常见曲线的参数方程讲稿.ppt

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1、关于常见曲线的参数方程第一页，讲稿共四十六页哦1 旋轮线 2 旋轮线也叫摆线3 旋轮线是最速降线 4 心形线 5 星形线 6 圆的渐伸线 7 笛卡儿叶形线 8 双纽线9 阿基米德螺线 10 双曲螺线 主主 目目 录录（1 1 10 10）第二页，讲稿共四十六页哦xa曲线曲线,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。1.1.旋轮线旋轮线一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的第三页，讲稿共四十六页哦x来看来看动点的慢点的慢动作作.第四页，讲稿共四十六页哦2a2 a0yx ax=a(t sint)y=a(1 cos

2、t)t t 的几何意的几何意义如如图示示ta当当 t 从从 0 2，x从从 0 2 a即曲即曲线走了一拱走了一拱a.参数方程参数方程第五页，讲稿共四十六页哦oaCAxy这就是旋就是旋轮线的参数方程。的参数方程。第六页，讲稿共四十六页哦将旋将旋轮线的一拱一分的一拱一分为二，并倒置成二，并倒置成挡板板2.2.旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线（单摆）（单摆）（单摆）（单摆）第七页，讲稿共四十六页哦.第八页，讲稿共四十六页哦第九页，讲稿共四十六页哦两个旋轮线形状的挡板两个旋轮线形状的挡板,使摆动周期与摆幅完全无关。使摆动周期与摆幅完全无关。在在17 17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称世纪，旋轮

3、线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线摆线。第十页，讲稿共四十六页哦BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题最速降线问题:质点在重力作用下沿曲点在重力作用下沿曲线从固定点从固定点A滑到固定点滑到固定点B，当曲当曲线是什么形状是什么形状时所需要的所需要的时间最短？最短？3.3.旋轮线是最速降线旋轮线是最速降线生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗？第十一页，讲稿共四十六页哦BA第十二页，讲稿共四十六页哦BA第十三页，讲稿共四十六页哦BA滑板的滑板的轨道就是道就是这条曲条曲线.第十四页，讲稿共四十六页哦xyoaa一一圆沿另一沿另一圆外外缘无滑无滑动

4、地地滚动，动圆圆周上任周上任一点所画出的曲一点所画出的曲线。4.4.心形线心形线(圆外旋轮线圆外旋轮线)第十五页，讲稿共四十六页哦xyoa来看来看动点的慢点的慢动作作.a第十六页，讲稿共四十六页哦xyoaa2a来看来看动点的慢点的慢动作作.第十七页，讲稿共四十六页哦xyo2aP r.r=a(1+cos)参数方程参数方程第十八页，讲稿共四十六页哦xyoa a一一圆沿另一沿另一圆内内缘无滑无滑动地地滚动，动圆圆周上任一点周上任一点所画出的曲所画出的曲线。5.5.星形线星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)第十九页，讲稿共四十六页哦xyoa a来看来看动点的慢点的慢动作作.第二十页，讲稿共四十六页哦xyoa

5、 a来看来看动点的慢点的慢动作作.第二十一页，讲稿共四十六页哦xyoa a0 2 极坐标方程为.P.直角坐标方程为：直角坐标方程为：.第二十二页，讲稿共四十六页哦0 xy一直一直线沿沿圆周周滚转（无滑（无滑动）直直线上上一个定点一个定点的的轨迹迹6.6.圆的渐伸线圆的渐伸线a 参数方程为参数方程为第二十三页，讲稿共四十六页哦0 xy.a再看一遍再看一遍第二十四页，讲稿共四十六页哦0 xy.a第二十五页，讲稿共四十六页哦0 xy.a第二十六页，讲稿共四十六页哦a0 xMttaat(x,y)0 xy试由由这些关系推出曲些关系推出曲线的方程的方程.参数方程为参数方程为第二十七页，讲稿共四十六页哦1.

6、曲曲线关于关于 y=x 对称称2.曲曲线有有渐进线 x+y+a=0分析分析3.令令 y=t x,得参数式得参数式故在原点，曲故在原点，曲线自身相交自身相交.7.7.狄狄狄狄卡儿卡儿叶叶叶叶形线形线4.第二十八页，讲稿共四十六页哦0 xyx+y+a=0曲曲线关于关于 y=x 对称称曲曲线有有渐近近线 x+y+a=0.第二十九页，讲稿共四十六页哦0 xyPr.曲曲线在极点自己相交，与此在极点自己相交，与此对应的角度的角度为 =.距离之距离之积为a2的点的的点的轨迹迹直角系方程直角系方程8.8.双双纽纽纽纽线线第三十页，讲稿共四十六页哦0 xy.所所围面面积.由由对称性称性.例例例例1 1 1 1

7、求求求求双双纽线第三十一页，讲稿共四十六页哦0rr=a 曲曲线可以看作可以看作这种点的种点的轨迹：迹：动点在射点在射线上作等速运上作等速运动同同时此射此射线又又绕极点作等速极点作等速转动从极点射出半射从极点射出半射线9.9.阿基米德螺线阿基米德螺线第三十二页，讲稿共四十六页哦0r.第三十三页，讲稿共四十六页哦0r再看一遍再看一遍请问：动点的点的轨迹什么迹什么样？.第三十四页，讲稿共四十六页哦0r.第三十五页，讲稿共四十六页哦0r.第三十六页，讲稿共四十六页哦0rr=a.阿基米德螺阿基米德螺线第三十七页，讲稿共四十六页哦r这里里 从从 0+8r=a 02 a每两个螺形卷每两个螺形卷间沿射沿射线的

8、距离是定数的距离是定数.阿基米德螺阿基米德螺线第三十八页，讲稿共四十六页哦0r8当当 从从 0 r=a.阿基米德螺阿基米德螺线第三十九页，讲稿共四十六页哦r0.这里里 从从 0+8a.10 10 双曲螺线双曲螺线第四十页，讲稿共四十六页哦r0.当当 从从 0 8a.双曲螺双曲螺线第四十一页，讲稿共四十六页哦xyo例例2 22.S=1+cos 3r =3cos 由由 3cos =1+cos 得交点的坐得交点的坐标S S2.第四十二页，讲稿共四十六页哦.例例3.3.10 xy令令 cos2 =0,由由 sin 0,联立后得交点坐立后得交点坐标.S=2.第四十三页，讲稿共四十六页哦xyo例例4 41s1s2.sS=1+cos 第四十四页，讲稿共四十六页哦求由求由双双纽线0 xy.由由对称性称性.例例5.5.a内部的面内部的面积。双双纽线化成极坐化成极坐标令令 r=0,S=4+.第四十五页，讲稿共四十六页哦感感谢谢大大家家观观看看第四十六页，讲稿共四十六页哦