现代控制理论第讲.ppt

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1、现代控制理论第讲现在学习的是第1页，共20页第四章第四章 稳定性与李雅普诺夫方法稳定性与李雅普诺夫方法主要内容主要内容:1、李雅普诺夫意义下的稳定性定义、李雅普诺夫意义下的稳定性定义2、李雅普诺夫第一方法（间接法）、李雅普诺夫第一方法（间接法）3、李雅普诺夫第二方法（直接法）、李雅普诺夫第二方法（直接法）4、李雅普诺夫方法在线性系统中的应用、李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 5、李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用、李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用 重点：重点：1、李雅普诺夫意义下的稳定性定义、李雅普诺夫意义下的稳定性定义2、李雅普诺夫第二方法（间接法）、李雅普诺夫第二方法（间接法）3、李雅普

2、诺夫方法在线性系统中的应用、李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 现在学习的是第2页，共20页一、稳定的一般性概念一、稳定的一般性概念 系统的稳定性就是一个处于稳态的系统，在某一干扰信号的系统的稳定性就是一个处于稳态的系统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如果该系统是稳定的，那作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在自身作用下回到平衡状么当干扰取消后有限的时间内，系统会在自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会回到原来的平衡位置。态；反之若系统不稳定，则系统永远不会回到原来的平衡位置。二、系统稳定分类二、系统稳定

3、分类系统外部稳定：系统外部稳定：又称作输出稳定，当系统在干扰取消后，在一定又称作输出稳定，当系统在干扰取消后，在一定时间内，其输出会恢复到原来的稳态输出。输出稳定有时描述为时间内，其输出会恢复到原来的稳态输出。输出稳定有时描述为系统的系统的BIBOBIBO稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。系统内部稳定：系统内部稳定：主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响。当扰动信号取消后，系统的内部状态会在一受干扰信号的影响。当扰动信号取消后，系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态

4、，则称系统状态稳定。定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。现在学习的是第3页，共20页 1 1、经典控制论中只讨论系统的输出稳定问题。、经典控制论中只讨论系统的输出稳定问题。在经典控制论中，研究对象都是用高阶微分方程或传递函数在经典控制论中，研究对象都是用高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（描述的单输入单输出（SISOSISO）系统，反映的仅是输入输出的关系，）系统，反映的仅是输入输出的关系，不会涉及系统内部的状态。不会涉及系统内部的状态。三、三、经典控制论中的稳定性理论经典控制论中的稳定性理论 2 2、经典控制论稳定性分析方法、经典控制论稳定性分析方法 劳斯赫尔维茨稳定判据：

5、可以通过线性定常系统特劳斯赫尔维茨稳定判据：可以通过线性定常系统特征方程的系数的简单代数运算来判别系统输出稳定性，而征方程的系数的简单代数运算来判别系统输出稳定性，而不必求出各个特征根。频域：奈奎斯特判据。不必求出各个特征根。频域：奈奎斯特判据。现在学习的是第4页，共20页非线性系统和时变系统稳定性分析方法非线性系统和时变系统稳定性分析方法 李雅普诺夫第一方法（间接法）李雅普诺夫第一方法（间接法）李雅普诺夫第二方法（直接法）李雅普诺夫第二方法（直接法）李雅普诺夫：李雅普诺夫：19世纪后期俄国数学家世纪后期俄国数学家动态稳定性的一般问题动态稳定性的一般问题 1892发表发表 线性化方法线性化方法

6、 “类能量类能量”标量函数标量函数 3、经典控制论稳定性分析方法的适用性经典控制论稳定性分析方法的适用性研究的对象：线性定常系统研究的对象：线性定常系统不能解决的问题不能解决的问题：（1 1）时变系统时的稳定性分析；时变系统时的稳定性分析；（2 2）非线性系统的稳定性分析；）非线性系统的稳定性分析；（3 3）系统内部状态稳定性分析）系统内部状态稳定性分析。现在学习的是第5页，共20页41李雅普诺夫关于稳定性定义李雅普诺夫关于稳定性定义经典控制理论的稳定性定义：经典控制理论的稳定性定义：线性定常系统的稳定性与系统的结构和参数有关，与系线性定常系统的稳定性与系统的结构和参数有关，与系统的初始条件和

7、扰动的大小无关。统的初始条件和扰动的大小无关。非线性系统的稳定：非线性系统的稳定：不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件和扰动的不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件和扰动的大小无关。大小无关。经典控制理论并没有给出适合任何系统稳定性定义！经典控制理论并没有给出适合任何系统稳定性定义！李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义1、给出了对任何系统普遍适用的稳定性的一般定义、给出了对任何系统普遍适用的稳定性的一般定义2、李雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线性系统、非线性、李雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统及时变系统稳定性分析的方法系统及时变系统稳定性分析的方

8、法。3、李雅普诺夫函数需要针对系统来设计，不具有一般性、李雅普诺夫函数需要针对系统来设计，不具有一般性。现在学习的是第6页，共20页一、系统状态的运动和平衡状态一、系统状态的运动和平衡状态设所研究系统的齐次状态方程为：设所研究系统的齐次状态方程为：n维维状状态态矢量矢量 n维维矢量函数矢量函数在给定初始条件在给定初始条件 下，有唯一解：下，有唯一解：表示初始时刻的状态表示初始时刻的状态表示从初始条件出发的一条表示从初始条件出发的一条运动轨线运动轨线称为系统的称为系统的运动运动或或状态轨线状态轨线。现在学习的是第7页，共20页若系统存在状态矢量，对于任意时间若系统存在状态矢量，对于任意时间t,都

9、有：都有：则称该状态为系统的则称该状态为系统的平衡状态平衡状态，记为：，记为：关于平衡状态的说明关于平衡状态的说明1、对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态。、对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态。2、有时即使存在也未必是唯一的。、有时即使存在也未必是唯一的。例：例：可以得到系统的三个平衡状态点可以得到系统的三个平衡状态点 现在学习的是第8页，共20页它的动态特性由下列非线性自治方程给出它的动态特性由下列非线性自治方程给出 令 则相应的状态空间方程是：则相应的状态空间方程是：平衡点：平衡点：现在学习的是第9页，共20页二、稳定性的几个定义二、稳定性的几个定义状态空间几何描述的几个基本概念状态

10、空间几何描述的几个基本概念状态矢量与平衡点状态矢量与平衡点xe的距离的距离：用：用x xe 表示且有：表示且有：x xe=（x1-x1e)2+（x2-x2e)2+（xn-xne)21/2以以xe为中心为中心 为半径的超球体点集为半径的超球体点集：用用S（）表示，且如果状态）表示，且如果状态变量变量x属于该超球体点集则有：属于该超球体点集则有：x xe 邻域邻域：当当很小时，称很小时，称S（）为）为xe的邻域的邻域自由响应有界自由响应有界：若系统状态方程的解若系统状态方程的解x xt t=(t(t；x x0 0,t t0 0)位于球域位于球域S（）内则有：）内则有：(t(t；x x0 0,t t

11、0 0）xe 表示系统由初始状态表示系统由初始状态x x0 0或扰动所引起的自由响应有界。或扰动所引起的自由响应有界。现在学习的是第10页，共20页1、李雅普诺夫意义下稳定、李雅普诺夫意义下稳定 设设X Xe e为系统的一个平衡点，如果给定一个以为系统的一个平衡点，如果给定一个以X Xe e为球心，以为球心，以为半径为半径的的n n维球域维球域S(S()，总能找到一个同样以，总能找到一个同样以X Xe e为球心，为球心，（，t t0 0）为半径的）为半径的n n维球域维球域S(S()，使得从，使得从S(S()球域出发的任意一条系统状态轨迹球域出发的任意一条系统状态轨迹(t(t；X X0 0，t

12、 t0 0)在在t tt0t0的所有时间内，都不会跑出的所有时间内，都不会跑出S(S()球域，则称系统的平衡状球域，则称系统的平衡状态态X Xe e是李雅普诺夫稳定的是李雅普诺夫稳定的(Lyapunov Stability)(Lyapunov Stability)。现在学习的是第11页，共20页 对于任意选定的实数对于任意选定的实数0,0,都存在另一实数都存在另一实数（，t t0 0）0,0,使得当使得当 x xe（，t t0 0）时时,从任意初始状态从任意初始状态X X0 0出发的解都满足出发的解都满足(t(t；x x0 0,t t0 0）xe ,t tt0t02、渐进稳定、渐进稳定 如果如

13、果X Xe e不仅是李雅普诺夫稳定的平衡状态，而且当时间不仅是李雅普诺夫稳定的平衡状态，而且当时间t t无限无限增加时，从增加时，从S(S()球域出发的任一条状态轨迹球域出发的任一条状态轨迹(t(t；X X0 0，t t0 0)都最终收都最终收敛于球心平衡点敛于球心平衡点X Xe e，那么称，那么称X Xe e是渐进稳定的是渐进稳定的(AsymptoticAsymptoticStability)Stability)。现在学习的是第12页，共20页3、大范围渐近稳定、大范围渐近稳定 如果从如果从S(),S(),即整个系统状态空间的任一点出发的任一条状态即整个系统状态空间的任一点出发的任一条状态轨

14、迹轨迹(t(t；X X0 0，t t0 0)，当，当t t时，都收敛到平衡点时，都收敛到平衡点X Xe e，那么称，那么称X Xe e是大是大范围渐进稳定的。很明显，这时的范围渐进稳定的。很明显，这时的X Xe e是系统的唯一的平衡点。是系统的唯一的平衡点。4、不稳定、不稳定 对于给定对于给定S(S()，不论，不论00取得多么小，从取得多么小，从S(S()球域出发的状态轨迹球域出发的状态轨迹(t(t；X X0 0，t t0 0)，至少有一条跑出，至少有一条跑出S(S()球域，那么称平衡点球域，那么称平衡点X Xe e是不稳定的。是不稳定的。经典控制理论(线性系统）不稳定(Re(s)0)临界情况

15、(Re(s)=0)稳定(Re(s)0)Lyapunov意义下不稳定稳定渐近稳定现在学习的是第13页，共20页小结：小结：1、球域球域S(S()限制着初始状态限制着初始状态X X0 0的取值，的取值，球域球域S(S()规定规定了系统了系统自由响应自由响应(t(t；X X0 0，t t0 0)的边界；的边界；22、如果、如果x(t)x(t)为有界，则为有界，则X Xe e稳定；稳定；33、如果、如果x(t)x(t)为有界而且有为有界而且有，X Xe e渐进稳定；渐进稳定；现在学习的是第14页，共20页42 李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法）问题问题：如何判定系统的稳定性？如何判定

16、系统的稳定性？判据？判据？方法方法：通过分析系统微分方程的显式解来分析系统的稳定性。通过分析系统微分方程的显式解来分析系统的稳定性。一、线性系统的稳定判据一、线性系统的稳定判据设线性定常系统的动态方程为：设线性定常系统的动态方程为：线性定常系统线性定常系统平衡状态平衡状态Xe0渐近稳定的充要条件是渐近稳定的充要条件是是统矩是统矩阵阵A的所有特征根都有负的实部。的所有特征根都有负的实部。线性线性定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数：定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数：的极点全部都有负实部。的极点全部都有负实部。现在学习的是第15页，共20页 系统的传递函数系统的传递函数W(s)W(s)没有

17、零极点对消时，系统的状态稳定性和系统没有零极点对消时，系统的状态稳定性和系统的输出稳定性是一致的，因为这时系统矩阵的特征根就是系统传递函数的输出稳定性是一致的，因为这时系统矩阵的特征根就是系统传递函数的极点。的极点。【例【例4 41 1】系统的状态空间表达式为：系统的状态空间表达式为：请分析系统的状态稳定性和输出稳定性。请分析系统的状态稳定性和输出稳定性。解：解：X Xe e=0=0是系统的唯一平衡点，系统特征方程为：是系统的唯一平衡点，系统特征方程为：现在学习的是第16页，共20页二、非线性系统的稳定性二、非线性系统的稳定性设非线性系统的状态方程为：设非线性系统的状态方程为：X Xe e为平

18、衡状态；为平衡状态；fx,tfx,t为与为与x x同维的矢量函数，且对同维的矢量函数，且对x x有连续的偏导数。可有连续的偏导数。可将将非线性非线性矢量函数矢量函数fx,tfx,t在在X Xe e邻域展开成泰勒级数：邻域展开成泰勒级数：R（x)为级数展开式中的高阶导数项为级数展开式中的高阶导数项雅可比矩阵雅可比矩阵（Jacobian)现在学习的是第17页，共20页令令X=X=X-X Xe e,可得系统线性化方程：可得系统线性化方程：定理（李雅普诺夫线性化方法）定理（李雅普诺夫线性化方法）（1）如果方程式中系数矩阵）如果方程式中系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，的所有特征值都具有负实部，则原非

19、线性系统在平衡状态则原非线性系统在平衡状态X Xe e是渐近稳定的，而且稳定性与是渐近稳定的，而且稳定性与R（x)无关。无关。（2）如果方程式中系数矩阵）如果方程式中系数矩阵A特征值，至少有一个具有正实部，则特征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统在平衡状态原非线性系统在平衡状态X Xe e是不稳定的。是不稳定的。（3 3）如果方程式中系数矩阵如果方程式中系数矩阵A特征值，至少有一个的实部为零，那特征值，至少有一个的实部为零，那么原非线性系统在平衡状态么原非线性系统在平衡状态X Xe e的稳定性将取决于的稳定性将取决于高阶导数项高阶导数项R（x)，而不能有，而不能有A的特征值符号来确定的特

20、征值符号来确定。现在学习的是第18页，共20页【例【例4 42 2】系统的状态方程为：系统的状态方程为：请分析系统的状态稳定性。请分析系统的状态稳定性。解：解：系统有两个平衡状态系统有两个平衡状态XXe1e1=00=00T TXXe2e2=11=11T T在在X Xe1e1处线性化得：处线性化得：是不稳定的是不稳定的不能得出稳定性结论不能得出稳定性结论现在学习的是第19页，共20页【例】【例】系统的状态方程为：系统的状态方程为：请分析系统的状态稳定性。请分析系统的状态稳定性。解：解：系统有两个平衡状态系统有两个平衡状态XXe e=00=00T T在在X Xe e处线性化得：处线性化得：是稳定的是稳定的现在学习的是第20页，共20页