概率统计第十五讲.ppt

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1、概率统计第十五讲现在学习的是第1页，共17页3.3 协方差，相关系数协方差，相关系数一一.协方差定义与性质协方差定义与性质 1.协方差定义协方差定义 (P129)若若r.v.X的期望的期望E(X)和和Y的期望的期望E(Y)存在存在,则称则称Cov(X,Y)=EX E(X)Y E(Y).为为X与与Y的的协方差协方差,易见易见 Cov(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).当当Cov(X,Y)=0Cov(X,Y)=0时，称时，称X X与与Y Y不相关。不相关。“X X与与Y Y独立独立”和和“X X与与Y Y不相关不相关”有何关系？有何关系？现在学习的是第2页，共17页例例2 设设(X,Y)在在

2、D=(X,Y)：x2+y2 1上服从均匀分布，上服从均匀分布，求证：求证：X与与Y不相关，但不是相互独立的。不相关，但不是相互独立的。证证:现在学习的是第3页，共17页X与与Y不相关不相关.而而故故,X与与Y不独立不独立.现在学习的是第4页，共17页2.协方差性质协方差性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中其中a,b为为 常数常数证证:Cov(aX,bY)=E(aXbY)-E(aX)E(bY)=abE(XY)-aE(X)bE(Y)=abE(XY)-E(X)E(Y)=abCov(X

3、,Y)现在学习的是第5页，共17页(4)Cov(X+Y，Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);证证:Cov(X+Y，Z)=E(X+Y)Z-E(X+Y)E(Z)=E(XZ)+E(YZ)-E(X)E(Z)-E(Y)E(Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)(5)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).证证:由方差性质由方差性质(3)的证明过程有的证明过程有注注:D(X-Y)=DX+(-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)现在学习的是第6页，共17页方差与协方差的定义方差与协方差的定义期望、方差、协方差的性质期望、方差、协方差的性质对比对比不相关与独立不相关与独立切比雪夫

4、不等式切比雪夫不等式现在学习的是第7页，共17页期望、方差、协方差的性质对比期望、方差、协方差的性质对比期望期望方差方差协方差协方差E(c)=CD(c)=0Cov(c,X)=0E(aX)=aE(X),D(aX)=a2D(X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)当当X与与Y独立时独立时E(XY)=E(X)E(Y)现在学习的是第8页，共17页EXEX:设随机变量设随机变量X X B B（12,0.5),Y 12,0.5),Y N(0,1),N(0,1)

5、,Cov(X,Y)=-1,Cov(X,Y)=-1,求求V=4X+3Y+1V=4X+3Y+1与与W=-2X+4YW=-2X+4Y的方差与协方差的方差与协方差现在学习的是第9页，共17页二.相关系数相关系数 1.定义定义 若若r.v.X，Y的方差和协方差均存在的方差和协方差均存在,且且DX0,DY0，则，则称为称为X与与Y的的相关系数相关系数.注：注：若记若记称为称为X的标准化，易知的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且且现在学习的是第10页，共17页2.相关系数的性质相关系数的性质 (1)|XY|1；(2)|XY|=1存在存在常数常数a,b 使使PY=aX+b=1；(3)X与与Y不相关不相关

6、XY=0;1.设设(X,Y)服从区域服从区域D:0 x1,0yx上的均匀分布上的均匀分布,求求X与与Y的相关系数的相关系数D1x=y解解现在学习的是第11页，共17页D1现在学习的是第12页，共17页以上以上EXEX的结果说明了什么？的结果说明了什么？解解1)2)现在学习的是第13页，共17页可见，若（可见，若（X，Y）服从二维正态分布，则）服从二维正态分布，则X与与Y独立独立的的充分必要条件充分必要条件是是X与与Y不相关不相关。现在学习的是第14页，共17页4.4 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵1.K阶原点矩阶原点矩 Ak=E(Xk),k=1,2,而而E(|X|k)称为称为X的的K阶绝对原点矩

7、；阶绝对原点矩；2.K阶中心矩阶中心矩 Bk=EX-E(X)k,k=1,2,而而E|X-E(X)|k称为称为X的的K阶绝对中心矩；阶绝对中心矩；3.K+l阶混合原点矩阶混合原点矩 E(Xk Yl),k,l=0,1,2,；4.K+l阶混合中心矩阶混合中心矩 EX E(X)kY E(Y)l,k,l=0,1,2,；现在学习的是第15页，共17页5.协方差矩阵协方差矩阵1.定义定义 设设X1，,Xn为为n个个r.v.,记记cij=Cov(Xi,Xj),i,j=1,2,n.则称由则称由cij组成的矩阵为随机变量组成的矩阵为随机变量 X1，,Xn的协方差矩阵的协方差矩阵C。即。即P94 n维正态分布及性质（看书！）维正态分布及性质（看书！）现在学习的是第16页，共17页 设设(X,Y)(X,Y)服从服从N(1,0,3N(1,0,32 2,4,42 2,-0.5),-0.5)分布，分布，Z=X/3+Y/2Z=X/3+Y/21)1)求求Z Z的期望与方差的期望与方差;2)2)求求X X与与Z Z的相关系数的相关系数;3)3)问问X X与与Z Z是否相互独立？为什么？是否相互独立？为什么？(3)由由(2),X与与Z独立独立.现在学习的是第17页，共17页