Q)为成本为成本,收益收益,利润利润 在在 x=x0 处，若处，若注：注：C(100)/R(100)/L(100)的的经济意义经济意义经济意义经济意义:当当 Q=100 时时,再生产一件产品所改变的再生产一件产品所改变的(近似近似)成本成本/收益收益/利润利润则则 x 增加增加 1 单位单位 y 近似改变近似改变f(x0)单位单位L(Q)-边际利润边际利

30、润.66第六十六页，讲稿共七十页哦例例例例1.1.已知某商品的已知某商品的成本函数成本函数为为 求：求：(1)当当 Q=10 和和 100 时时,再生产一件产品所增加的实际成本；再生产一件产品所增加的实际成本；(2)当当 Q=10 和和 100 的的边际成本边际成本，并解释其经济意义；，并解释其经济意义；(3)当当 Q 为多少时，为多少时，平均成本平均成本（）最小？）最小？67第六十七页，讲稿共七十页哦最大利润原则最大利润原则最大利润原则最大利润原则设总利润设总利润 L(Q)=R(Q)C(Q)二阶可导，二阶可导，则则 L(Q)取最大值的必要条件：取最大值的必要条件：R(Q)=C(Q);充分条件

31、：充分条件：R(Q)C(Q).例例2.已知某产品的价格函数为已知某产品的价格函数为 P=10 Q/5，成本函数为，成本函数为C=50+2Q，求产量为多少时总利润，求产量为多少时总利润 L 最大？最大？68第六十八页，讲稿共七十页哦定义定义 设函数设函数 y=f(x)在在 x0 处可导，令处可导，令 y0=f(x0),称称 为为 f 从从 x0 到到 x0+x 的的 弹性弹性(相对变化率相对变化率)，称称 为为 f 在在 x0 处的处的 弹性弹性(相对变化率相对变化率).2.弹性的计算：弹性的计算：注：注：1.弹性刻画了弹性刻画了y 对对 x 的变化反应的灵敏度的变化反应的灵敏度;=当当 x 改

32、变改变 1%时，时，y 近似改变近似改变%。或或例例3.求求(1)函数函数 y=3+2x 在点在点 x=3 处的弹性；处的弹性；(2)求幂函数求幂函数 的弹性函数的弹性函数.-不变弹性函数不变弹性函数 69第六十九页，讲稿共七十页哦设设 P 为商品价格，为商品价格，Q(P),S(P)为商品的需求函数、供给函数，为商品的需求函数、供给函数，需求弹性需求弹性 供给弹性供给弹性2.需求弹性需求弹性1 时称需求为时称需求为低弹性低弹性/单位弹性单位弹性/高弹性高弹性.例例4.每天从甲地到乙地的机票的需求量为（其中每天从甲地到乙地的机票的需求量为（其中 P 为价格）为价格）求需求弹性，解释其经济意义；求需求弹性，解释其经济意义；价格价格 P 在何范围内，需求为高弹性在何范围内，需求为高弹性/低弹性的？低弹性的？注：注：1.为使弹性为正值，需求弹性常为使弹性为正值，需求弹性常 添负号添负号 或或 取绝对值取绝对值.第七十页，讲稿共七十页哦