工程电磁场导论矢量讲稿.ppt

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1、工程电磁场导论矢量工程电磁场导论矢量第一页，讲稿共五十五页哦1.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场标量标量:数学上：实数域内任一代数量a(-,+)物理上：代数量+物理意义；或者说一个只用大小描述的物理量。如电压，电荷，质量，能量等矢量矢量:数学上：一般的三维空间中既有大小又有方向的量 物理上：矢量+物理意义；或者说一个既有大小又有方向的物理量。常用黑斜体字母或带箭头的字母如A或如速度、电磁场等.第二页，讲稿共五十五页哦场：场：物理量物理量在时空时空中的确定分布.标量场标量场：物理量是一个标量，则所确定的场称为标量物理量是一个标量，则所确定的场称为标量场，用标量函数表示为场，用标量函数表示

2、为如物体的温度分布如物体的温度分布T(r,t)、电位分布、电位分布(r,t)等等矢量场矢量场：物理量是一个矢量，则所确定的场称为矢量场，物理量是一个矢量，则所确定的场称为矢量场，用矢量函数表示用矢量函数表示既具有大小又具有方向的场。如电场既具有大小又具有方向的场。如电场第三页，讲稿共五十五页哦静态场静态场：物理量不随时间变化，则所确定的场称为物理量不随时间变化，则所确定的场称为静态场。静态场。动态场动态场（或时变场时变场）：物理量随时间变化，则所确定物理量随时间变化，则所确定的场称为动态场。的场称为动态场。1.1.11.1.1矢量的表示形式矢量的表示形式:一个矢量可以用一条有方向的线段来一个矢

3、量可以用一条有方向的线段来表示表示,线段的长度表示矢量的模线段的长度表示矢量的模,箭头指向表示矢量的方箭头指向表示矢量的方向向.A A P矢量的矢量的模模：表示矢量的大小：表示矢量的大小 A矢量的方向方向；第四页，讲稿共五十五页哦1.1.21.1.2矢量的运算矢量的运算矢量的运算矢量的运算 （加法/减法）矢量加矢量加矢量加矢量加/减法遵循平行四边形法则减法遵循平行四边形法则减法遵循平行四边形法则减法遵循平行四边形法则,其运算满足其运算满足其运算满足其运算满足:(交换律交换律)(结合律结合律)1.1.31.1.3矢量的运算矢量的运算矢量的运算矢量的运算 （点积、叉积点积、叉积点积、叉积点积、叉积

4、）标量与矢量乘积标量与矢量乘积 模矢量与矢量乘积矢量与矢量乘积 点积（标积）点积（标积）叉积（矢积）叉积（矢积）第五页，讲稿共五十五页哦点积点积：（标量）（标量）叉积：叉积：大小方向：垂直与包含 的面和（矢量）（矢量）右手法则右手法则矢量点积服从：矢量点积服从：（交换律）（交换律）（分配律）（分配律）矢量叉积服从：矢量叉积服从：标量三重积标量三重积矢量三重积矢量三重积（不服从不服从交换律）交换律）（分配律）（分配律）第六页，讲稿共五十五页哦 三维空间任意一点的位置可通过三条相互三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交正交曲线的交点来确定。曲线的交点来确定。1.2 三种常用的正交曲线坐标系 在电

5、磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐标系、坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系圆柱坐标系和球面坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正正交曲线坐标系交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称为；描述坐标轴的量称为坐标变量坐标变量。第七页，讲稿共五十五页哦n n1、直角坐标系、直角坐标系 位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量体积元体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量 点点点点P P(x x0 0,y y0

6、0,z,z0 0)0 0y yy y=（平面）（平面）（平面）（平面）o o x x y y z z0 0 x xx x=（平面）（平面）（平面）（平面）0 0z zz z=（平面（平面（平面（平面）P P 直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系 x x y yz z直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 o od dz zd d y yd dx x第八页，讲稿共五十五页哦直角坐标系中直角坐标系中A矢量：矢量：B矢量：矢量：（圆柱坐标系及（圆柱坐标系及 球坐标系下相应知识）类似球坐标系下相应知识

7、）类似第九页，讲稿共五十五页哦n n2、圆柱面坐标系、圆柱面坐标系坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量132（1）（2）（3）第十页，讲稿共五十五页哦3、球面坐标系、球面坐标系球面坐标系球面坐标系球面坐标系球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量第十一页，讲稿共五十五页哦n n4、坐标单位矢量之间的关系、坐标单位矢量之间的关系 直角坐标直角坐标

8、直角坐标直角坐标与与与与圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标圆柱坐标圆柱坐标圆柱坐标与与与与球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标直角坐标直角坐标与与与与球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系o oq qr rz z单位圆单位圆单位圆单位圆 柱坐标系与求坐标系之间柱坐标系与求坐标系之间柱坐标系与求坐标系之间柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系q qq q o of fx xy y单位圆单位圆单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标

9、单位矢量的关系坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 f f第十二页，讲稿共五十五页哦1.3 标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度等值面的概念等值面的概念：在标量场中，使标量函数在标量场中，使标量函数取得相同数值的点构成一个空间曲面称为等值取得相同数值的点构成一个空间曲面称为等值 面。面。等值面方程：等值面方程：C为任意给定的常数。等值面的特点：等值面的特点：常数常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；形成等值面族；若若 是标量场中的任一点，显然，曲面是标量场中的任一点，显然，曲面 是通过该点的等值面，因此标量场的等

10、值是通过该点的等值面，因此标量场的等值面充满场所在的整个空间；面充满场所在的整个空间；?第十三页，讲稿共五十五页哦例题例题 求二维标量场求二维标量场求二维标量场求二维标量场 的等值面的等值面的等值面的等值面 由于由于z z不影响不影响u,u,故在任意故在任意z=constz=const的面上场的分布是的面上场的分布是相同的。相同的。(片状片状分布分布)取取u u为某一常量为某一常量c c时时 c=y c=y2 2-x-x 是一组抛物线是一组抛物线 立体抛物柱面立体抛物柱面 由于标量函数由于标量函数 为单一值，一个点只能在一个等值面上，为单一值，一个点只能在一个等值面上，因此标量场的等值面因此标

11、量场的等值面互不相交互不相交（两个等值面不能有相同的（两个等值面不能有相同的c值）值）第十四页，讲稿共五十五页哦1.3.2 1.3.2 标量场的方向导数标量场的方向导数标量场的方向导数标量场的方向导数方向导数的方向导数的概念概念:方向导数的方向导数的意义意义：方向导数是描述标量场：方向导数是描述标量场沿沿L方向方向对距离对距离 的变化率。的变化率。方向导数的方向导数的计算公式计算公式 是标量场是标量场 中的一点，从该点出发引一条射线中的一点，从该点出发引一条射线L,M是射线上的动点。到点是射线上的动点。到点 的距离为的距离为（直角坐标系）（直角坐标系）第十五页，讲稿共五十五页哦式中：是L 方向

12、的方向余弦。方向导数的特点方向导数的特点：1.3.3梯度梯度问题的提出：标量场在什么方向上的变化率最大、其最大的问题的提出：标量场在什么方向上的变化率最大、其最大的变化率又是多少？变化率又是多少？(方向导数沿何方向取得最大值？）方向导数沿何方向取得最大值？）(grads)第十六页，讲稿共五十五页哦通过通过推导推导发现，当发现，当 方向与矢量方向与矢量 方向一致时，方向导数的值最大，由此可以得到梯度在三种不同方向一致时，方向导数的值最大，由此可以得到梯度在三种不同 的坐标系下的计算公式：的坐标系下的计算公式：第十七页，讲稿共五十五页哦为哈密顿算符，（读作为哈密顿算符，（读作del或或Nabla)

13、在直角坐标系中在直角坐标系中记住记住!练习练习 U=2x+y+z U=2x+y+z 求其梯度求其梯度第十八页，讲稿共五十五页哦第十九页，讲稿共五十五页哦自证（作业）在电磁场中，通常以在电磁场中，通常以 表示表示源点源点的坐的坐标，以标，以 表示表示场点场点的坐标，因此上述的坐标，因此上述运算结果在电磁场中非常重要！运算结果在电磁场中非常重要！第二十页，讲稿共五十五页哦 1.4 矢量场的通量矢量场的通量 散度散度1.4.1 矢量场的矢量线矢量场的矢量线形象地描述矢量场在空间的分布形象地描述矢量场在空间的分布 矢量线的概念矢量线的概念：矢量线是场空间中的有向矢量线是场空间中的有向曲线，矢量线上任一

14、点的切线方向都与该点曲线，矢量线上任一点的切线方向都与该点的场矢量方向相同，如图所示的场矢量方向相同，如图所示。第二十一页，讲稿共五十五页哦特点：矢量场中的每一点都有矢量线通过，矢量线充满矢量场所在的特点：矢量场中的每一点都有矢量线通过，矢量线充满矢量场所在的特点：矢量场中的每一点都有矢量线通过，矢量线充满矢量场所在的特点：矢量场中的每一点都有矢量线通过，矢量线充满矢量场所在的空间。空间。空间。空间。解此微分方程组，即可得到矢量线方程，从而绘制出矢量线。解此微分方程组，即可得到矢量线方程，从而绘制出矢量线。则既能根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向，又可根据则既能根据矢量线确定矢量场中各点矢量

15、的方向，又可根据各处矢量线的疏密程度，判别各处的矢量大小及变化趋势。各处矢量线的疏密程度，判别各处的矢量大小及变化趋势。如：电场线如：电场线第二十二页，讲稿共五十五页哦求此二维场求此二维场的力线方程及场图的力线方程及场图由力线方程有：例题有一二维矢量场例题有一二维矢量场例题有一二维矢量场例题有一二维矢量场:因此求得的矢量线是一组同心圆。因此求得的矢量线是一组同心圆。？思考哪种矢量线具有这种特点？思考哪种矢量线具有这种特点第二十三页，讲稿共五十五页哦 分析矢量分析矢量穿过穿过一个曲面的通量一个曲面的通量面元矢量面元矢量法向矢量法向矢量 有两个要素：有两个要素：右手螺旋法则右手螺旋法则 （开面）（

16、开面）闭合面外法线（鸡蛋壳外表面）闭合面外法线（鸡蛋壳外表面）面大小穿越方向1.矢量场的通量矢量场的通量 矢量场的通量是描述矢量场性质的重要概念之一。矢量场的通量是描述矢量场性质的重要概念之一。通量的概念通量的概念：矢量场：矢量场 在在场中的曲面场中的曲面上的标量积（称为矢量场上的标量积（称为矢量场的通量的通量，取一小面元取一小面元ds为例为例1.4.2 1.4.2 矢量的通量、散度矢量的通量、散度(点乘）点乘）点积点积第二十四页，讲稿共五十五页哦曲面通量曲面通量曲面通量曲面通量n n ：0 0 表示有表示有表示有表示有净净净净流出流出流出流出-正通量源正通量源正通量源正通量源 例：静电场中的

17、正电荷例：静电场中的正电荷例：静电场中的正电荷例：静电场中的正电荷n n 0 0 表示有表示有表示有表示有净净净净流入流入流入流入-负通量源负通量源负通量源负通量源 例：静电场中的负电荷例：静电场中的负电荷例：静电场中的负电荷例：静电场中的负电荷n n 0 0 正通量源与负通量源代数和为正通量源与负通量源代数和为正通量源与负通量源代数和为正通量源与负通量源代数和为0 0无通量源无通量源无通量源无通量源矢量流矢量流与与穿越面积穿越面积方向乘积方向乘积的和的和通量的物理意义：通量的物理意义：手例手例穿出闭曲面的正通量与进入闭曲面的负穿出闭曲面的正通量与进入闭曲面的负穿出闭曲面的正通量与进入闭曲面的

18、负穿出闭曲面的正通量与进入闭曲面的负通量的代数和。通量的代数和。通量的代数和。通量的代数和。第二十五页，讲稿共五十五页哦通量的特点：通量的特点：描述的是一定范围内描述的是一定范围内总总的的净净通量源，通量源，而不能反映场域内的而不能反映场域内的每一点每一点的具体分布情况的具体分布情况2矢量场的散度矢量场的散度 矢量场的散度描述矢量场在矢量场的散度描述矢量场在一个点一个点附近的通量特性。附近的通量特性。第二十六页，讲稿共五十五页哦散度的物理意义：通量源的密度。散度的物理意义：通量源的密度。时，发出矢量线的正源；时，发出矢量线的正源；时，发出矢量线的时，发出矢量线的 负源负源；时，无通量源时，无通

19、量源。第二十七页，讲稿共五十五页哦设有如图的小立方体及矢量场 散度的直角坐标表示第二十八页，讲稿共五十五页哦!第二十九页，讲稿共五十五页哦记住第三十页，讲稿共五十五页哦1.4.41.4.4散度散度散度散度(高斯高斯高斯高斯)定理定理定理定理例球体 第三十一页，讲稿共五十五页哦例例例例1:1:已知已知已知已知解：解：解：解：根据散度的计算公式根据散度的计算公式根据散度的计算公式根据散度的计算公式：第三十二页，讲稿共五十五页哦第三十三页，讲稿共五十五页哦 第三十四页，讲稿共五十五页哦1.5.2矢量场的旋度 矢量场的旋度描述场域内的旋涡源分布情况的重要概念。矢量场的旋度描述场域内的旋涡源分布情况的重

20、要概念。第三十五页，讲稿共五十五页哦上式为旋度在上式为旋度在上式为旋度在上式为旋度在 方向的投影方向的投影方向的投影方向的投影 （面元矢量面元矢量面元矢量面元矢量为为 ）第三十六页，讲稿共五十五页哦第三十七页，讲稿共五十五页哦不同坐标系下旋度计算公式：不同坐标系下旋度计算公式：直角坐标系直角坐标系（圆柱坐标系）（圆柱坐标系）（球坐标系）球坐标系）!记住第三十八页，讲稿共五十五页哦1.5.31.5.3斯托克斯定理斯托克斯定理斯托克斯定理斯托克斯定理矢量对闭合回路的线积分等于该回路所包围任意表面上对该矢矢量对闭合回路的线积分等于该回路所包围任意表面上对该矢矢量对闭合回路的线积分等于该回路所包围任意

21、表面上对该矢矢量对闭合回路的线积分等于该回路所包围任意表面上对该矢量旋度的面积分。量旋度的面积分。量旋度的面积分。量旋度的面积分。第三十九页，讲稿共五十五页哦例：例：第四十页，讲稿共五十五页哦1.61.6无旋场与无散场无旋场与无散场1.无旋场 （1 1）如果一个矢量场的旋度处处为如果一个矢量场的旋度处处为0 0，即，即 则该矢量场为无旋场。则该矢量场为无旋场。它是由散度源产生的。例如静电场。它是由散度源产生的。例如静电场。梯度是一无旋场梯度是一无旋场证明证明：取直角坐标系取直角坐标系结论结论1 1：第四十一页，讲稿共五十五页哦第四十二页，讲稿共五十五页哦结论（结论（2 2）引申：无旋场可以表示

22、为某一个标量场的梯度引申：无旋场可以表示为某一个标量场的梯度即如果即如果则存在一个标量函数则存在一个标量函数u,u,使得使得其中的负号是为了与电磁场中的电场强度其中的负号是为了与电磁场中的电场强度E E与与标量电位标量电位 的关系相一致的关系相一致第四十三页，讲稿共五十五页哦 结论（结论（结论（结论（3 3 3 3）由斯托克斯定理由斯托克斯定理由斯托克斯定理由斯托克斯定理对一个无旋场对一个无旋场表明无旋场的曲线积分表明无旋场的曲线积分与路径无关，只与起点与路径无关，只与起点和终点有关和终点有关。（证明如下）（证明如下）第四十四页，讲稿共五十五页哦以以Q Q为固定点，则上式可以看作是点为固定点，

23、则上式可以看作是点P P的函数：的函数：因为因为一个标量场可以完全由它的梯度来确定一个标量场可以完全由它的梯度来确定同时表明一个无旋场可以对应无数个标量位函数同时表明一个无旋场可以对应无数个标量位函数同时表明一个无旋场可以对应无数个标量位函数同时表明一个无旋场可以对应无数个标量位函数 （参考点的选取）（参考点的选取）（参考点的选取）（参考点的选取）第四十五页，讲稿共五十五页哦结论：任意矢量旋度的散度恒为零结论：任意矢量旋度的散度恒为零结论：任意矢量旋度的散度恒为零结论：任意矢量旋度的散度恒为零1.6.2无散场如果一个矢量场的散度处处为如果一个矢量场的散度处处为0 0，即，即 则该矢量场为无散场

24、则该矢量场为无散场证明证明：第四十六页，讲稿共五十五页哦由此可知：对于任何一个无散场。必然可以表示为某个由此可知：对于任何一个无散场。必然可以表示为某个矢量场的旋度。即矢量场的旋度。即 ：为矢量位函数，简称矢量位为矢量位函数，简称矢量位第四十七页，讲稿共五十五页哦1.71.7拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算：拉普拉斯运算：1.1.对标量场而言对标量场而言：称为称为标量场标量场的拉普拉斯运算的拉普拉斯运算称为拉普拉斯算符称为拉普拉斯算符第四十八页，讲稿共五十五页哦直角坐标系中：直角坐标系中：2.2.对矢量场而言对矢量场而言：直角坐标系中：直角坐标系中：第四十九页，讲稿共五

25、十五页哦 格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。由散度定理由散度定理设设而而得得格林第一恒等式格林第一恒等式同理，若设同理，若设格林第一恒等式表示为格林第一恒等式表示为格林第二恒等式格林第二恒等式1.7.2格林定理格林定理第五十页，讲稿共五十五页哦由散度定理由散度定理格林第一恒等式：格林第一恒等式：格林第二恒等式：格林第二恒等式：格林定理描述了两个标量场之间的关系，如果已知其中一个格林定理描述了两个标量场之间的关系，如果已知其中一个场的分布，可以利用该定理求解另一个场的分布。场的分布，可以利用该定理求解另一个场的分布。第五十一页，讲稿共五十五页哦前面讨论的均为

26、矢量分析中的基本概念及方法，概括起前面讨论的均为矢量分析中的基本概念及方法，概括起来包括来包括：标志标量场的标志标量场的标志标量场的标志标量场的特性特性特性特性标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度矢量场的旋度矢量场的旋度矢量场的旋度矢量场的旋度标志矢量场的标志矢量场的标志矢量场的标志矢量场的特性特性特性特性矢量场的散度矢量场的散度矢量场的散度矢量场的散度 1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第五十二页，讲稿共五十五页哦亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 表述：在有限的区域表述：在有限的区域V V V V内，任一矢量场由它的散度、内，任一矢量场由它的散度、内，任一矢量场由它

27、的散度、内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域旋度和边界条件（即限定区域旋度和边界条件（即限定区域旋度和边界条件（即限定区域V V的闭合面的闭合面的闭合面的闭合面S S S S上的矢量场的分布）上的矢量场的分布）上的矢量场的分布）上的矢量场的分布）唯一的确定。唯一的确定。唯一的确定。唯一的确定。第五十三页，讲稿共五十五页哦矢量场可以由一个标量函数的矢量场可以由一个标量函数的梯度梯度和一个矢量函和一个矢量函数的数的旋度旋度之和来表示。之和来表示。一个矢量可以表示为一个矢量可以表示为无旋场无旋场与与无散场无散场之和之和结论：第五十四页，讲稿共五十五页哦如果在给定区域内，矢量的散度与旋

28、度均处处为如果在给定区域内，矢量的散度与旋度均处处为0 0，则该矢量由其在边界面则该矢量由其在边界面s s上的场的分布完全确定。上的场的分布完全确定。对于对于无界无界空间，矢量场由其散度和旋度完全确定，在无界空间，空间，矢量场由其散度和旋度完全确定，在无界空间，散度与旋度处处位散度与旋度处处位0 0的矢量场是不存在的，因为任何一个物理量都的矢量场是不存在的，因为任何一个物理量都必须有源，场是同源一起出现的，源是产生场的起因。必须有源，场是同源一起出现的，源是产生场的起因。亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，矢量场由它的散度和旋亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，矢量场由它的散度和旋度惟一地确定，矢量的散度和矢量的旋度各对应矢量场的一种源。所度惟一地确定，矢量的散度和矢量的旋度各对应矢量场的一种源。所以，分析矢量场总是从研究它的散度和旋度着手，散度方程和旋度方以，分析矢量场总是从研究它的散度和旋度着手，散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本方程（微分形式）。也可以从矢量场沿闭合面程组成了矢量场的基本方程（微分形式）。也可以从矢量场沿闭合面的通量和沿闭合路径的环流着手，得到基本方程的积分形式。的通量和沿闭合路径的环流着手，得到基本方程的积分形式。第五十五页，讲稿共五十五页哦