自动控制原理课件(精)2.ppt

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1、第二章第二章 线性系统的数学模型线性系统的数学模型 2-1 系统的微分方程系统的微分方程 2-2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 2-3 线性系统的传递函数线性系统的传递函数 2-4 控制系统的结构图控制系统的结构图 2-5 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数1 12.1 系统的微分方程系统的微分方程 在实际应用中，绝大多数控制系统在一定的限制条件下，都可以用线性微分方程来描述。用解析法列写系统微分方程的一般步骤为：1.根据实际工作情况，确定系数和各元件的输入、输出变量。2.从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循 的物理、化学定理，列写出动态方程，一般为微分

2、方程。3.消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。4.标准化。2 2例例例例2-12-12-12-1 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力当外力F(t)F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力力F(t)F(t)与质量块的位移与质量块的位移y(t)y(t)之间的微分方程。之间的微分方程。kF(t)mfy(t)3 3解：解：若弹簧恢复力F2(t)和阻尼器阻力F1(t)与外力F(t)不能平衡，则质量块将产生加速运动，其速度和位移发生变化。根据牛顿定理有:式中 f 阻尼系数,k 弹性系数由以上所

3、列方程中消去中间变量：4 42.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 在一定条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线性模型的处理方法称为非线性数学模型的线性化。饱和非线性xy在工程实际中，控制系统都有一个额定的工作状态和工作点，当变量在工作点附近作小范围的变化,且变量在给定的区域间有各阶导数时，便可在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数，忽略级数中高阶无穷小项后，就可得到只包含偏差的一次项的线性方程。这种线性化方法称为小偏差法小偏差法。5 5例如，设非线性函数y=f(x)如图所示，其输入量为x，输出量为y，如果在给定工作点y0=f(x0)处各阶导数均存在，在y0=f(x0

4、)附近将y展开成泰勒级数：y=f(x)y0 x0 xy 小偏差线性化示意图如果偏差x=x-x0很小，则可忽略级数中高阶无穷小项，上式可写为 K表示y=f(x)曲线在(x0,y0)处切线的斜率。因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。6 62.3.12.3.12.3.12.3.1传递函数的定义传递函数的定义传递函数的定义传递函数的定义 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。若线性定常系统的微分方程为若线性定常系统的微分方程为在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换，得2.3 线性系统的传递函数线性系统的传递函数描述该线性定常系统的传递函

5、数为7 72.3.2 2.3.2 2.3.2 2.3.2 传递函数的性质传递函数的性质传递函数的性质传递函数的性质 1.传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态特性，它只与系统的结构和参数有关，与输入信号无关。2.传递函数是复变量s的有理分式函数，其分子多项式的次数m低于或等于分母多项式的次数n，即mn。且系数均为实数。3.在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输出时，其传递函数一般也不相同。传递函数不反映系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数。4.传递函数的定义只适用于线性定常系统。8 8常把传递函数分解为一次因式的乘积式中的K称为传递函数的增益或传递系

6、数（放大系数）。zj(j=1.2.m)为分子多项式的根，称为传传递递函函数数的的零零点点。Pi(1.2.n)为分母多项式的根，称为传传递递函函数数的的极极点点。传递函数的分母多项式就是相应微分方程式的特征多项式，令该分母多项式等于零，就可得到相应微分方程的特特征方程征方程。9 92.3.32.3.32.3.32.3.3典型环节的传递函数典型环节的传递函数典型环节的传递函数典型环节的传递函数比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变化。比例环节的传递函数为比例环节又称放大环节。其数学方程为式中c(t)为输出量，r(t)为输入量，K为放大系数（或增益）。1.1.比例环节比例环节10102

7、.2.2.2.惯性环节惯性环节惯性环节惯性环节惯性环节又称非周期环节，其输入、输出间的微分方程为式中T为时间常数，K为比例系数 惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上延迟，时间常数愈大惯性愈大，延迟时间也愈长，时间常数T表征了该环节的惯性。在单位阶跃输入时惯性环节的输出量是按指数函数变化的。当t=3T4T时，输出才能接近其稳态值。11113.3.3.3.积分环节积分环节积分环节积分环节积分环节的微分方程是积分环节的输出量是与其输入量的积分成比例的。由积分环节的微分方程求得其单位阶跃响应为 c(t)=Kt单位阶跃响应的斜率为 K，如右图所示。c(t)c(t)t t0 0式中K=1/

8、T，称为积分环节的放大系数，T称为积分时间常数。12124.4.4.4.振荡环节振荡环节振荡环节振荡环节振荡环节的微分方程是当输入为单位阶跃函数时，可用拉氏反变换求得环节的输出响应，如右图所示。c(t)c(t)1 10 0t t式中T-T-时间常数时间常数，-阻尼比阻尼比，对振荡环节有 0113135.5.5.5.微分环节微分环节微分环节微分环节理想微分环节的微分方程为式中为微分时间常数。理想微分环节的单位阶跃响应为这是一个强度为的理想脉冲。在实际物理系统中得不到这种理想微分环节。14146.6.6.6.纯滞后环节纯滞后环节纯滞后环节纯滞后环节 当输入作用到环节以后，其输出量要等待一段时间后，

9、才能复现输入信号，在时间0到的时间内，输出量为零，这种具有延时效应的环节称为纯滞后环节。纯滞后环节的数学表达式为 式中为纯滞后时间。当输入信号为下图(a)所示的单位阶跃函数时，其响应曲线如下图(b)所示。r(t)r(t)1 1t t0 0(a)t tc(tc(t)1 10 0(b)15152.3.4 2.3.4 控制系统的传递函数控制系统的传递函数控制系统的传递函数控制系统的传递函数 对于简单控制系统，在求取传递函数时，可采用直接计算法。即先列写系统的微分方程，再由拉氏变换求出系统的传递函数。解解 根据电路的基本定理可以得到如下的关系式例例2-22-2 设下图所示电路中，输入电压为ur,输出电

10、压为u0，试写出其传递函数。uru0C1i2R1i1iR2C21616在零初始条件下，对上式进行拉氏变换，得消去中间变量，得到输入、输出的微分方程式由此得出该电路的传递函数为1717 在上述计算过程中，如果先对所列写的微分方程组作拉氏变换，再消去中间变量，可简化计算。在零初始条件下，对方程组取拉氏变换，得到消去中间变量可得)(1)()()()()()()()()()(1)(22021012011sIscsIRsUsIsIsIsUsUscsIsUsURsIrr+=+=-=-=18182.4 控制系统的结构图控制系统的结构图 控制系统的结结构构图图是是描描述述系系统统各各组组成成元元部部件件之之间

11、间信信号号传传递递关关系系的的数数学学图图形形，它表示系统中各变量所进行的数学运算和输入、输出之间的因果关系。采用结构图，不仅能方便地求取复杂系统的传递函数，而且能形象直观地表明信号在系统或元件中的传递过程。2.4.1 2.4.1 2.4.1 2.4.1 结构图的组成结构图的组成结构图的组成结构图的组成 把各环节或元件的传递函数填在系统原理方块图的方块中，并把相应的输入、输出信号分别以拉氏变换来表示，就可以得到传递函数方块图，这种图形既说明了信号之间的数学物理关系，又描述了系统的动态结构，因此称之为系统的动态结构图，简称为结构图。1919 信信号号线线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，

12、且信号只能单向传输。方方块块单单元元：即一个元件或环节的传递函数方块图，该方块可以对信号进行数学变换，其变换关系为 Xc(s)=G(s)Xr(s)G(s)xr(s)xc(s)方块单元 信号比较点：信号比较点：表示两个或多个信号在此代数相加。信号比较点的运算关系为xr2xr1(s)xr3(s)xc(s)信号引出点：信号引出点：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同。x(s)x(s)x(s)x(s)20202.4.2 2.4.2 结构图的画法结构图的画法绘制系统结构图的步骤如下：1.列写出系统各元件的微分方程。在建立方程时应分清各元件的输入量、输出量，同时应考虑相邻元

13、部件之间是否有负载效应。2.在零初始条件下，对各微分方程进行拉氏变换，并将变换式写成标准形式。3.由标准变换式利用结构图的四个基本单元，分别画出各元部件的结构图。4.按照系统中信号的传递顺序，依次将各元部件的结构图连接起来，便可得到系统的结构图。2121 例例2-32-3 在例22所示的滤波电路中，若以电压ur为输入，电压uc为输出，试画出其结构图。u ur rR R1 1R R2 2u uc cC C2 2C C1 1i i1 1i i2 2 例2-2题电路图解解22222、将上述方程整理23231/R11/c1s1/R21/c2sUr(s)I1(s)I2(s)Uc1(s)I2(s)Uc(s

14、)-3 3.按照信号传递顺序，依次将各元部件的结构图连接起来。24242.4.3 2.4.3 结构图的等效变结构图的等效变结构图的等效变结构图的等效变换换换换1.1.1.1.串联连接方式的等效变换串联连接方式的等效变换串联连接方式的等效变换串联连接方式的等效变换 前一环节的输出量是后一环节的输入量的连接称为环节的串联。如下图所示，G G1 1(s)(s)G G2 2(s)(s)G G3 3(s)(s)R R1 1(s)(s)R R2 2(s)(s)R R3 3(s)(s)R R4 4(s)(s)G(s)G(s)R R1 1(s)(s)R R4 4(s)(s)25252.2.2.2.并联连接方式

15、的等效变换并联连接方式的等效变换并联连接方式的等效变换并联连接方式的等效变换输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如下图所示，G G1 1(s)(s)G G2 2(s)(s)G G3 3(s)(s)C C2 2(s)(s)C C3 3(s)(s)+C(s)C(s)R(s)R(s)C C1 1(s)(s)并联后总的传递函数为G(s)G(s)R(s)R(s)C(s)C(s)26263.3.反馈连接方式的等效变换反馈连接方式的等效变换 将系统或环节的输出反馈到输入端与输入信号进行比较，就构成了反馈连接。G(s)G(s)H(s)H(s)E(s)E(s)B(s)B(s)-R(s)R(s)C(s)C

16、(s)27274.4.4.4.分支点的移动规则分支点的移动规则分支点的移动规则分支点的移动规则 将分支点跨越元件方块图移动时，必须遵循移动前后所得的分支信号保持不变的等效原则。G(s)G(s)1/G(s)1/G(s)B BR(s)R(s)C C1 1(s)(s)C C2 2(s)(s)移动前后的分支输出信号不变，达到了等效变换的目的。G(s)G(s)R(s)R(s)A AB BC C1 1(s)(s)C C2 2(s)(s)2828G(s)G(s)G(s)G(s)A AR(s)R(s)C C1 1(s)(s)C C2 2(s)(s)分分支支点点移移动动的的规规则则为为：若分支点从一个方块图的输

17、入端移到其输出端时，应在移动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越的方块图的传递函数的倒数。若分支点从一方块图的输出端移到其输入端时，应在移动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越的方块图的传递函数。G(s)G(s)R(s)R(s)A AB BC C1 1(s)(s)C C2 2(s)(s)29295.5.5.5.比较点的移动规则比较点的移动规则比较点的移动规则比较点的移动规则如图(a)所示，当比较点在A处时，总输出量为 C(s)=G(s)R1(s)-R2(s)当比较点移到B处时，必须使两个输入都经过元件方块图后再相加，如图(b)所示，此时 C(s)=G(s)R1(s)-G

18、(s)R2(s)与移动前相等，因而两图是等效的。G(s)G(s)A AR R1 1(s)(s)R R2 2(s)(s)-C(s)C(s)B BG(s)G(s)G(s)G(s)R R1 1(s)(s)R R2 2(s)(s)B BC(s)C(s)-(a)(a)(b)(b)3030 当综合点之间相互移动时，如下图所示，因为三者输出都为 C(s)=R1(s)-R2(s)-R3(s)故它们都是等效的。R R2 2(s)(s)R R1 1(s)(s)R R2 2(s)(s)R R3 3(s)(s)-E E1 1C(s)C(s)R R1 1(s)(s)R R3 3(s)(s)R R1 1(s)(s)R R

19、3 3(s)(s)R R2 2(s)(s)-C(s)C(s)C(s)C(s)(a)(b)(c)可见，互换综合点的位置，不会影响总的输入输出关系。可见，互换综合点的位置，不会影响总的输入输出关系。31312.4.4 2.4.4 系统结构图的简化系统结构图的简化系统结构图的简化系统结构图的简化例例2-42-4 简化下图所示多回路系统，并求系统的传递函数C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)-+R(s)C(s)解解 这是一个没有交叉现象的多环系统，内回路称为局部反馈回路，外回路称为主反馈回路。简化时不需要将分支点和综合点作前后移动。可按简单串、并联和反馈连接

20、的简化规则，从内部开始，由内向外逐步简化。3232G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)-C(s)(a)(c)G6(s)R(s)C(s)-(b)G1(s)G6(s)R(s)-C(s)3333梅逊公式一般形式为2.4.5 用梅逊用梅逊(S.J.Mason)公式求传递函公式求传递函数数3434例例例例2-5 2-5 2-5 2-5 用梅逊公式求下图所示系统的传递函数。用梅逊公式求下图所示系统的传递函数。用梅逊公式求下图所示系统的传递函数。用梅逊公式求下图所示系统的传递函数。G1G2G4G3G5G6H4H2H3H1RC-解 图中共有四个不同回路，其回路传递函数分别为故

21、 Li=L1+L2+L3+L43535 在上述四个回路中，互不接触回路有：L2、L3，它们之间没有重合的部分，因此有 LiLj=L2L3=(-G2G3H2)(G4G5H3)=G2G3G4G5H2H3 图中没有三个互不接触回路，故 LiLjLK=0可得特征式3636图中只有一条前向通路，且该前向通路与四个回路均接触，所以注注意意 应用梅逊公式可以方便地求出系统的传递函数，而不必进行结构图变换。但当结构图较复杂时，容易遗漏前向通路、回路或互不接触回路。因此在使用时应特别注意。37372.5.1 2.5.1 系统的开环传递函数系统的开环传递函数系统的开环传递函数系统的开环传递函数定义定义 反馈信号B

22、(s)与偏差信号E(s)之比，称为闭环系统的开环传递函数，（简称开环传递函数）。Gk(s)=B(s)/E(s)=G(s)H(s)G(s)H(s)R(s)C(s)E(s)B(s)-2.5 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数38382.5.2 2.5.2 闭环传递函数闭环传递函数闭环传递函数闭环传递函数 1.1.1.1.r(tr(tr(tr(t)作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数 在下图(a)所示的反馈系统中，为求取r(t)作用下系统的闭环传递函数，可令n(t)=0。G1(s)G2(s)H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(

23、s)C(s)(a)G1(s)H(s)G2(s)R(s)B(s)C(s)-(b)3939 由图(b)求得输出C(t)和输入r(t)之间的传递函数为r(s)为输入信号r(t)作用下系统的闭环传递函数。此时系统输出的拉氏变换式为 40402.2.2.2.扰动扰动扰动扰动 n(t)n(t)n(t)n(t)作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数 在下图(a)所示系统中，为求取n(t)作用下系统的闭环传递函数，可令r(t)=0，此时图(a)可简化为图(b)。n(s)为扰动信号n(t)作用下系统的闭环传递函数。此时，系统输出的拉氏变换式为 G1(s)G2(s)H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s)C(s)(a)G1(s)G2(s)H(s)C(s)(b)N(s)-4141