材料非线性有限元分析.ppt

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1、材料非线性有限元分析现在学习的是第1页，共36页1 1 非线性弹性非线性弹性问题的有限单元法问题的有限单元法 前提前提：材料处于弹性状态，但是应力：材料处于弹性状态，但是应力-应变关系应变关系是非线性的。位移和应变是微小的。因此是非线性的。位移和应变是微小的。因此 象线性问题一样，设位移和应变分别为象线性问题一样，设位移和应变分别为则全量形式的应力为则全量形式的应力为增量形式的应力为增量形式的应力为现在学习的是第2页，共36页 同线性问题分析一样，可得单元刚度方程为同线性问题分析一样，可得单元刚度方程为单元刚度方程单元刚度方程集成，可得总体平衡方程集成，可得总体平衡方程与线性问题不同，上式是非

2、线性的方程组，因此与线性问题不同，上式是非线性的方程组，因此要用求解非线性方程组的方法来求解。要用求解非线性方程组的方法来求解。1 1）切线刚度法切线刚度法牛顿法牛顿法集成集成 非线性方程非线性方程 用牛顿法用牛顿法求解时，切线刚度矩阵为求解时，切线刚度矩阵为(这里认为这里认为 )现在学习的是第3页，共36页 经整体集成后，可得整体切线刚度矩阵，由此可经整体集成后，可得整体切线刚度矩阵，由此可建立（自修正的）牛顿法迭代公式为建立（自修正的）牛顿法迭代公式为式中式中Rn是应力是应力n引起的结点力，因此引起的结点力，因此其中其中n为第为第n步位移对应的非线性单元应力。步位移对应的非线性单元应力。因

3、为因为R-Rn物理含义是物理含义是不平衡力不平衡力，所以自修正的牛，所以自修正的牛顿法也可理解为按不平衡力修正位移，使不平衡力足顿法也可理解为按不平衡力修正位移，使不平衡力足够小。够小。表示集成表示集成现在学习的是第4页，共36页切线刚度法分析的计算步骤切线刚度法分析的计算步骤像牛顿法一样，切线刚度法每步都要形成像牛顿法一样，切线刚度法每步都要形成切线刚切线刚度矩阵，计算量大。度矩阵，计算量大。基于基于修正牛顿法修正牛顿法的的应力转移法、初应力法应力转移法、初应力法此时不平衡力节点力为外荷载形成此时不平衡力节点力为外荷载形成此时不平衡力节点力为外荷载形成此时不平衡力节点力为外荷载形成nnnnn

4、TnUUURRKUD DD D+=-=+-11 )()(现在学习的是第5页，共36页2 2）应力转移法、初应力法应力转移法、初应力法修正牛顿法修正牛顿法 为避免每次迭代形成切线矩阵并求解，以初始为避免每次迭代形成切线矩阵并求解，以初始切线矩阵（即线弹性的刚度矩阵）迭代，则切线矩阵（即线弹性的刚度矩阵）迭代，则 这相当于按弹性刚度分配不平衡力。迭代的过程这相当于按弹性刚度分配不平衡力。迭代的过程就是不断调整个单元的应力，使刚度弱的单元不能就是不断调整个单元的应力，使刚度弱的单元不能承受的应力逐渐转移到刚度大的单元或边界上，因承受的应力逐渐转移到刚度大的单元或边界上，因此也称为此也称为“应力转移法

5、应力转移法”。它先求位移修正值，。它先求位移修正值，然后求下一迭代步的位移。然后求下一迭代步的位移。因为初始切线刚度矩阵因为初始切线刚度矩阵 ，故，故表示集成表示集成表示集成表示集成现在学习的是第6页，共36页式中式中是第是第n步非线性位移对应的步非线性位移对应的弹性应力弹性应力。由此从修正由此从修正牛顿法迭代公式可得牛顿法迭代公式可得 因为因为非线性应力非线性应力所以若将所以若将 视作视作“初应力初应力”，并记，并记则则表示集成表示集成它是不断修改初应力，使趋于一常量（弹性应力它是不断修改初应力，使趋于一常量（弹性应力和真实应力之差）。因此也称和真实应力之差）。因此也称初应力法初应力法。现在

6、学习的是第7页，共36页 nennDBDd de es s=e 现在学习的是第8页，共36页切线刚度法，应力转移、初应力法示意切线刚度法，应力转移、初应力法示意现在学习的是第9页，共36页切线刚度法切线刚度法将杆分成两个单元，其单元刚度矩阵为：现在学习的是第10页，共36页初应力法初应力法初应力法迭代公式为：现在学习的是第11页，共36页2 2 弹塑性问题弹塑性问题的有限单元法的有限单元法 涉及路径相关性的材料应力应变非线性（加载及涉及路径相关性的材料应力应变非线性（加载及卸载、残余塑性变形等）必须用增量法来求解。卸载、残余塑性变形等）必须用增量法来求解。在增量荷载在增量荷载Rm作用下，位移、

7、应力、应变和内变作用下，位移、应力、应变和内变量等的增量分别为量等的增量分别为下一步迭代时的荷载水平为下一步迭代时的荷载水平为 设设m迭代步的结果已知，位移、应力、应变和迭代步的结果已知，位移、应力、应变和内变量等分别记作内变量等分别记作现在学习的是第12页，共36页 由于所讨论的是小变形问题，因此由于所讨论的是小变形问题，因此或或也即单元增量应变为也即单元增量应变为 。象弹性问。象弹性问题一样，第题一样，第m+1步单元刚度方程为步单元刚度方程为精确解时精确解时精确解时精确解时现在学习的是第13页，共36页 对弹塑性问题，本构关系为对弹塑性问题，本构关系为弹性矩阵弹性矩阵弹性矩阵弹性矩阵塑性矩

8、阵塑性矩阵塑性矩阵塑性矩阵弹塑性矩阵弹塑性矩阵弹塑性矩阵弹塑性矩阵 在应力增量在应力增量d dijij作用下，应变增量作用下，应变增量d dij ij 可分可分成弹性和塑性两部分。成弹性和塑性两部分。总应变为总应变为正交（相关）流动准则正交（相关）流动准则正交（相关）流动准则正交（相关）流动准则非负的尺度因子非负的尺度因子非负的尺度因子非负的尺度因子dddd，它大于零，表示加载，等于零，表示其他情况，它大于零，表示加载，等于零，表示其他情况，它大于零，表示加载，等于零，表示其他情况，它大于零，表示加载，等于零，表示其他情况F F F F为为为为屈服面方程屈服面方程屈服面方程屈服面方程弹塑性问题

9、本构关系应力应变关系弹塑性问题本构关系应力应变关系现在学习的是第14页，共36页 对于具有强化的对于具有强化的加载状态加载状态，因为，因为屈服面屈服面为为由由d df f=0=0又因为又因为现在学习的是第15页，共36页则由则由df=0可得可得在屈服面方程中的内变量在屈服面方程中的内变量k，dk将有不同的形式，仿将有不同的形式，仿照塑性变形的取法，统一记照塑性变形的取法，统一记现在学习的是第16页，共36页塑性状态的塑性状态的加载和卸载准则加载和卸载准则 在外部作用下应变点仍在屈服面上，并有新的塑性在外部作用下应变点仍在屈服面上，并有新的塑性变形发生，此时称这个过程为变形发生，此时称这个过程为

10、塑性加载塑性加载。如果应变点离开屈服面退回弹性区，反应是纯弹性如果应变点离开屈服面退回弹性区，反应是纯弹性的，此过程称的，此过程称塑性卸载塑性卸载。应变点不离开屈服面，又无新的塑性变形发生，应变点不离开屈服面，又无新的塑性变形发生，此时称此时称中性变载中性变载。现在学习的是第17页，共36页2-2)2-2)具有强化的弹塑性材料具有强化的弹塑性材料2-12-1）理想弹塑性材料）理想弹塑性材料 由于此时屈服面大小和形状不随内变量发展由于此时屈服面大小和形状不随内变量发展而改变，因此屈服面为而改变，因此屈服面为 。用公式表示。用公式表示理想弹塑性材料的加卸载准则为：理想弹塑性材料的加卸载准则为：卸载

11、，弹性卸载，弹性加载，塑性加载，塑性卸载，弹性卸载，弹性加载，塑性加载，塑性中性变载，塑性中性变载，塑性转图转图转图转图其几何解释为：其几何解释为：弹性应力增量弹性应力增量指向屈服面内侧或指向屈服面内侧或相切时，反应是弹性的。否则是塑性加载，反应是相切时，反应是弹性的。否则是塑性加载，反应是弹塑性的。弹塑性的。现在学习的是第18页，共36页理想弹塑性材料理想弹塑性材料等向强化弹塑性材料等向强化弹塑性材料随动强化弹塑性材料随动强化弹塑性材料现在学习的是第19页，共36页 由此可见，只要建立了屈服面方程，则对应加载由此可见，只要建立了屈服面方程，则对应加载状态应力增量状态应力增量d dijij的应

12、变增量的应变增量d dij ij 为为若引入如下记号：若引入如下记号：则弹塑性本构关系可统一表示成则弹塑性本构关系可统一表示成 上述本构方程是以应力为基本未知量的，上述本构方程是以应力为基本未知量的，它只它只适用于强化材料适用于强化材料。现在学习的是第20页，共36页应变空间表述的弹塑性本构关系应变空间表述的弹塑性本构关系 以应变空间来讨论，能给出对强化、软化和理想塑性材料普遍适用的本以应变空间来讨论，能给出对强化、软化和理想塑性材料普遍适用的本以应变空间来讨论，能给出对强化、软化和理想塑性材料普遍适用的本以应变空间来讨论，能给出对强化、软化和理想塑性材料普遍适用的本构关系表达式。构关系表达式

13、。构关系表达式。构关系表达式。基于两者的对应关系，因此只简单列出式子。基于两者的对应关系，因此只简单列出式子。基于两者的对应关系，因此只简单列出式子。基于两者的对应关系，因此只简单列出式子。1)1)1)1)屈服条件和屈服面屈服条件和屈服面屈服条件和屈服面屈服条件和屈服面屈服面方程屈服面方程屈服面方程屈服面方程初始屈服面初始屈服面初始屈服面初始屈服面 2)2)2)2)加、卸载和流动准则加、卸载和流动准则加、卸载和流动准则加、卸载和流动准则正交流动准则正交流动准则正交流动准则正交流动准则dddd大于零表示加载，等于零表示其他情况。大于零表示加载，等于零表示其他情况。大于零表示加载，等于零表示其他情

14、况。大于零表示加载，等于零表示其他情况。现在学习的是第21页，共36页3)3)弹塑性本构关系弹塑性本构关系应变空间应变空间应变空间应变空间应力空间应力空间应力空间应力空间应变空间应变空间应变空间应变空间应力空间应力空间应力空间应力空间现在学习的是第22页，共36页确定弹塑性矩阵确定弹塑性矩阵等向强化等向强化等向强化等向强化-软化的米塞斯材料软化的米塞斯材料软化的米塞斯材料软化的米塞斯材料在主应力状态下，第二不变量为在主应力状态下，第二不变量为在主应力状态下，第二不变量为在主应力状态下，第二不变量为 由薄壁圆筒的实验研究可得，这种材料的屈服面方程为由薄壁圆筒的实验研究可得，这种材料的屈服面方程为

15、式中式中J2是应力偏张量的第二不变量是应力偏张量的第二不变量 ，由于，由于偏张量第一不变量等于零偏张量第一不变量等于零 ，因此，因此 在单向拉伸状态下，在单向拉伸状态下，J2=2/3。在纯剪状态下，在纯剪状态下，J2=2。一般情况下，。一般情况下，sij=ij-kkij/3,所以所以 .现在学习的是第23页，共36页 屈服面式中屈服面式中(k)，是是由单向应力状态的数据确由单向应力状态的数据确定的屈服参数。定的屈服参数。在单向拉伸时为在单向拉伸时为2=B2/3。在纯剪在纯剪状态下状态下=B。任何情况下。任何情况下都是硬化参数塑性功都是硬化参数塑性功wp的函数。的函数。根据屈服面表达式，可求得根

16、据屈服面表达式，可求得因为因为现在学习的是第24页，共36页为了求为了求A，需先由屈服面对，需先由屈服面对wp的偏导数求的偏导数求M式中式中Gp是是 曲线的斜率。同理，对单向拉伸曲线的斜率。同理，对单向拉伸情况，情况，-M=Ep/3。纯剪纯剪Gp是塑性剪切是塑性剪切模量模量单向拉伸单向拉伸Ep是塑性拉伸是塑性拉伸模量模量现在学习的是第25页，共36页因为因为由此可得由此可得A=G+Gp（或（或A=G+Ep/3），又因），又因由此可得弹塑性矩阵为由此可得弹塑性矩阵为现在学习的是第26页，共36页加、卸载准则加、卸载准则为为统一的本构关系为统一的本构关系为由此可得由此可得弹塑性矩阵弹塑性矩阵为为现

17、在学习的是第27页，共36页1)1)根据实验研究建立材料合理的屈服条件根据实验研究建立材料合理的屈服条件f。2)2)由屈服条件求屈服面方程对应力或不变量等的由屈服条件求屈服面方程对应力或不变量等的导数。导数。等向强化等向强化等向强化等向强化-软化材料的屈服面方程为软化材料的屈服面方程为软化材料的屈服面方程为软化材料的屈服面方程为3)3)根据硬化参数的选取，计算根据硬化参数的选取，计算M。现在学习的是第28页，共36页4)4)由由 计算计算A。5)5)由由 计算计算塑性矩阵。塑性矩阵。6)6)计算计算 并由此判断并由此判断H(l)。7)7)最后形成弹塑性矩阵最后形成弹塑性矩阵 。现在学习的是第2

18、9页，共36页 为进一步讨论状态判别，设在荷载为进一步讨论状态判别，设在荷载Rm作用下应力作用下应力和内变量对应一弹性状态，也即和内变量对应一弹性状态，也即增加荷载增加荷载Rm后，转入塑性状态，即后，转入塑性状态，即弹性应力弹性应力弹性应力弹性应力弹性应力弹性应力弹性应力弹性应力应变空间的加、卸载的规则应变空间的加、卸载的规则现在学习的是第30页，共36页也可由下式线性内插确定也可由下式线性内插确定因此可用下式确定中性变载点处弹、塑性部分的因此可用下式确定中性变载点处弹、塑性部分的比例因子比例因子r 基于此，加荷载基于此，加荷载Rm后，应力增量为后，应力增量为弹性应力弹性应力弹性应力弹性应力现

19、在学习的是第31页，共36页当当Rm足够小时足够小时(m足够小足够小)，上式可写为，上式可写为跳跳跳跳转转转转式中式中Dp是按是按 计算的塑性矩阵。计算的塑性矩阵。当当r=1时，反应是纯弹性的，可以是弹性到弹性、时，反应是纯弹性的，可以是弹性到弹性、塑性卸载到弹性或中性变载。塑性卸载到弹性或中性变载。当当r=0时，应力应变是塑性的，是弹性到塑性的加时，应力应变是塑性的，是弹性到塑性的加载。载。0r1时，应力应变是弹塑性的。时，应力应变是弹塑性的。弹性应力弹性应力弹性应力弹性应力现在学习的是第32页，共36页弹性弹性弹性弹性弹性弹性弹性弹性塑性塑性塑性塑性fmfm+1弹性弹性弹性弹性转转转转18

20、181818有状态改变有状态改变有状态改变有状态改变无状态改变无状态改变无状态改变无状态改变弹性弹性弹性弹性塑性塑性塑性塑性由中性状态改由中性状态改由中性状态改由中性状态改变到塑性变到塑性变到塑性变到塑性现在学习的是第33页，共36页由应变求应力的计算步骤由应变求应力的计算步骤现在学习的是第34页，共36页 解决了由应变求应力的计算，下面再解决弹塑性问解决了由应变求应力的计算，下面再解决弹塑性问题非线性方程组求解问题。题非线性方程组求解问题。将其代入单元刚度方程，可得将其代入单元刚度方程，可得 首先，以首先，以 下的弹塑性矩阵下的弹塑性矩阵 代替增量代替增量应力应变关系中的应力应变关系中的 ，也即有，也即有“线性关系线性关系”进行整体集成，可得（认为进行整体集成，可得（认为 ）集成集成现在学习的是第35页，共36页 由此，若记由此，若记上述方程可以用前面所介绍的初应力法等进行求解。上述方程可以用前面所介绍的初应力法等进行求解。初应力法的迭代公式为初应力法的迭代公式为则切线刚度方程为则切线刚度方程为表示集成表示集成现在学习的是第36页，共36页