方程与方程组的迭代解法课件.ppt

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1、关于方程与方程组的迭代解法第1页，此课件共72页哦引言引言第2页，此课件共72页哦6.1 方程求根法方程求根法n试探法与二分法n迭代法及其收敛条件n迭代法收敛速度n加速收敛技术n牛顿迭代法n弦割法第3页，此课件共72页哦6.1.1 试探法和二分法试探法和二分法理论依据：理论依据：第4页，此课件共72页哦试探法试探法第5页，此课件共72页哦二分法（区间平分法）二分法（区间平分法）第6页，此课件共72页哦于是第7页，此课件共72页哦求方程求方程 f(x)=0的根的二分法算法的根的二分法算法第8页，此课件共72页哦例题例题n例 设方程 解：取h=0.1,扫描得：又 即 在 有唯一根。第9页，此课件共

2、72页哦有根区间有根区间：1.300000000,1.4000000001.300000000,1.3500000001.300000000,1.3250000001.312500000,1.3250000001.318750000,1.3250000001.321875000,1.3250000001.323437500,1.3250000001.324218750,1.3250000001.324609375,1.325000000 x1.32480f=3.6990*10(-4)第10页，此课件共72页哦6.1.2 迭代法及收敛性迭代法及收敛性对于 有时可以写成 形式 如：如：第11页，此

3、课件共72页哦迭代法及收敛性迭代法及收敛性 考察方程 。这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值 ，代入 中的右端得到 ，再以 为一个猜测值，代入 的右端得 反复迭代得第12页，此课件共72页哦迭代法及收敛性迭代法及收敛性 若 收敛，即 故 是 的一个根第13页，此课件共72页哦迭代法的几何意义迭代法的几何意义n 交点的横坐标 y=x第14页，此课件共72页哦简单迭代法简单迭代法 将 变为另一种等价形式 。选取 的某一近似值 ，则按递推关系 产生迭代序列 。这种方法称为简单迭代法。第15页，此课件共72页哦例题例题第16页，此课件共72页哦例题例题n精确到小数点后五

4、位第17页，此课件共72页哦例题n但如果由 建立迭代公式 仍取 ，则有 ，显然结果越来越大，是发散序列第18页，此课件共72页哦迭代法的收敛性迭代法的收敛性第19页，此课件共72页哦迭代收敛定理迭代收敛定理n证明：不失一般性，不妨设 否则 为方程的根。n首先证明根的存在性首先证明根的存在性 令 第20页，此课件共72页哦迭代收敛定理迭代收敛定理 则 ，即 由条件2）是 上的连续函数所以 是 上的连续函数。故由零点定理 在 上至少有一根第21页，此课件共72页哦迭代收敛定理迭代收敛定理n再证根的唯一性 设有 均为方程的根 则 因为 0L1 ，所以只可能 ，即根是唯一的。第22页，此课件共72页哦

5、迭代收敛定理迭代收敛定理n最后证迭代序列的收敛性 与n 无关，而0L1时，称为超线性收敛；当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。迭代法p 阶收敛的充要条件是：迭代函数 满足第31页，此课件共72页哦6.1.4 加速收敛技术加速收敛技术第32页，此课件共72页哦第33页，此课件共72页哦6.1.5 Newton迭代法迭代法第34页，此课件共72页哦Newton迭代法迭代法去掉 的二次项，有：即以x1代替x0重复以上的过程，继续下去得：第35页，此课件共72页哦Newton迭代法迭代法第36页，此课件共72页哦Newton迭代法几何解释迭代法几何解释n几何意义第37页，此课件共72页哦例例 用牛顿法

6、求 的近似解。解：由零点定理：第38页，此课件共72页哦例题n例 用Newton法计算 解：第39页，此课件共72页哦Newton迭代法算法框图迭代法算法框图第40页，此课件共72页哦Newton迭代法算法迭代法算法第41页，此课件共72页哦Newton迭代法收敛性迭代法收敛性定理 设函数 ，且满足 若初值 满足 时，由Newton法产生的序列收敛到 在a,b上的唯一根。第42页，此课件共72页哦Newton迭代法收敛性迭代法收敛性证明：根的存在性n根的唯一性第43页，此课件共72页哦Newton迭代法收敛性迭代法收敛性n收敛性第44页，此课件共72页哦Newton迭代法收敛性迭代法收敛性 第

7、45页，此课件共72页哦Newton迭代法收敛性迭代法收敛性第46页，此课件共72页哦Newton迭代法收敛性迭代法收敛性n推论推论 在定理条件下，在定理条件下，Newton迭代法具迭代法具有平方收敛速度。有平方收敛速度。第47页，此课件共72页哦Newton迭代法的变形迭代法的变形第48页，此课件共72页哦6.2.4 弦截法弦截法nNewton迭代法有一个较强的要求是迭代法有一个较强的要求是 且存在。因此，用弦的斜率且存在。因此，用弦的斜率 近似的替代近似的替代 。第49页，此课件共72页哦弦截法弦截法n令y=0,解得弦与x轴的交点是坐标x2第50页，此课件共72页哦弦截法弦截法第51页，此

8、课件共72页哦弦截法的几何解释弦截法的几何解释第52页，此课件共72页哦弦截法收敛定理弦截法收敛定理第53页，此课件共72页哦6.2 线性方程组迭代解法线性方程组迭代解法 迭代法适用于系数矩阵为稀疏矩阵稀疏矩阵的方程组.n基本迭代法n基本迭代法的收敛条件第54页，此课件共72页哦6.2.1 基本迭代法基本迭代法(Jacobi迭代法迭代法)第55页，此课件共72页哦第56页，此课件共72页哦6.2.1 基本迭代法基本迭代法(Seidel迭代法迭代法)第57页，此课件共72页哦第58页，此课件共72页哦6.2.1 基本迭代法基本迭代法(SOR迭代法迭代法)第59页，此课件共72页哦6.2.2 基本

9、迭代法收敛条件基本迭代法收敛条件第60页，此课件共72页哦迭代收敛定理迭代收敛定理第61页，此课件共72页哦例例6.4 判断求解判断求解AX=b的三种迭代法是否收敛，的三种迭代法是否收敛，其中其中A为为第62页，此课件共72页哦第63页，此课件共72页哦(2)A对称正定，但|2D-A|=0,说明2D-A不正定，故Jacobi迭代发散，02时SOR迭代收敛；(3)A为严格对角占优矩阵，故Jacobi迭代收敛，0=1时SOR迭代收敛；第64页，此课件共72页哦第65页，此课件共72页哦6.3 非线性代数方程组的迭代解法非线性代数方程组的迭代解法第66页，此课件共72页哦6.3.1 简单迭代法简单迭代法第67页，此课件共72页哦6.3.1 Seidel迭代迭代第68页，此课件共72页哦6.3.2 牛顿迭代法牛顿迭代法第69页，此课件共72页哦第70页，此课件共72页哦简化的牛顿法与拟牛顿法简化的牛顿法与拟牛顿法第71页，此课件共72页哦感感谢谢大大家家观观看看第72页，此课件共72页哦