概率论与数理统计思想方法的产生与发展.ppt

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1、概率论与数理统计思想方法的产生与发展现在学习的是第1页，共90页概率的古典定义概率的古典定义概率的极限理论概率的极限理论概率论的公理化概率论的公理化公理化后概率论的发展公理化后概率论的发展数理统计思想方法数理统计思想方法现在学习的是第2页，共90页早在16世纪中，赌博中的偶然现象引起人们的注意,意大利意大利数学家卡丹（数学家卡丹（G.Cardano,15011576）撰写了）撰写了论赌博论赌博一书一书，书中计算了掷两颗或三颗骰子时，在一切可能方法中有多少方法得到书中计算了掷两颗或三颗骰子时，在一切可能方法中有多少方法得到某总点数。某总点数。到16世纪末,随着航海事业的发展，意大利开始出现海上保

2、险业务，并逐渐把业务扩大到工商业.于是，研究必然性或偶然性现象的数学工具开始萌芽.十七世纪，正当研究现实世界中的必然现象及其规律的十七世纪，正当研究现实世界中的必然现象及其规律的必然必然数学数学（如算术，三角、几何、代数、微积分，微分方程、积分方（如算术，三角、几何、代数、微积分，微分方程、积分方程和函数论等）获得巨大发展的时候，一个研究偶然事件的数学分程和函数论等）获得巨大发展的时候，一个研究偶然事件的数学分支也开始出现了，这就是所谓支也开始出现了，这就是所谓或然数学或然数学。令人费解的是，这样一门重要的数学分支竟然起源于对令人费解的是，这样一门重要的数学分支竟然起源于对赌博问题的研究。赌博

3、问题的研究。现在学习的是第3页，共90页Kaerdanuo卡尔达诺，（又译卡丹、卡当）GirolamoCardano(15011576)意大利医生、数学家、占星术家。1526年，在帕多瓦大学以优异成绩取得医学学位。以后在米兰、博洛尼亚等地行医，不久便闻名全欧洲。卡丹很信梦，一天夜里，他梦见了一个身穿白衣的漂亮女人。后来，他果然遇到了一个与他梦中所见完全一样的女人，不免受到极大震动。起初，贫困的卡丹因为不敢向她求爱而深感绝望：现在学习的是第4页，共90页“如果我，一个穷人，娶一个女人，没有嫁妆，只有一大群弟妹需要供养，那我就完蛋了！我甚至连自己也养活不起！如果我试图诱拐她，或勾引她，周围又会有多

4、少双眼睛在监视我！”但终于，他的爱赢得了婚姻。1531年，他娶了梦中的女人卢西亚班达里妮为妻。这段小插曲表明了梦、先兆在卡丹的一生中所起的突出作用，这使他成为一位热心的占星术士。他在数学方面也有很高的造诣，1539年出版两本算术书，这是他历年的教学总结。这一年，他向N.塔尔塔利亚求教三次方程的解法，并立下誓言，永不泄密。可是他没有遵守诺言，1545年出版大术(ArsMagna)一书，将三次方程解法公诸社会。这激怒了塔尔塔利亚，导致一场争吵，结果不欢而散。现在学习的是第5页，共90页后来三次方程求根公式叫做卡丹公式，而塔尔塔利亚之名反而湮没无闻。不过大术并非完全抄袭之作，其中包含许多卡丹的创造。

5、例如，他最早认真地讨论虚数，给出表示虚数的符号和运算法则，虽然他自己也怀疑这种运算的合法性。他对代数方程论（包括三次方程）的研究也有重要的推进。卡丹的另一个终生爱好是赌博。他经常沉湎于赌博，他常常能赢许多钱，贴补收入。他将这一恶习提到科学研究的高度。他为此撰写论赌博，提出系统的概率计算，早于帕斯卡和费马一个世纪，这是第一部论及数学概率的重要论文，可惜发表很晚，他死后于1663年出版。现在学习的是第6页，共90页第一节概率的古典定义第一节概率的古典定义一、帕斯卡和费马的一、帕斯卡和费马的“点问题点问题”1653年夏天，法国著名数学、物理学家帕斯卡年夏天，法国著名数学、物理学家帕斯卡(162316

6、62）前往埔埃托镇度假。旅途中，他遇到了骑士梅勒）前往埔埃托镇度假。旅途中，他遇到了骑士梅勒（Mre,16101685）。梅勒是经常出没于赌场的。梅勒是经常出没于赌场的“赌坛老赌坛老手手”。为了消除旅途的寂寞，梅勒吹嘘起。为了消除旅途的寂寞，梅勒吹嘘起“赌博经赌博经”，并向，并向帕斯卡提出了一个十分有趣的帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注分赌注”的问题。的问题。问题是这样的：问题是这样的：一次，梅勒与其赌友掷骰子每人押了一次，梅勒与其赌友掷骰子每人押了32个个金币的赌注，并约定，如果梅勒先掷出三个金币的赌注，并约定，如果梅勒先掷出三个6点，或其赌友先掷出点，或其赌友先掷出三个三个4点，便算赢家

7、。点，便算赢家。现在学习的是第7页，共90页遗憾的是这场赌注不算小的赌博并未能顺利结束。当梅勒已掷出两次6点，其赌友掷出一次4点时，梅勒接到通知，要他马上陪同国王接见外宾。君命难违，但就此收回各自的赌注，又不甘心。他们只好按照已有的成绩分取这64个金币。这下可把他们难住了。赌友说，他要再碰上两次4点，或梅勒要再碰上一次6点就算赢了，所以他有权分得梅勒的一半，即64个金币的1/3。梅勒不同意这样分，他说，即使下次赌友掷出一个4点，他还可得赌金的1/2，即32个金币，再加上下次他还有一半希望得6点，这样又可分得16个金币，故他至少应得64个金币的3/4。谁是谁非，争论不休，其结局也就不得而知了。不

8、过梅勒对于此事却一直耿耿于怀，所以当他一碰到帕斯卡就立即求教。现在学习的是第8页，共90页帕斯卡是一位著名的天才数学家。据说，他在孩提时代就独立证明了“三角形内角和等于180”；16岁时发现“帕斯卡六边形定理”，他以此写成的论文竟使笛卡儿怀疑是其父亲的作品。时值盛年，成果显赫。然而，梅勒的貌似简单的问题，却将他真正难住了。经过长时间的探索，还是不得要领。于是，在1654年，他不得不写信与他的好友费马讨论。向他提出一个赌博中的问题：向他提出一个赌博中的问题：“两个两个赌徒相约赌若干局，谁先赢赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算胜了，现在有甲赢局就算胜了，现在有甲赢a(as)局，局，乙赢乙赢b（bs）

9、局，赌博中止。问赌本应怎样分法才合理？）局，赌博中止。问赌本应怎样分法才合理？”两人通信商讨了这个问题，并用各自不同的方法解决了这个问题。这被看作是数学史上最早的概率论文献,这个问题后来也就成为著名的“点问题”。圆内接六边形的三双对边(所在直线)的交点共线现在学习的是第9页，共90页不失一般性，仅以s=3,a2，b=1为例，说明他们的思想方法。帕斯卡认为，按条件甲已赢两局，得2点；乙只赢局，得1点。若再掷一次，则甲或者获全胜(应得赌金1=100%)；或与乙点数相等(应得赌金1/2)。把这两种情况平均一下，甲应得赌金的乙应得赌金的现在学习的是第10页，共90页费马则认为，由于甲已得费马则认为，由

10、于甲已得2点，乙已得点，乙已得1点，离赌博结束最点，离赌博结束最多还要掷多还要掷(sa)+(sb)1=2次，次，因此结果有四种可能情况：因此结果有四种可能情况：(甲、甲甲、甲)；（甲、乙）；（乙、甲）；（乙、乙）；（甲、乙）；（乙、甲）；（乙、乙）在前三种情况下都是甲赢，只有最后一种情况乙获胜。因此，甲在前三种情况下都是甲赢，只有最后一种情况乙获胜。因此，甲有权分得赌金有权分得赌金3/4，而乙只能分得赌金，而乙只能分得赌金1/4。后来，后来，帕斯卡在所著帕斯卡在所著论算术三角形论算术三角形中给出了这一问题的中给出了这一问题的通解：通解：令令m=sa,n=sb，则甲、乙两人应得赌金之比为：，则甲

11、、乙两人应得赌金之比为：现在学习的是第11页，共90页二、惠更斯的二、惠更斯的“数学期望数学期望”帕斯卡和费马的通信引起了荷兰数学家惠更斯的兴趣，他第帕斯卡和费马的通信引起了荷兰数学家惠更斯的兴趣，他第一个提出了一个提出了“数学期望数学期望”概念。尽管他的定义仍采取赌博的术语，概念。尽管他的定义仍采取赌博的术语，但具有一般性。他在但具有一般性。他在1657年发表的年发表的论赌博中的推理论赌博中的推理一文中一文中提出：提出：在开局之前，对每一个赌徒来说就都已有了关于结局的一在开局之前，对每一个赌徒来说就都已有了关于结局的一种种“期望期望”。如果共有。如果共有N种等可能结果，其中种等可能结果，其中

12、n种结果使他获赌种结果使他获赌金为金为a，其余结果使他获赌金为，其余结果使他获赌金为b，则他的期望值为，则他的期望值为现在学习的是第12页，共90页在现代的概率论中，是先定义在现代的概率论中，是先定义“概率概率”概念，然后定义概念，然后定义“数学期望数学期望”概念。但在历史上则相反，先有概念。但在历史上则相反，先有“期望期望”概念。概念。古典概型的概率定义，完全可以从期望概念中导出来。古典概型的概率定义，完全可以从期望概念中导出来。惠更斯除了以惠更斯除了以“期望期望”为基础重新解决以前提出过的许为基础重新解决以前提出过的许多赌博问题以外，还提出并解决了一些新问题。他已预见到多赌博问题以外，还提

13、出并解决了一些新问题。他已预见到这一新的推理和计算方法，具有强大的生命力。这一新的推理和计算方法，具有强大的生命力。现在学习的是第13页，共90页惠更斯（Huygens,16291695）荷兰物理学家、天文学家、数学家、他是介于伽利略与牛顿之间一位重要的物理学先驱。惠更斯1629年4月14日出生于海牙，父亲是大臣、外交官和诗人，常与科学家往来。惠更斯自幼聪明好学，思想敏捷，多才多艺，13岁时就自制一架车床，并受到当时名人笛卡儿的直接指导，父亲曾亲热地叫他为“我的阿基米德”。16岁时进莱顿大学攻读法律和数学，两年后转入布雷达大学，1655年获法学博士学位，随即访问巴黎，在那里开始了他重要的科学生

14、涯。1663年访问英国，并成为刚建不久的皇家学会会员。1666年，应路易十四邀请任刚建立的法国科学院院士。惠更斯体弱多病，全身心献给科学事业，终生未婚，1695年7月8日逝于海牙。现在学习的是第14页，共90页三、伯努利的三、伯努利的“大数定理大数定理”一般认为，概率论作为一门独立的数学分支，其真正的奠一般认为，概率论作为一门独立的数学分支，其真正的奠基人应该是雅各布基人应该是雅各布伯努利，他建立了最简单的概率模型伯努利，他建立了最简单的概率模型伯伯努利概型。努利概型。即如果某事件A出现的概率为p，不出现的概率为q=1p，则在n次试验中，A出现m次的概率为他的主要著作猜度术可以称为概率论第一本

15、专著，这本书中他利用无穷级数解决某些赌博中的概率问题；他发现掷n个骰子使点数之和为m的所有可能情况的总数为展开式中的系数。现在学习的是第15页，共90页他首创差分方程法，彻底解决了所谓他首创差分方程法，彻底解决了所谓“破产问题破产问题”现现在通称为在通称为“直线上的随机游动问题直线上的随机游动问题”。雅各布。雅各布伯努利还预见到伯努利还预见到概率的某些社会应用，概率的某些社会应用，但雅各布但雅各布伯努利对概率论的主要贡献还在伯努利对概率论的主要贡献还在于对于对“大数定律大数定律”的表述和证明。的表述和证明。在伯努利以前，人们对概率概念多半从主观方面来解释，即在伯努利以前，人们对概率概念多半从主

16、观方面来解释，即解释成一种解释成一种“期望期望”。由于当时所研究的问题限于古典概型，概。由于当时所研究的问题限于古典概型，概率值的确定是依据计算各种等可能性的数目。率值的确定是依据计算各种等可能性的数目。伯努利指出，这种方法有很大的局限性，也许只有赌博中可用，伯努利指出，这种方法有很大的局限性，也许只有赌博中可用，在更多的场合，由于根本无法数清所有的可能情况，也无法确定不在更多的场合，由于根本无法数清所有的可能情况，也无法确定不同情况的可能性彼此间的大小，因此这种方法就不可行。要处理属同情况的可能性彼此间的大小，因此这种方法就不可行。要处理属于更大范围的问题，必须选择另一条道路，那就是于更大范

17、围的问题，必须选择另一条道路，那就是“后验地去探知后验地去探知我们所无法先验地确定的东西，也就是从大量相类事例的观察结果我们所无法先验地确定的东西，也就是从大量相类事例的观察结果中去探知它中去探知它”，这就使概率从主观的，这就使概率从主观的“期望期望”解释转到了客观的解释转到了客观的“频率频率”解释。解释。现在学习的是第16页，共90页伯努利陈述的伯努利陈述的“大数定律大数定律”是：是：随着观测数目的不断增加，以致这个概率将最终超过所要求随着观测数目的不断增加，以致这个概率将最终超过所要求的任意的确定度。的任意的确定度。用现代概率论语言来陈述，即以用现代概率论语言来陈述，即以“伯努利定理伯努利

18、定理”著称的著称的极极限定理：限定理：若在一系列独立试验中，事件若在一系列独立试验中，事件A发生的概率为常数且等于发生的概率为常数且等于p,那么那么对对,以及充分大的试验次数以及充分大的试验次数n，有，有其中其中m为为n次试验中事件次试验中事件A发生的次数，为任意小的正数。发生的次数，为任意小的正数。现在学习的是第17页，共90页大数定律是对大量经验观测中所呈现的稳定性刻划，尽管这一特征在很早已经被人注意到了。正如伯努利自己所说，用频率确定概念的经验方法并不新奇，但这决不意味伯努利的工作是平凡的。人们固然凭经验容易猜测到事物的本性，然而要把人们对大数定理实质的模糊感知提升到明确陈述的科学定律却

19、并不容易。为了纪念他的功绩，后人遵照法国数学家泊松(Poisson,17811840)的建议，把大数定律称为“伯努利定理”。可以毫不夸张地说，正是这一定理，才使得以往陷于零碎琐屑的概率计算，开始具有了一门统一的数学理论的资格。这一定理第一次试图在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立演绎关系，构成了从概率论通向更广泛的应用领域的桥梁。现在学习的是第18页，共90页科学世家伯努利家族科学世家伯努利家族在科学史上，父子科学家、兄弟科学家并不鲜见，然而，在一个家族跨世纪的几代人中，众多父子兄弟都是科学家的较为罕见，其中，瑞士的伯努利家族最为突出。1718世纪瑞士伯努利家族，3代人中产生了8位科学家

20、，出类拔萃的至少有3位；而在他们一代又一代的众多子孙中，至少有一半相继成为杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人们系统地追溯过，他们在数学、科学技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望，有的甚至声名显赫。最不可思议的是这个家族中有两代人，他们中的大多数数学家，并非有意选择数学为职业，然而却忘情地沉溺于数学之中，有人调侃他们就像酒鬼碰到了烈酒。现在学习的是第19页，共90页老尼古拉伯努利（NicolausBernoulli，公元16231708年）生于巴塞尔，受过良好教育，曾在当地政府和司法部门任高级职务。他有3个有成就的儿子。其中长子雅各布（Jacob，公元16541705年

21、）和第三个儿子约翰（Johann，公元16671748年）成为著名的数学家，第二个儿子小尼古拉（Nicolaus，公元16621716年）在成为彼得堡科学院数学界的一员之前，是伯尔尼的第一个法律学教授。现在学习的是第20页，共90页雅各布伯努利（JacobBernoulli，16541705）1671年17岁时获艺术硕士学位。这里的艺术指“自由艺术”，包括算术、几何学、天文学、数理音乐和文法、修辞、雄辩术共7大门类。遵照父亲的愿望，他于1676年22岁时又取得了神学硕士学位。然而，他也违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。1676年，他到日内瓦做家庭教师。从1677年起，他开始在那里写内容丰富的

22、沉思录。现在学习的是第21页，共90页1678年和1681年，雅各布伯努利两次外出旅行学习，到过法国、荷兰、英国和德国，接触和交往了许德、玻意耳、胡克、惠更斯等科学家，写有关于彗星理论（1682年）、重力理论（1683年）方面的科技文章。1687年，雅各布在教师学报上发表数学论文用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分的方法，同年成为巴塞尔大学的数学教授，直至1705年8月16日逝世。1699年，雅各布当选为巴黎科学院外籍院士；1701年被柏林科学协会（后为柏林科学院）接纳为会员。许多数学成果与雅各布的名字相联系。例如悬链线问题（1690年），曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线”（169

23、4年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周问题”（1700年）等。雅各布对数学最重大的贡献是在概率论研究方面。他从1685年起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的论文，后来写成巨著猜度术，这本书在他死后8年，即1713年才得以出版。现在学习的是第22页，共90页约翰伯努利(JohannBernoulli，16671748年)约翰于1685年18岁时获巴塞尔大学艺术硕士学位，这点同他的哥哥雅各布一样。他们的父亲老尼古拉要大儿子雅各布学法律，要小儿子约翰从事家庭管理事务。但约翰在雅各布的带领下进行反抗，去学习医学和古典文学。约翰于1690年获医学硕士学位，1694年又获得博士学位。但他发现他骨子

24、里的兴趣是数学。他一直向雅各布学习数学，并颇有造诣。1695年，28岁的约翰取得了他的第一个学术职位荷兰格罗宁根大学数学教授。10年后的1705年，约翰接替去世的雅各布任巴塞尔大学数学教授。同他的哥哥一样，他也当选为巴黎科学院外籍院士和柏林科学协会会员。1712、1724和1725年，他还分别当选为英国皇家学会、意大利波伦亚科学院和彼得堡科学院的外籍院士。现在学习的是第23页，共90页约翰的数学成果比雅各布还要多。例如解决悬链线问题（1691年），提出洛必达法则（1694年）、最速降线（1696年）和测地线问题（1697年），给出求积分的变量替换法（1699年），研究弦振动问题（1727年），

25、出版积分学教程（1742年）等。约翰与他同时代的110位学者有通信联系，进行学术讨论的信件约有2500封，其中许多已成为珍贵的科学史文献，例如同他的哥哥雅各布以及莱布尼茨、惠更斯等人关于悬链线、最速降线（即旋轮线）和等周问题的通信讨论，虽然相互争论不断，特别是约翰和雅各布互相指责过于尖刻，使兄弟之间时常造成不快，但争论无疑会促进科学的发展，最速降线问题就导致了变分法的诞生。约翰的另一大功绩是培养了一大批出色的数学家，其中包括18世纪最著名的数学家欧拉、瑞士数学家克莱姆、法国数学家洛必达，以及他自己的儿子丹尼尔和侄子尼古拉二世等。现在学习的是第24页，共90页丹尼尔(Daniel，公元17001

26、782年)出生于荷兰的格罗宁根，1716年16岁时获艺术硕士学位；1721年又获医学博士学位。他曾申请解剖学和植物学教授职位，但未成功。丹尼尔受父兄影响，一直很喜欢数学。1724年，他在威尼斯旅途中发表数学练习，引起学术界关注，并被邀请到圣彼得堡科学院工作。同年，他还用变量分离法解决了微分方程中的里卡提方程。1725年，25岁的丹尼尔受聘为圣彼得堡的数学教授。1727年，20岁的欧拉(后来人们将他同阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”)，到圣彼得堡成为丹尼尔的助手。丹尼尔伯努利(DanielBernoulli，17001782年)现在学习的是第25页，共90页然而，丹尼尔认为圣彼得堡那

27、地方的生活比较粗俗，8年后的1733年，他返回巴塞尔，终于在那儿成为解剖学和植物学教授，最后又成为物理学教授。1734年，丹尼尔荣获巴黎科学院奖金，以后又10次获得该奖金。能与丹尼尔媲美的只有大数学家欧拉。丹尼尔和欧拉保持了近40年的学术通信，在科学史上留下一段佳话。在伯努利家族中，丹尼尔是涉及科学领域较多的人。他出版了经典著作流体动力学(1738年)；研究弹性弦的横向振动问题(17411743年)，提出声音在空气中的传播规律(1762年)。他的论著还涉及天文学(1734年)、地球引力(1728年)、湖汐(1740年)、磁学(1743、1746年)，振动理论(1747年)、船体航行的稳定(17

28、53、1757年)和生理学(1721、1728年)等。凡尼尔的博学成为伯努利家族的代表。丹尼尔于1747年当选为柏林科学院院士，1748年当选巴黎科学院院士，1750年当选英国皇家学会会员。他一生获得过多项荣誉称号。现在学习的是第26页，共90页四、蒲丰的四、蒲丰的“投针问题投针问题”蒲丰(Buffon,17071788)法国数学家、自然科学家。1707年9月7日生于蒙巴尔，1788年4月16日卒于巴黎。蒲丰10岁时在第戎耶稣会学院读书，16岁主修法学，21岁到昂热转修数学，并开始研究自然科学，特别是植物学。1733年当选为法国科学院院士，1739年任巴黎皇家植物园园长，1753年进入法兰西学

29、院1771年接受法王路易十四的爵封。现在学习的是第27页，共90页蒲丰是几何概率的开创者，他于1777年完成的著作偶然性的算术试验，把概率和几何结合起来，开创了几何概率的研究.其中最著名的问题是“投针问题”：有一天，蒲丰突发奇想，请许多宾朋来到家里，做了一个奇特的试验。他把事先画好了一条条有等矩离平行线的白纸铺在桌面上，然后拿出一包质量均匀而长度为平行线间矩离一半的小针，请客人把针一根根随意扔到纸上，蒲丰则在一旁记数.结果共投2212次，其中与任一平行线相交的有704次。蒲丰又做了个简单除法2212/704=3.142，他向大家宣布：这就是圆周率的近似值。他还说，投的次数越多，就越精确。这就是

30、最早的几何概率问题。这个试验使众人震惊，竟然和一个表面上看来风马牛不相及的随意投针连在一起。然而这确有理论根据，后来人们很快知道，从蒲丰给出的几何概率很容易得出(其中n为投掷数，v为相交数)。现在学习的是第28页，共90页1850年，瑞士数学家沃尔夫在苏黎士，用一根长36mm的针，平行线间距为45mm，投掷5000次，得3.1596；1864年，英国人福克投掷了1100次，求得3.1419；1901年，意大利人拉泽里尼投掷了3408次，得到了准确到6位小数的值。蒲丰于1740年翻译了牛顿的流数法，并探讨了牛顿和莱布尼茨发现微积分的历史。蒲丰还以研究自然博物史著称，他集多年研究成果编成巨著自然史

31、（44卷，蒲丰生前出版了36卷，后8卷由他的学生完成）他是第一个对地质史划分时期的科学家，他还首次提出太阳与慧星碰撞产生行星的理论。现在学习的是第29页，共90页五、贝叶斯公式五、贝叶斯公式英国数学家贝叶斯（Bayes，17021761）提出过一系列针对特殊性质的逆概率问题的公式，其中一个最著名的就是现在以他的名字命名的公式“贝叶斯公式”：贝叶斯把称为“先验概率”，它往往是根据以往的经验确定的一种“主观概率”；把称为“后验概率”，即在某一事件B发生之后再来判断事件Ai发生的概率。现在学习的是第30页，共90页因此，这一公式主要应用于由“结果B”的发生来探求导致这一结果的诸“原因Ai”发生的可能

32、性大小。可惜他的证明建立在一个不恰当的假设上。现在学习的是第31页，共90页贝叶斯（Bayes1702-1761）英国数学家。1702年出生于伦敦，1761年4月7日逝世。1742年成为英国皇家学会会员。后来成为了一名长老会牧师。和他的同事们不同，他认为：上帝的存在可以通过方程式证明。贝叶斯在数学方面主要研究概率论。他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献。他对于现代概率论和数理统计都有很重要的主要贡献是使用了“逆概率”这个概念，并把它作为一种普遍的推理方法提出来。现在学习的是第32页，共90页1763年发表在伦敦皇家学会

33、哲学学报上的那一篇提出著名的贝叶斯公式的论文论有关机遇问题的求解却是在他死后的第三年才被发表。200多年后，经过多年的发展与完善，贝叶斯公式以及由此发展起来的一整套理论与方法，已经成为概率统计中的一个冠以“贝叶斯”名字的学派，他的这一理论照亮了今天的计算领域，成了21世纪计算机软件的理论基础，尤其是在数据管理软件领域。例如，微软公司的WindowsXP操作系统，其智能纠错系统就是建立在贝叶斯定理的基础上的；搜索巨人Google使用贝叶斯定理为数据搜索提供近似的结果；迄今为止应用贝叶斯定理最成功的公司则当属位于剑桥的英国自动（Autonomy）软件公司，应用贝叶斯定理开发出一种大规模“无序型数据

34、”检索、归类、整理系统软件。现在学习的是第33页，共90页所谓“无序型”数据，是指那些不适合进入井然有序的数据库的具有无数万亿字节的报告、电子邮件、发言、新闻稿、网页等等。贝叶斯理论已经成为垃圾邮件过滤系统的基础，自动软件公司的软件能够帮助人类对这些纷繁错杂、浩如烟海的无序型信息进行准确的检索、归类、储存以及分析等工作，并为有特殊需要的用户提供相关参考资料。仅仅在四年的时间内，自动软件公司就获得了巨大的成功，其客户名单包括英国广播公司、通用汽车公司，以及美国国防部等，目前该公司市值高达50亿美元。研究人员还使用贝叶斯模型来判断症状和疾病之间的相互关系，创建个人机器人，开发能够根据数据和经验来决

35、定行动的人工智能设备。现在学习的是第34页，共90页六、拉普拉斯的六、拉普拉斯的“古典定义古典定义”1812年，拉普拉普发表第一部近代古典概率论专著概率的分析理论，该书虽出版在19世纪初，但所总结的成果完全是属于18世纪的。这部先驱性巨著总结了他和他的前辈40年的研究成果，他在该书中明确表述了概率论的基本概念，如“事件”、“概率”、“随机变量”、“数学期望”等。他给出的概率古典定义是：事件A的概率p等于一次试验中有利于事件A的可能的结果数与该试验中所有可能的结果数之比。即其中m为事件A包含的样本点个数，n为样本空间中样本点总数。现在学习的是第35页，共90页拉普拉斯在该书中还导入了拉普拉斯变换

36、，给出了棣莫弗拉普拉斯定理，建立了观测误差理论和最小二乘法，研究了广泛的统计问题等等。总之，这部著作最重要的特色，表现在它建立在对于数学分析方法的应用上。此前，概率论基本上被当作“组合”数学的一部分，拉普拉斯实行了方法论上的革命，使之变成分析数学的一部分。无穷小分析方法运用于几何，运用于数论，都曾经带来了实质性的进展。拉普拉斯又把它系统而协调地运用于概率论，这就开启了现代概率论的先河。现在学习的是第36页，共90页拉普拉斯（Laplace,17491827）法国数学家、天文学家、物理学家。1749年3月23日生于博蒙昂诺日；1827年3月5日卒于巴黎。拉普拉斯家境贫寒，靠邻居的周济才得到读书的

37、机会。16岁时进入开恩大学，并在学习期间写了一篇关于有限差分的论文。在完成学业之后，他带着介绍信从乡下到巴黎去求见大名鼎鼎的达朗贝尔，荐书投去，杳无音讯，因为达朗贝尔对于只带着大人物的推荐信的年轻人不感兴趣。拉普拉斯并不气馁，随即写了一篇阐述力学一般原理的论文，求教于达朗贝尔。现在学习的是第37页，共90页由于这篇论文异常出色，达朗贝尔为其才华所感，欣然回了一封热情洋溢的信。信中写道“拉普拉斯先生，你看，我几乎没有注意你那些推荐信，你不需要什么推荐，你已经更好地介绍了自己。对我来说这就够了，你应该得到支持。”达朗贝尔还很高兴的当了他的教父，并介绍他去巴黎陆军学校任教授。拉普拉斯事业上辉煌时期便

38、从此开始。1773年被选为法国科学院副院士；1783年任军事考试委员，并于1785年主持对一个16岁的惟一考生进行考试，这个考生就是后来成为皇帝的拿破仑（Nopoleon）；1785年当选为法国科学院正式院士；自1795年以后，他先后任巴黎综合工科学校和高等师范学校教授；1816年被选为法兰西学院院士，一年后任该院主席。他还被拿破仑任命为内政部长，元老议员并加封伯爵.拿破仑下台后，路易十八（Louis）重登王位,拉普拉斯又被晋升为侯爵。现在学习的是第38页，共90页拉普拉斯才华横溢,著作如林,在青年时代就发表了一系列的论著。24岁当选为法国科学院副院士，科学院在一份报告中曾这样评价他：还没有任

39、何一位像拉普拉斯这样年轻的科学家能在如此众多如此困难的课题上，写出如此大量的论文。拉普拉斯的研究领域是多方面的，有天体力学、概率论、微分方程、复变函数、势函数理论、代数、测地学、毛细现象理论等，并有卓越的创见。他是一位分析学的大师，把分析学应用到力学，特别是天体力学，获得了划时代的结果。他的代表作有:宇宙体系论、分析概率论、天体力学。分析概率论（1812年）汇集了40年以来概率论方面的进展以及拉普拉斯自己在这方面的发现，对概率论的基本理论作了系统的整理。他在该书的引言中写道：“归根到底，概率论只不过是把常识化成计算而已。”现在学习的是第39页，共90页这本书包含了几何概率、伯努利定理和最小二乘

40、法原理等。著名的拉普拉斯变换就是在此书中述及的。1814年他还出版了概率的哲学探讨。他被公认为是概率论的奠基人之一。拉普拉斯在政治上是一个机会主义者。在法国大革命时期，他随波逐流，反复不断地扮演了共和派与保皇派的双重角色，他机灵到能够使敌对的双方在不论哪一方上台掌权时，都相信他是自己的一个忠诚的支持者。因此每次改宗后他都能获得更好的差使和更大的头衔。为此有人把他比做英国文学作品中的假圣人布雷牧师。拉普拉斯的另一个缺点是在他的著作中，他常常完全不提前人和同时代人的论述与功绩，给人的印象是其著作中的思想似乎完全出自于他本人。他的这些品格遭到了后人的非议。现在学习的是第40页，共90页第二节第二节概

41、率的极限理论概率的极限理论19世纪概率论朝着建立完整的理论体系和更广泛地应用方向发展。从1812年拉普拉斯的概率的分析理论开始，由对古典概率论研究转向近代概率论。这一时期，法国数学家泊松(Poisson,17811840）推广了大数定律，引入著名的“泊松分布”及“泊松逼近定理”。俄国的切比雪夫(,18211894)系统总结出计算“数学期望”和“离差”(即方差)的方法，并证明了“概率论中心极限定理”。现在学习的是第41页，共90页一、泊松及泊松分布一、泊松及泊松分布泊松是法国数学家、物理学家、法国科学院院士。泊松年轻时曾遵从父亲的意愿学习医学，但他对医学毫无兴趣。他曾用刺血针拨离白菜的经络,熟练

42、后，第一次治疗疱疹，几个小时后，病人便去世了。此后，泊松放弃医学，转而学习数学，并因成绩优异，成了拉格朗日和拉普拉斯的高才生,25岁便被聘为教授。1912年，31岁的泊松当选为法国科学院院士，他一生成果累累，写出以应用数学为主的论文约400篇。特别是在概率论研究方面做出了卓越贡献，被认为是近代概率论的奠基人之一。泊松有句名言：生命之所以美好，仅由于两件事：发现数学和讲授数学。现在学习的是第42页，共90页泊松分布就是他建立的用于描述随机现象的一种重要概率分布，它可以描述社会中、试验中常常发生的稀有现象。例如，电话总机在某一段时间内收到的呼叫次数，一年内发生五级以上地震的次数，某商场某种贵重品的

43、销售量等。甚至有人把泊松分布比喻为构造随机现象的“基本粒子”。它具体描述为随机变量的概率分布：现在学习的是第43页，共90页泊松分布是泊松于1837年给出的，它本身是一种非常重要的分布。但有趣的是，在历史上它却是作为二项分布的近似来引用的。为了进一步描述与二项分布的逼近程度，泊松给出了著名的“泊松逼近定理”：设在n重伯努利试验中，事件A在一次试验中出现的概率为，它与试验次数n有关。若，则当时现在学习的是第44页，共90页二、棣莫弗二、棣莫弗拉普拉斯定理拉普拉斯定理棣莫弗（DeMoivre,Abraham，16671754）棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，最先在当地一所天主教堂学校念书，随后

44、他离开农村到色拉的一所清教徒学校求学，这所学校戒律森严，要求学生宣誓效忠教会，棣莫弗拒绝服从，于是受到严厉制裁，被罚背诵各种教义，但棣莫弗却偷偷地学习数学，他最感兴趣的是惠更斯的论赌博中的机会一书，启发了他的数学灵感，后来他又研读了欧几里得的几何原本。棣莫弗是法国加尔文派教徒，在新旧教派斗争中被监禁。现在学习的是第45页，共90页1685年移居英国，曾任家庭教师和保险事业顾问等职，并潜心科学研究，当他读了牛顿的自然哲学的数学原理深深地被这部著作吸引了，1695年写出颇有见地的有关流数术学的论文，并成为牛顿的好友。两年后当选为皇家学会会员，1735年、1754年又分别被接纳为柏林科学院和巴黎科学

45、院院士。由于棣莫弗是从欧洲大陆到英国的侨民，而且又懂微积分，所以曾被派参加专门调解牛顿与莱布尼茨之间关于微积分发明权之争的委员会。棣莫弗是与伯努利几乎同时对概率论作出重要贡献的另一位数学家，他在概率论方面的主要著作是随机理论。这本书包含对大量游戏问题的系统研究。棣莫弗设计出各种新的方法解各种类型的点问题、骰子问题、换球问题。他采取与通常相反的程序，从概率原理去推出排列组合中的许多公式。他明确提出了统计独立性和条件概率的概念，他还特别为概率论发明了一套普遍的记号系统。现在学习的是第46页，共90页棣莫弗在概率论方面的成就，受到了他同时代的科学家的关注和赞誉。例如哈雷将棣莫弗的随机理论呈送牛顿，牛

46、顿阅读后倍加赞赏。据说，后来遇到学生向牛顿请教概率方面的问题时，牛顿就说：“这样的问题应该去找棣莫弗，他对这些问题的研究比我深得多。”棣莫弗一生贫寒，终身未婚，终年岁。关于他的死有一个颇具数学色彩的神奇传说：在临终前若干天，棣莫弗发现，他每天需要比前一天多睡1/4小时，那么各天睡眠时间将构成一个等差级数，当此等差级数达到24小时时，棣莫弗就长眠不醒了。现在学习的是第47页，共90页但是，对很大的n和指定的，要问这一事件发生的概率是多大?伯努利大数定律是无能为力的，而棣莫弗则给出了的渐近分布的更精确表达式,并就概率的特例，发现了这个极限分布即正态分布。棣莫弗在伯努利大数定律所开创的方向上迈进了一

47、大步，伯努利研究了随机变量频率与概率p的偏差的概率的极限,建立了，对现在学习的是第48页，共90页后来拉普拉斯将此结果推广到一般情况，人们称此结果为“棣莫弗一拉普拉斯定理”。即在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中出现的概率为p，而事件A总共出现的次数为，则对任意有限区间a，b，满足（）当及时，一致地有现在学习的是第49页，共90页（）当时，一致地有其中定理中的第()个结论称为局部极限定理，它给出了P(n=k)当n时的渐近表达式；第()个结论称为积分极限定理，它给出了的渐近分布。现在学习的是第50页，共90页积分极限定理告诉人们一个重要事实：标准化随机变量的极限分布是标准正态分布N(0，1)。

48、这个定理在以后的两个世纪中占据着概率论研究的中心地位，所以人们又称之为“中心极限定理”。“中心极限定理”这个术语是匈牙利数学家波利亚(Polya)在1920的论文中首次引入的。现在学习的是第51页，共90页三、林德贝格三、林德贝格勒维勒维“中心极限定理中心极限定理”棣莫弗一拉普拉斯“中心极限定理”仅限于伯努利试验的情况，加之棣莫弗在1733对此定理只给出一个很特殊情况下的证明，而拉普拉斯虽然给出了一般性证明，但他的证明是不完善的。于是，许多数学家试图做两个方面的工作：一方面给拉普拉斯陈述的一般性定理找到正确的证明，另一方面想削弱定理的条件，使能在更广的范围内运用。对于前者，第一个给出完善证明的

49、是俄国数学家李雅普诺夫(Liapounoff,18571918)在1901年给出的，他使用了今天称作特征函数的解析工具。1919年，法国数学家勒维(Levi,18741928)应邀在法国高等工艺学校讲授高斯正态分布律及误差理论，他发现包括棣莫弗一拉普拉斯定理在内的概率论缺乏理论基础，便致力于这方面的研究。现在学习的是第52页，共90页勒维于1925年发表了概率论发展中的重要著作概率计算，尽管在基础方面还不尽如人意，但他是用数学的严密方法将概率理论作为一个整体描述进行的首次尝试，其间包括了随机变量及其概率分布和特征函数理论的系统论述，也讨论了中心极限定理的证明和稳定的概率分布。对于后者，林德贝格

50、(Lindeberg)于1922年采用著名的“林德贝格条件”，在比李雅普诺夫更一般的条件下给出了中心极限定理的完善证明。所谓“林德贝格条件”是指独立随机变量序列服从中心极限定理即独立随机变量的和收敛于正态分布的充分条件。这样，被林德贝格和勒维完善并推广的棣莫弗一拉普拉斯定理，人们称为“林德贝格勒维定理”。现在学习的是第53页，共90页林德贝格勒维定理：若是相互独立且服从相同分布的随机变量，(1，2，n)，则标准化的随机变量之和的分布函数，对任意满足现在学习的是第54页，共90页由于棣莫弗拉普拉斯积分极限定理只是林德贝格勒维定理的特例，因而一般把后者直接称为“中心极限定理”。中心极限定理的第二个