曲线积分与曲面积分课件.ppt

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1、关于曲线积分与曲关于曲线积分与曲面积分面积分第1页，此课件共88页哦一、对弧长的曲线积分的概念一、对弧长的曲线积分的概念1.定义函数定义函数 f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分在曲线弧上对弧长的曲线积分第2页，此课件共88页哦2.存在条件：存在条件：3.推广推广第3页，此课件共88页哦4.性质性质 第4页，此课件共88页哦5、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算定理定理第5页，此课件共88页哦注意注意:第6页，此课件共88页哦例例1解解第7页，此课件共88页哦例例2解解例例3解解第8页，此课件共88页哦例例3解解由对称性由对称性,知知第9页，此课件共88页哦练习题练习题第10页，此课

2、件共88页哦练习题答案练习题答案第11页，此课件共88页哦二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念1.定义定义:函数函数 P(x,y)在有向曲线弧在有向曲线弧L上对坐标上对坐标 x 的曲线积分的曲线积分类似地定义类似地定义第12页，此课件共88页哦2.存在条件：存在条件：3.组合形式组合形式第13页，此课件共88页哦4.4.推广推广第14页，此课件共88页哦5.5.性质性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.第15页，此课件共88页哦6、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的计算定理定理第16页，此课件共88页哦第17页，此课件共88页哦第18

3、页，此课件共88页哦例例1解解第19页，此课件共88页哦第20页，此课件共88页哦例例2解解第21页，此课件共88页哦问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同径不同积分结果不同.第22页，此课件共88页哦例例3解解第23页，此课件共88页哦第24页，此课件共88页哦问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同同而积分结果相同.第25页，此课件共88页哦(4)两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：其中其中（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）第26页，

4、此课件共88页哦思考题思考题第27页，此课件共88页哦思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.第28页，此课件共88页哦第29页，此课件共88页哦练习题答案练习题答案第30页，此课件共88页哦1 1、区域连通性的分类、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所围成内任一闭曲线所围成的部分都属于的部分都属于D,则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域,否则否则称为复连通区域称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD三三、格林公式、格林公式第31页，此课件共88页哦2.2.格林公式格林公式定理定理1 1第32页，

5、此课件共88页哦边界曲线边界曲线L L的正向的正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区域区域D总总在他的左边在他的左边.第33页，此课件共88页哦第34页，此课件共88页哦xyoLAB 第35页，此课件共88页哦第36页，此课件共88页哦解解第37页，此课件共88页哦xyoLyxo第38页，此课件共88页哦xyo(注意格林公式的条件注意格林公式的条件)第39页，此课件共88页哦 若区域若区域 如图为复如图为复连通域，试描述格林公连通域，试描述格林公式中曲线积分中式中曲线积分中L的方向。的方向。思考题思考题第40页，此课件共88页哦思考题解答思考题解答由两部分组成由两部分组成外外边界：

6、边界：内内边界：边界：第41页，此课件共88页哦Gyxo四、第二类曲线积分与路径无关的条件四、第二类曲线积分与路径无关的条件BA1.1.定义：如果在区域定义：如果在区域G内有内有第42页，此课件共88页哦2.2.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件定理定理2 2第43页，此课件共88页哦两条件缺一不可两条件缺一不可有关定理的说明：有关定理的说明：第44页，此课件共88页哦定理定理3 3第45页，此课件共88页哦第46页，此课件共88页哦解解第47页，此课件共88页哦解解第48页，此课件共88页哦第49页，此课件共88页哦四、小结四、小结与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命

7、题条条件件等等价价命命题题第50页，此课件共88页哦第51页，此课件共88页哦第52页，此课件共88页哦练习题答案练习题答案第53页，此课件共88页哦五、对面积的曲面积分五、对面积的曲面积分1.1.定义定义第54页，此课件共88页哦2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质第55页，此课件共88页哦3、计算法、计算法则则第56页，此课件共88页哦则则第57页，此课件共88页哦例例1 1解解第58页，此课件共88页哦第59页，此课件共88页哦解解依对称性知：依对称性知：第60页，此课件共88页哦第61页，此课件共88页哦第62页，此课件共88页哦练练 习习 题题第63页，此课件共88页

8、哦第64页，此课件共88页哦练习题答案练习题答案第65页，此课件共88页哦六、对坐标的曲面积分六、对坐标的曲面积分1.曲面的侧曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧第66页，此课件共88页哦曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.曲面的投影问题曲面的投影问题:第67页，此课件共88页哦2 2、概念及性质、概念及性质第68页，此课件共88页哦类似可定义类似可定义第69页，此课件共88页哦存在条件存在条件:组合形式组合形式:第70页，此课件共88页哦性质性质

9、:第71页，此课件共88页哦3 3、计算法、计算法第72页，此课件共88页哦第73页，此课件共88页哦注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.第74页，此课件共88页哦解解第75页，此课件共88页哦第76页，此课件共88页哦练练 习习 题题第77页，此课件共88页哦练习题答案练习题答案第78页，此课件共88页哦七、高七、高 斯斯 公公 式式第79页，此课件共88页哦GaussGauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知第80页，此课件共88页哦解解第81页，此课件共88页哦(利用柱面坐标得利用柱面坐标得)第82页，此课件共88页哦使用使用Guass公式时应注意公式时应注意:第83页，此课件共88页哦第84页，此课件共88页哦解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面,为利用高为利用高斯公式斯公式第85页，此课件共88页哦第86页，此课件共88页哦故所求积分为故所求积分为第87页，此课件共88页哦练习题练习题第88页，此课件共88页哦