线性微分方程的一般理论.ppt

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1、关于线性微分方程的一般理论现在学习的是第1页，共37页2 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究得部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究得十分清楚，而且还因为线性微分方程是研究非线性微分方程十分清楚，而且还因为线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，同时它在物理、力学和工程技术中也有着广泛的应的基础，同时它在物理、力学和工程技术中也有着广泛的应用。所以，本章着重讨论线性微分方程的基本理论和常系数用。所以，本章着重讨论线性微分方程的基本理论和常系数线性微分方程的解法，对于高

2、阶微分方程的降阶问题和二阶线性微分方程的解法，对于高阶微分方程的降阶问题和二阶变系数线性微分方程的幂级数解法也作适当地介绍。变系数线性微分方程的幂级数解法也作适当地介绍。现在学习的是第2页，共37页3主要内容主要内容 线性微分方程的一般理论线性微分方程的一般理论 常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程的解法 高阶微分方程的降阶和幂级数解法高阶微分方程的降阶和幂级数解法重点重点 线性微分方程的基本理论线性微分方程的基本理论 常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程的解法 现在学习的是第3页，共37页44.1 线性微分方程的一般理论线性微分方程的一般理论 现在学习的是第4页，共37页5一、解

3、的存在唯一性定理一、解的存在唯一性定理1 n阶线性微分方程定义定义1现在学习的是第5页，共37页6现在学习的是第6页，共37页72 解的存在唯一性定理定理定理1现在学习的是第7页，共37页8二、齐线性方程的解的性质和结构二、齐线性方程的解的性质和结构定理定理21 叠加原理叠加原理容易看出，齐次线性方程恒有零解。容易看出，齐次线性方程恒有零解。现在学习的是第8页，共37页9证明证明:故有故有现在学习的是第9页，共37页10例例1的解的解.解解:现在学习的是第10页，共37页112、函数的线性相关性、函数的线性相关性考虑定义在区间考虑定义在区间 上的函数上的函数 ，如果存在不全为零的常数如果存在不

4、全为零的常数 ，使得恒等式，使得恒等式对于对于所有所有 都成立，则称这些函数是都成立，则称这些函数是线性相关的线性相关的，否则就称这些函数在区间否则就称这些函数在区间a,b上是上是线性无关的线性无关的。问题：问题：在什么样的条件下，表达式（在什么样的条件下，表达式（4.4）能够构成为）能够构成为n阶齐次阶齐次线性方程（线性方程（4.2）的通解？）的通解？现在学习的是第11页，共37页12例例2 2 考虑函数组的线性相关性考虑函数组的线性相关性解：解：现在学习的是第12页，共37页13例例3 3 函数组函数组线性无关。线性无关。此恒等式如果成立，也就是此恒等式如果成立，也就是a,ba,b中的每一

5、个中的每一个t t都是这个方程的根，因此有无穷多个根。另一都是这个方程的根，因此有无穷多个根。另一方面，如果有一个系数不为方面，如果有一个系数不为0 0，则是一个不超过，则是一个不超过n n次次的代数方程，最多有的代数方程，最多有n n个根。个根。分析：我们假设存在分析：我们假设存在现在学习的是第13页，共37页14定义定义23 伏朗斯基伏朗斯基(Wronsky)行列式行列式现在学习的是第14页，共37页154 函数的线性相关性与其函数的线性相关性与其Wronsky行列式的关系行列式的关系(1)定理定理3证明证明:使得现在学习的是第15页，共37页16由线性代数理论知由线性代数理论知要使方程组

6、存在非零解要使方程组存在非零解,则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零,现在学习的是第16页，共37页17注注定理3的逆不成立.如函数事实上,若有恒等式则现在学习的是第17页，共37页18推论推论(2)定理定理4证明证明:“反证”现在学习的是第18页，共37页19现以这组常数构造函数,由定理2知,又因为现在学习的是第19页，共37页20由解的唯一性定理知现在学习的是第20页，共37页21 注释：根据定理注释：根据定理3和定理和定理4知道，由知道，由n 阶齐次线性方程阶齐次线性方程（4.2）的）的n个解个解构成的伏朗斯基行列式，构成的伏朗斯基行列式，或恒等于零，或在方或恒等于零，或在方程的

7、系数为连续的区间内处处不等于零程的系数为连续的区间内处处不等于零。并根据定理。并根据定理1，构造一组初始条件：构造一组初始条件：满足这组初始条件的解满足这组初始条件的解 一定存在，一定存在，且又因为且又因为 ,由定理由定理3知道，知道，这这n个解一定是线性无关的。于是有个解一定是线性无关的。于是有5、通解结构定理通解结构定理现在学习的是第21页，共37页22定理定理5 n阶齐次线性方程（阶齐次线性方程（4.2）一定存在）一定存在n个线性无关的解。个线性无关的解。定理定理6（通解结构定理）（通解结构定理）如果如果 是方是方程（程（4.2）的）的n个线性无关的解，则方程（个线性无关的解，则方程（4

8、.2）的通解可）的通解可表为表为 （4.11）其中其中 是任意常数。且通解（是任意常数。且通解（4.11）包括了）包括了方程（方程（4.2）的所有解。）的所有解。现在学习的是第22页，共37页23推论：推论：方程（方程（4.2）的线性无关解的最大个数等于）的线性无关解的最大个数等于n。n阶齐次线阶齐次线性微分方程的所有解构成一个性微分方程的所有解构成一个n维线性空间。维线性空间。定义定义 把方程（把方程（4.2）的一组）的一组n个线性无关解称为方程的一个个线性无关解称为方程的一个基本基本解组解组。显然。显然,基本解组不唯一。基本解组不唯一。特别地，当特别地，当 时称其为时称其为标准基本解组标准

9、基本解组。例例1 已知方程已知方程 ，证明，证明cost及及sint为它的基为它的基本解组本解组,并写出它的通解。并写出它的通解。分析：按定义证明即可。分析：按定义证明即可。现在学习的是第23页，共37页24补充结论：补充结论：齐次方程（齐次方程（4.2）的解与它的系数之间有如下关系：）的解与它的系数之间有如下关系：上述关系称为刘维尔（刘维尔（Liouville）公式）公式。现在学习的是第24页，共37页n级行列式函数的求导：级行列式函数的求导：引理：设函数引理：设函数f ij(x)(i,j=1,2,n)在区间在区间I 内可导内可导,则行则行列式函数列式函数在区间在区间I 内也可导，且有内也可

10、导，且有现在学习的是第25页，共37页26由刘维尔公式可以看出齐次方程（4.2）的伏朗斯基行列式的重要性质：1.W(t)在区间a,b上某一点为零某一点为零，则在整个区间上恒为恒为零零。2.W(t)在区间a,b上某一点不等于零某一点不等于零，则在整个区间上恒不为零恒不为零。重要定理：重要定理：现在学习的是第26页，共37页27性质性质2 方程（方程（4.1）的任意两个解之差必为方程）的任意两个解之差必为方程(4.2)的解。的解。其中其中 为任意常数，而且这个通解（为任意常数，而且这个通解（4.14）包括了方程（包括了方程（4.1）的所有解。）的所有解。4.1.3 非齐次线性方程与常数变易法非齐次

11、线性方程与常数变易法性质性质1 如果如果 是方程（是方程（4.1）的解，而）的解，而 是方程是方程（4.2）的解，）的解，则则 也是方程（也是方程（4.1）的解。）的解。定理定理7 设设 为方程（为方程（4.2）的基本解组，）的基本解组，而而 是方程（是方程（4.1）的某一个解，则方程（）的某一个解，则方程（4.1）的通解）的通解可表为可表为1、基本性质和定理、基本性质和定理现在学习的是第27页，共37页28回想一阶线性非齐次微分方程的解法-常数变易法现在学习的是第28页，共37页293 常数变易法则为方程(4.2)的通解.此时(4.15)变为将它代入(4.1),现在学习的是第29页，共37页

12、30 在理论上,这些另加条件可以任意给出,但为了运算方便,我们按下面方法来给出这n-1个条件,令得现在学习的是第30页，共37页31和表达式继续上面做法,直到获得第n-1个条件和表达式现在学习的是第31页，共37页32现在学习的是第32页，共37页33因而方程组的解可唯一确定,设由上面方程求得积分得现在学习的是第33页，共37页34现在学习的是第34页，共37页35例例3解解:利用常数变易法,令解得因此故通解为现在学习的是第35页，共37页36例例4解解:对应的齐线性方程为:将该齐次方程改写成:积分得:所以故方程有基本解组:将原方程改写成:现在学习的是第36页，共37页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第37页，共37页