正交表的构造详述.ppt

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1、正交表的构造详述现在学习的是第1页，共22页引言：引言：正交表正交表使用正交设计方法进行试验方案的设计，就必须用到正交表。正交表请查阅有关参考书。1各列水平数均相同的正交表各列水平数均相同的正交表2混合水平正交表混合水平正交表现在学习的是第2页，共22页1 各列水平数均相同的正交表各列水平数均相同的正交表各列水平数均相同的正交表，也称单一水平正交表。这类正交表名称的写法举例如下：各列水平均为2的常用正交表有L4（23），L8（27），L12（211），L16（215），L20（219），L32（231）。各列水平数均为3的常用正交表有：L9（34），L27（313）。各列水平数均为4的常用正交

2、表有：L16（45）各列水平数均为3的常用正交表有：L25（56）现在学习的是第3页，共22页2 混合水平正交表混合水平正交表各列水平数不相同的正交表，叫混合水平正交表，下面就是一个混合水平正交表名称的写法：L 8（4124）常简写为L 8（424）。此混合水平正交表含有1 个4水平列，4个2水平列，共有145列。现在学习的是第4页，共22页1 概述 1.基本术语基本术语 不同类型的正交表的构造方法差异很大不同类型的正交表的构造方法差异很大,甚至有些类型正交表的存在和构造至甚至有些类型正交表的存在和构造至今还是一个未解决的数学问题。今还是一个未解决的数学问题。Lu(tq)型表是一类特殊的正交表

3、型表是一类特殊的正交表,其中其中:t表示水平数。它限定为某数表示水平数。它限定为某数(即除即除1和它自己以外和它自己以外,不能被任何其他数整除不能被任何其他数整除的大于的大于1的正整数。如的正整数。如2、3、5、7、11、13、等等)或系数幂或系数幂(如如22、32、23、等等)。u表示基本数列表示基本数列,可为任意正整数。可为任意正整数。q表示总列数。表示总列数。t、u为基本参数为基本参数,当当t、u给定后给定后,则试验次数为则试验次数为tu次次,列数为列数为 q=(tu-1)/(t-1)现在学习的是第5页，共22页 一般常用的正交表一般常用的正交表,如如L4(23)、L16(215)、L9

4、(34)L16(45)、L25(56)等属于此类型等属于此类型,其基本参数为其基本参数为(t=2、u=2)、(t=2、u=4)、(t=3、u=2)、(t=2、u=4)、(t=5、u=2)。2.正交表的同等变换正交表的同等变换 正交表的行间置换、列间置换和同一列水平记号的置换正交表的行间置换、列间置换和同一列水平记号的置换,叫做正交表叫做正交表的三种初等变换。经过初等变换所能得到的一切表称为等价的的三种初等变换。经过初等变换所能得到的一切表称为等价的(或同构的或同构的)。可以根据不同试验要求可以根据不同试验要求,把一个表变成与此等价的其他特殊型式的表。把一个表变成与此等价的其他特殊型式的表。现在

5、学习的是第6页，共22页2二水平正交表的构造二水平正交表的构造1.二水平运算法则二水平运算法则 构造此类正交表要用到有限域的理论构造此类正交表要用到有限域的理论(所谓有限域所谓有限域,大致说就是对有限个元素组成的集合定义大致说就是对有限个元素组成的集合定义了加法、乘法和除法的运算了加法、乘法和除法的运算)。我们用我们用0和和1表示二水平记号表示二水平记号,这个有限域只有两个元素这个有限域只有两个元素,它们的加法和乘法定义为它们的加法和乘法定义为:a加法法则加法法则:0+0=0 0+1=1 1+1=0b 乘法法则乘法法则:00=0 01=0 11=1现在学习的是第7页，共22页 用这种规则定义加

6、法和乘法用这种规则定义加法和乘法,是有限域理论所要求的。构造正交表时是有限域理论所要求的。构造正交表时,将将用到上面加法和乘法法则。以后凡是讲到加法和乘法都指这种有限域中的加法用到上面加法和乘法法则。以后凡是讲到加法和乘法都指这种有限域中的加法和乘法而言。和乘法而言。2.正交表与交互作用列表的构造正交表与交互作用列表的构造 (1)L4(23)的构造的构造 L4(23)表是二水平中最小的一个表。表是二水平中最小的一个表。它的两个基本参数是它的两个基本参数是t=2、u=2,列数列数q=(4-1)/(2-1)=3。第一列是将第一列是将4个试验分成两半个试验分成两半,前一半是前一半是“0”水平水平,后

7、一半是后一半是“1”水平水平,称称为二分列。为二分列。第二列是将第一列的两个第二列是将第一列的两个“0”水平试验和两个水平试验和两个“1”水平试验分别再分成一个水平试验分别再分成一个“0”水平和水平和1个个“1”水平水平,称为四分列。称为四分列。二分列和四分列称为二分列和四分列称为L4(23)的基本列的基本列 第三列是将第一列与第二列的相应水平第三列是将第一列与第二列的相应水平,按按“加法规则加法规则”相加所得如表相加所得如表1所所示。示。现在学习的是第8页，共22页表表-1 L4(23)表的构造表的构造 1 2 3 1 0 0 0+0=1 2 0 1 0+1=1 3 1 0 1+0=1 4

8、1 1 1+1=0 列号列号 a b ab列号试验号 构造交互作用列表时构造交互作用列表时,一般引进一般引进“列名列名”和和“列名运算规则列名运算规则”来进行。用来进行。用a、b分别一记分别一记L4(23)的两个基本列的两个基本列,称称a为第为第1列的列号列的列号,b为第二列的列名。第为第二列的列名。第3列列是由第是由第1列和第列和第2列相加得到的列相加得到的,它的列名可用第一列列名与第二列列名相乘它的列名可用第一列列名与第二列列名相乘得到的得到的现在学习的是第9页，共22页 列名的运算规则是一种指数运算列名的运算规则是一种指数运算,指数的相加或相乘按加法表或乘法表给出的规则进行。二指数的相加

9、或相乘按加法表或乘法表给出的规则进行。二列交互作用列为其列名相乘。列交互作用列为其列名相乘。如第如第1,2两列的交互作用列为两列的交互作用列为ab=ab,即第三列即第三列;第第1、3列的交互作用列为列的交互作用列为aab=a1+1b=a0b=b列列,即第二列。即第二列。由此可见由此可见,当给出一组完备列的列名后当给出一组完备列的列名后,二列的交互作用列可由列名运算得到。二列的交互作用列可由列名运算得到。(2)L8(27)的构造的构造 L8(27)的参数为的参数为t=2、u=3,它有三个基本列它有三个基本列,分别置于第分别置于第1、2、4列列,如表如表2所示。所示。第第1列是列是:二分列二分列,

10、列名为列名为a,这列这列8个试验被分成两半。个试验被分成两半。第第2列的列名为列的列名为b,是一个四分列。是一个四分列。第四列的列名为第四列的列名为C,是是8分列。分列。其他其他4列通过列间运算才能得到。列通过列间运算才能得到。现在学习的是第10页，共22页表表4 L8(27)表的构造表的构造 1 2 3 4 5 6 7 1 0 0 0+0=0 0 0+0=0 0+0=0 0+0=0 2 0 0 0+0=0 1 0+1=1 0+1=1 0+1=1 3 0 1 0+1=1 0 0+0=0 1+0=1 1+0=1 4 0 1 0+1=1 1 0+1=1 1+1=0 1+1=0 5 1 0 1+0=

11、1 0 1+0=1 0+0=0 1+0=1 6 1 0 1+0=1 1 1+1=0 0+1=1 1+1=0 7 1 1 1+1=0 0 1+0=1 1+0=1 0+0=0 8 1 1 1+1=0 1 1+1=0 1+1=0 0+1=1 列号试验号 将列名列成表将列名列成表,它就是它就是L8(27)的一组完备列名表如下的一组完备列名表如下:列号列号 1 2 3 4 5 6 7列名列名 a b ab c ac bc abc现在学习的是第11页，共22页 可以验证可以验证,L8(27)中任意二列的交互作用列是七列中的某一列中任意二列的交互作用列是七列中的某一列,并可通过列名运算得到。并可通过列名运算

12、得到。如如1、7两列的交互作用两列的交互作用aabc=a2bc=bc列列,即第即第6列。列。因此因此,可根据列名运算构造可根据列名运算构造交互作用表交互作用表(如表如表3所示所示)供直接查用。供直接查用。表-3 L8(27)交互作用表交互作用表 1 2 3 4 5 6 7 列号 (1)3 2 5 4 7 6 1 (2)1 6 7 4 5 2 (3)1 6 5 4 3 (4)1 2 3 4 (5)3 2 5 (6)1 6 (7)7现在学习的是第12页，共22页（2）Lu(2q)型正交表与交互作用列表的构造型正交表与交互作用列表的构造 根据上面的方法根据上面的方法,可以类似地构造任意基本列数为可以

13、类似地构造任意基本列数为u的二水平正交表的二水平正交表Lu(2q)和交互作用列表。和交互作用列表。a 基本列的构造基本列的构造 在在Lu(2q)的正交表中的正交表中,有有u个基本列个基本列,分别置于第分别置于第1列列,第第2列列,第第4列列,第第2u-1列列上上,基本列的列名分别用字母基本列的列名分别用字母a、b、c来表示。来表示。b 交互作用列表的构造交互作用列表的构造 通过上述通过上述a、b两个步骤两个步骤,就可得到正交表的就可得到正交表的q=(2u-1)/(2-1)=2u-1个列个列,这这q列即组成列即组成Lu(2q)的完备列。的完备列。任意两列的交互作用列则是任意两列的交互作用列则是q

14、列中的某一列列中的某一列,这一列可用这两列的列名相这一列可用这两列的列名相乘得到据此即可构造出交互作用列表。乘得到据此即可构造出交互作用列表。现在学习的是第13页，共22页下面再以下面再以L16(215)加以说明加以说明:它的基本列数它的基本列数u=4,即有即有4个基本列个基本列,分别置于分别置于1、2、4、8列列,其列名分别为其列名分别为a、b、c、d。a为二分列；为二分列；b为四分列；为四分列；c为八分列；为八分列；d为十六分列。为十六分列。第第2至第至第4列之间的列列之间的列(即第即第3列列)为第为第2列加第列加第1列列,列名列名ab,而第而第4列与第列与第8列列间的列间的列(即第即第5

15、至第至第7列列)是第是第4列依次与第列依次与第1、2、3列相加而得。第列相加而得。第9至至15列列(共共7列列)为第为第8列与前列与前7列依次相加而得。列依次相加而得。L16(215)中的中的15列的列名表如下：列的列名表如下：列号列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15列名列名 a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abcd 这是一组完备列名表这是一组完备列名表,任何两列的交互列均在这任何两列的交互列均在这15列中列中,可用列名运算可用列名运算找出交互列找出交互列,如第如第3列与第列与第13列的交互列为列的交互

16、列为abacd=a1+1 bcd=bcd即即14列。列。现在学习的是第14页，共22页 二水平正交表的构造原理二水平正交表的构造原理,可推广到三水平的情况可推广到三水平的情况,所不同的只是交互作用列和列名运算有些差别。所不同的只是交互作用列和列名运算有些差别。1.三水平运算规则三水平运算规则 用用0、1、2表示三个水平表示三个水平,其加法和乘法规则规定如下其加法和乘法规则规定如下:+0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 2.正交表与交互作用列表的构造正交表与交互作用列表的构造 三水平表的最小一个表是三水平表的最小一个表是L9(34),它的两个基本参数是它的两个基本参数是t

17、=3,u=2,从而得到其列数为从而得到其列数为q=(9-1)/(3-1)=4.第第1列是三分列，记列名为列是三分列，记列名为a。第。第2列是称为九分列、列名记为列是称为九分列、列名记为b。第第3列是由第列是由第1列与第列与第2列按加法规则相加而得列按加法规则相加而得,其列名称为第其列名称为第1列的列名与第列的列名与第2列的列名相乘列的列名相乘,即即ab。第四列是将第一列的每个水平按乘法规则乘以第四列是将第一列的每个水平按乘法规则乘以“2”,然后与第然后与第2列相加得到的列相加得到的,其列名为其列名为a2b。3 三水平正交表的构造三水平正交表的构造 0 1 2 0 0 0 1 0 1 2 2 0

18、 2 1现在学习的是第15页，共22页 L9(34)的四列的四列a、b、ab、a2b就是一组标准化完备列名。可以验证就是一组标准化完备列名。可以验证,这四列的任两列的交互这四列的任两列的交互作用列就是另外两列。例如作用列就是另外两列。例如,第第3列列ab与第与第4列列a2b的交互作用列为的交互作用列为 aba2b=a1+2b1+1=b2(b2)2=b22=b (第第2列列)(ab)2a2b=a2+2b2+1=ab0=a (第第1列列)反之反之,若列名最后一个字母的指数不是若列名最后一个字母的指数不是1,则均称为非标准化列则均称为非标准化列 名名,如如ab2。但是非标准化。但是非标准化列名可以通

19、过一定的列名运算就成与它等价的标准化列名。列名可以通过一定的列名运算就成与它等价的标准化列名。在三水平的情况下在三水平的情况下,只要将非标准化列名平方一下只要将非标准化列名平方一下,即可达到目的。例如即可达到目的。例如:ab2=(ab2)2=a2b22=a2b 此外此外,如果一组列名不仅是一组标准化列名如果一组列名不仅是一组标准化列名,而且又是一组完备列名而且又是一组完备列名,则称它为一组标则称它为一组标准经完备列名。准经完备列名。现在学习的是第16页，共22页 通过对通过对L9(34)表构造的讨论表构造的讨论,可将可将L3(3q)型表和它的交互作用列表的构造法则归纳型表和它的交互作用列表的构

20、造法则归纳如下如下:(1)L3(3q)型正交表的构造型正交表的构造 给出基本参数给出基本参数u后后,L3(3q)型表的总列数型表的总列数,q=(3u-1)/(3-1)=(3u-1)/2 其中其中u列为基本列列为基本列,分别置第分别置第1、2、5,(3u-1)/2+1列列(共共u列列)。基本列的列号基本列的列号分别用字母分别用字母a、b、c、d命名。命名。第第1列为三分列列为三分列,第第2列为九分列列为九分列,第第5列为二十七分列。第列为二十七分列。第(3u-1)/2+1列为列为3u分列。分列。在每个基本列后在每个基本列后(除第一个基本列外除第一个基本列外)依次安排该基本列与该列前所有的交依次安

21、排该基本列与该列前所有的交互作用互作用(共两列共两列),交互作用列的列名用乘法规则得到交互作用列的列名用乘法规则得到,这样所得到的这样所得到的q=(3u-1)/2个列个列名名,就是一组标准化完备列名。就是一组标准化完备列名。现在学习的是第17页，共22页 (2)交互作用列表的构造交互作用列表的构造 L3(3q)正交表的交互作用列表构造正交表的交互作用列表构造,按照列名运算法则可得到。按照列名运算法则可得到。下面看一下下面看一下L27(313)。它是。它是u=3的表。它的构造法和的表。它的构造法和L9(34)相同相同,它有三个基本列它有三个基本列,置于第置于第1、2、5列列,列名分别记为列名分别

22、记为a、b、c。第第1列列a这三分列这三分列;第第2列是九分列列是九分列;第第5列列c是二十七分列。是二十七分列。其余各列可按下列规则得出其余各列可按下列规则得出:前一列加后列以及前一列每水平乘前一列加后列以及前一列每水平乘2加后列加后列,列名用乘积表列名用乘积表示。示。L27(313)的列名表如下：的列名表如下：列号列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13列名列名 a b ab a2b c ac a2c bc b2c abc a2b2c a2bc ab2c 读者可根据列名具体写出读者可根据列名具体写出L27(313)的各列。这的各列。这13个列名是一组标准化完备列名个

23、列名是一组标准化完备列名,对于任何非对于任何非标准化列名将其平方即为其等价的标准化列名标准化列名将其平方即为其等价的标准化列名,这样一来可以直接从列名运算找到它们的这样一来可以直接从列名运算找到它们的交互列。交互列。现在学习的是第18页，共22页 例如第例如第7、8列的交互列为列的交互列为:a2cbc=a2bc2=(a2bc2)2=a22b2c22=ab2c(第第13列列)(a2c)2bc=a22bc2+1=ab (第第3列列)即第即第7、8列的交互作用列为第列的交互作用列为第3、13列列现在学习的是第19页，共22页#选择正交表的基本原则选择正交表的基本原则一般都是先确定试验的因素、水平和交

24、互作用，后选择适用的L表。在确定因素的水平数时，主要因素宜多安排几个水平，次要因素可少安排几个水平。（1）先看水平数。若各因素全是2水平，就选用L(2)表；若各因素全是3水平，就选L(3)表。若各因素的水平数不相同，就选择适用的混合水平表。（2）每一个交互作用在正交表中应占一列或二列。要看所选的正交表是否足够大，能否容纳得下所考虑的因素和交互作用。为了对试验结果进行方差分析或回归分析，还必须至少留一个空白列，作为“误差”列，在极差分析中要作为“其他因素”列处理。（3）要看试验精度的要求。若要求高，则宜取实验次数多的L表。现在学习的是第20页，共22页（4）若试验费用很昂贵，或试验的经费很有限，或人力和时间都比较紧张，则不宜选实验次数太多的L表。（5）按原来考虑的因素、水平和交互作用去选择正交表，若无正好适用的正交表可选，简便且可行的办法是适当修改原定的水平数。（6）对某因素或某交互作用的影响是否确实存在没有把握的情况下，选择L表时常为该选大表还是选小表而犹豫。若条件许可，应尽量选用大表，让影响存在的可能性较大的因素和交互作用各占适当的列。某因素或某交互作用的影响是否真的存在，留到方差分析进行显著性检验时再做结论。这样既可以减少试验的工作量，又不致于漏掉重要的信息。现在学习的是第21页，共22页谢谢！现在学习的是第22页，共22页