有限单元法-5.ppt

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1、五五.采用面积坐标时的单元分析采用面积坐标时的单元分析jikyxP1.1.面积坐标面积坐标 三角形单元中任一点三角形单元中任一点P P 可用直角坐标可用直角坐标(x,y)表示。表示。连连P i、P j、P k，则可得三个小三角形。它们和则可得三个小三角形。它们和大三角形大三角形 123123的面积比，记作的面积比，记作 P Pijij P Pikik P PjkjkL L i=P P jkjk/ijkijkL L j=P P ikik/ijkijkL L k=P P ijij/ijkijk面积坐标面积坐标 由于由于 L Li i+L Lj j+L Lk k =1=1，只有两个是独立的。只有两个

2、是独立的。三角形中任一点三角形中任一点P P 的的位置可用面积坐标位置可用面积坐标L Li i、L Lj j 确定。确定。当当P P 点在点在i i结点时结点时L Lj j=L Lk k=0=0，L Li i=1=1。余类推。余类推。可见面积坐标具有可见面积坐标具有“形形函数函数”的性质。的性质。L Li i+L Lj j+L Lk k=1=1五五.采用面积坐标时的单元分析采用面积坐标时的单元分析jikyxP2.2.位移模式位移模式 P Pijij P Pikik P Pjkjk 由于面积坐标有形函数性质，因此根据由于面积坐标有形函数性质，因此根据试凑法可得到形函数矩阵。试凑法可得到形函数矩阵

3、。形形函数函数 Ni=Li 面积坐标面积坐标 如果结点如果结点 i 位移为位移为ui、vi，（，（i=i，j，k）则单元位移模式（位移场）为则单元位移模式（位移场）为 u=Niui；v=Nivi 面积坐标和直角坐标关系面积坐标和直角坐标关系:jikyxP P Pijij P Pikik P PjkjkjikyxP P Pijij P Pikik P Pjkjk L Li i+L Lj j+L Lk k=1=1 x=L Li ixi i+L Lj jxj j+L Lk kxk k y=L Li iyi i+L Lj jyj j+L Lk kyk k 后面的分析过程与结果与后面的分析过程与结果与前

4、面广义坐标法一致前面广义坐标法一致.3.1 常应变三角形单元常应变三角形单元3 平面问题的有限元分析平面问题的有限元分析一一.离散化离散化单元结点位移向量单元结点位移向量3.2 矩形双线性单元矩形双线性单元水坝水坝1 12 23 34 4(x1,y1)aabb(x2,y2)(x3,y3)(x4,y4)单元结点力向量单元结点力向量同理同理,有有二二.单元分析单元分析若用广义坐标法若用广义坐标法,则与三角形单元类似的可得到则与三角形单元类似的可得到下面用试凑法确定形函数矩阵下面用试凑法确定形函数矩阵1.1.单元位移单元位移设单元内位移为设单元内位移为1 12 23 34 4(x1,y1)aabb(

5、x2,y2)(x3,y3)(x4,y4)4 41 12 23 3(-1,-1)1111(1,-1)(1,1)(-1,1)令令由形函数性质由形函数性质可设可设正则正则(自然自然)坐标系坐标系或或思考题思考题:这种单元是收敛的单元吗这种单元是收敛的单元吗?为什么为什么?2.2.单元应力与应变单元应力与应变同理同理,有有4 41 12 23 3(-1,-1)1111(1,-1)(1,1)(-1,1)或或思考题思考题:这种单元是收敛的单元吗这种单元是收敛的单元吗?为什么为什么?2.2.单元应力与应变单元应力与应变2.2.单元应力与应变单元应力与应变应变矩阵应变矩阵应变矩阵应变矩阵应变矩阵应变矩阵应变矩

6、阵应变矩阵应力矩阵应力矩阵应力矩阵应力矩阵对于平面应力问题对于平面应力问题应力矩阵应力矩阵应力矩阵应力矩阵对于平面应力问题对于平面应力问题从应变矩阵和应力矩阵可见从应变矩阵和应力矩阵可见:单元内应力和应变沿单元内应力和应变沿x方向是线性变化的方向是线性变化的,沿沿y向也是线性变化的向也是线性变化的.这是由所设位移模式所决定的这是由所设位移模式所决定的.3.3.单元刚度矩阵和单元等效结点荷载单元刚度矩阵和单元等效结点荷载用虚位移原理或势能原理可推得用虚位移原理或势能原理可推得对于平面应力问题对于平面应力问题三三.算例算例 见教材见教材9898页例题页例题5-25-2、9999页例题页例题5-35-3